Sõrmused: määratlus, omadused, näited. Sõrmus

Definitsioon 4.1.1. Sõrmus (K, +, ) on mittetühja hulgaga algebraline süsteem K ja kaks binaarset algebralist operatsiooni, mida me nimetame lisamine ja korrutamine. Rõngas on Abeli ​​lisandrühm ning korrutamine ja liitmine on seotud jaotusseadustega: ( a + b)  c = a  c + b  c ja Koos  (a + b) = c  a + c  b meelevaldseks a, b, c  K.

Näide 4.1.1. Toome näiteid sõrmuste kohta.

1. (Z, +, ), (K, +, ), (R, +, ), (C, +, ) on vastavalt täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvude rõngad tavaliste liitmis- ja korrutamistoimingutega. Neid rõngaid nimetatakse numbriline.

2. (Z/ nZ, +, ) on mooduli jääkide klasside ring n  N liitmise ja korrutamise operatsioonidega.

3. Palju M n (K) kõigist fikseeritud järjestusega ruutmaatriksitest n  N koefitsientidega rõngast ( K, +, ) maatriksi liitmise ja korrutamise operatsioonidega. Eriti, K võib olla võrdne Z, K, R, C või Z/nZ juures n  N.

4. Kõigi kindla intervalliga määratletud reaalfunktsioonide hulk ( a; b) reaalarvu telg tavaliste funktsioonide liitmise ja korrutamise operatsioonidega.

5. Polünoomide hulk (polünoomid) K[x] rõnga koefitsientidega ( K, +, ) ühest muutujast x polünoomide liitmise ja korrutamise loomulike tehtetega. Eelkõige polünoomide rõngad Z[x], K[x], R[x], C[x], Z/nZ[x] kell n  N.

6. Vektorite ring ( V 3 (R), +, ) liitmise ja vektorkorrutise abil.

7. Ring ((0), +, ) liitmis- ja korrutustehtega: 0 + 0 = 0, 0  0 = = 0.

Definitsioon 4.1.2. Eristama piiratud ja lõputu rõngad (vastavalt komplekti elementide arvule K), kuid peamine klassifikatsioon põhineb korrutamise omadustel. Eristama assotsiatiivne heliseb, kui korrutustehte on assotsiatiivne (näite 4.1.1 punktid 1–5, 7) ja mitteassotsiatiivne rõngad (näite 4.1.1 punkt 6: siin , ). Assotsiatiivsed rõngad jagunevad ühiku rõngad(korrutamise suhtes on neutraalne element) ja ilma ühikuta, kommutatiivne(korrutamise tehe on kommutatiivne) ja mittekommutatiivne.

Teoreem4.1.1. Lase ( K, +, ) on ühikuga assotsiatiivne ring. Siis komplekt K* pööratav rõnga elementide korrutamisel K on multiplikatiivne rühm.

Kontrollime grupi definitsiooni 3.2.1 täitmist. Lase a, b  K*. Näitame seda a  b  K * .  (a  b) –1 = b –1  a –1  K. Tõesti,

(a  b)  (b –1  a –1) = a  (b  b –1)  a –1 = a  1  a –1 = 1,

(b –1  a –1)  (a  b) = b –1  (a –1  a)  b = b –1  1  b = 1,

kus a –1 , b –1  K on pöördelemendid a ja b vastavalt.

1) Korrutamine K* assotsiatiivne, kuna K on assotsiatiivne ring.

2) 1 –1 = 1: 1  1 = 1  1  K* , 1 on korrutamise suhtes neutraalne element K * .

3)  jaoks a  K * , a –1  K* , sest ( a –1)  a= a  (a –1) = 1
(a –1) –1 = a.

Definitsioon 4.1.3. Palju K* ümberpööratav rõnga elementide korrutamise suhtes ( K, +, ) kutsutakse rõnga multiplikatiivne rühm.

Näide 4.1.2. Toome näiteid erinevate rõngaste multiplikatiivsete rühmade kohta.

1. Z * = {1, –1}.

2. M n (K) * = GL n (K), M n (R) * = GL n (R), M n (C) * = GL n (C).

3. Z/nZ* on pöörduvate jääkide klasside komplekt, Z/nZ * = { | (k, n) = 1, 0  k < n), kell n > 1 | Z/nZ * | =  (n), kus  on Euleri funktsioon.

4. (0) * = (0), kuna antud juhul 1 = 0. 

Definitsioon 4.1.4. Kui assotsiatiivses ringis ( K, +, ) ühikurühmaga K * = K\(0), kus 0 on liitmise suhtes neutraalne element, siis nimetatakse sellist ringi keha või algebra koosjaotus. Kommutatiivset keha nimetatakse valdkonnas.

Sellest määratlusest on selge, et kehas K*   ja 1  K* , seega 1  0, seega minimaalne keha, mis on väli, koosneb kahest elemendist: 0 ja 1.

Näide 4.1.3.

1. (K, +, ), (R, +, ), (C, +, ) on vastavalt ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvude arvväljad.

2. (Z/lkZ, +, ) on viimane väli alates lk elemendid, kui lk- Algarv. Näiteks, ( Z/2Z, +, ) on kahe elemendi minimaalne väli.

3. Mittekommutatiivne keha on kvaternoonide keha - kvaternoonide kogum, see tähendab vormi väljendid h= a + bi + cj + dk, kus a, b, c, d  R, i 2 = = j 2 = k 2 = –1, i  j= k= – j  i, j  k= i= – k  j, i  k= – j= – k  i, liitmise ja korrutamise tehtetega. Kvaternioonid liidetakse ja korrutatakse termini kaupa, võttes arvesse ülaltoodud valemeid. Igaühele h 0 pöördkvaternionil on vorm:
.

On nulljagajaga rõngaid ja nulljagajateta rõngaid.

Definitsioon 4.1.5. Kui ringis on nullist erinevat elementi a ja b selline, et a  b= 0, siis neid kutsutakse null jagajad ja sõrmus ise nulljagaja rõngas. Muidu kutsutakse sõrmust rõngas ilma nulljagajateta.

Näide 4.1.4.

1. Sõrmused ( Z, +, ), (K, +, ), (R, +, ), (C, +, ) on nulljagajateta rõngad.

2. ringis ( V 3 (R), +, ) iga nullist erinev element on nulljagaja, kuna
kõigi jaoks
V 3 (R).

3. Maatriksite ringis M 3 (Z) nulljagajate näited on maatriksid
ja
, sest A  B = O(nullmaatriks).

4. ringis ( Z/ nZ, +, ) komposiidiga n= k  m, kus 1< k, m < n, jäägiklassid ja on null jagajad, kuna . 

Allpool tutvustame rõngaste ja väljade põhiomadusi.

Sõrmuse mõiste, sõrmuste lihtsamad omadused.

Algebra ( K, +, ∙) nimetatakse rõngaks, kui kehtivad järgmised aksioomid:

1. (K, +) on kommutatiivne rühm;

2.
a (b+c) = ab+ac (b+c)a = ba+ca;

3. a (eKr) = (ab) c.

Kui rõngas korrutamise tehe on kommutatiivne, siis öeldakse, et ring on kommutatiivne.

Näide. Algebrad (Z, +, ∙), ( K, +, ∙), (R, + ,∙) on rõngad.

Sõrmusel on järgmised omadused:

1) a + b = a => b = 0;

2) a+b = 0 => b = - a;

3) – (- a) = a;

4) 0∙a = a∙0 = 0 (0 on rõnga null);

5) (-a)∙b = a∙(-b) = -a∙b;

6) (a – b)∙c = a∙c – b∙c, kus a– b = a + (-b).

Tõestame omadust 6. ( a-b)∙c = (a + (-b))∙c = a∙c+ (-b)∙c = a∙c +(-b∙c)= =a∙c-b∙c.

Lase ( K A K nimetatakse rõnga alamringiks ( K,+,∙), kui see on rõngas rõngas tehte suhtes ( K, +, ∙).

Teoreem. Lase ( K, +, ∙) on rõngas. Mittetühi alamhulk A K, on sõrmuse alamring To kui ja ainult kui
a- b, a∙b
.

Näide. Rõngas (Q, +, ∙) on rõnga ( AGA, +, ∙), kus A = ={a+ b | a, b Q).

Valdkonna mõiste. Kõige lihtsamad välja omadused.

Definitsioon. kommutatiivne ring ( R, +, ∙) ühega, kus rõnga null ei ühti rõnga ühikuga, nimetatakse väljaks, kui
a≠0 on pöördelement a -1 , a∙ a -1 = e, e on sõrmuse ühik.

Kõik rõngaste omadused kehtivad väljade jaoks. Välja jaoks ( R,+,∙) kehtivad ka järgmised omadused:

1)
a≠0 võrrand ah =b omab lahendust ja pealegi ainulaadset;

2) ab=e |=> a≠0 b=a -1 ;

3)

c≠0 ac=bc => a=b;

4)ab = 0
a = 0 b = 0;

5) reklaam = eKr (b≠0, d≠0);

6)
;

.

Näide. Algebrad (Q, +, ∙), ( AGA, +, ∙), kus AGA = {a+b | a, b Q), ( R, +, ∙) on väljad.

Lase ( R,+,∙) on väli. Mittetühi alamhulk F P, mis on väljal tehtava toimingu suhtes väli ( R,+,∙) nimetatakse välja alamväljaks R.

Näide. Väli (Q,+,∙) on reaalarvude välja (R,+,∙) alamväli.

Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks

1. Näidake, et korrutamise tehte hulk on Abeli ​​rühm.

2. Komplektis Q\(0) tehte ab =
. Tõesta, et algebra (Q\(0),) on rühm.

3. Reegel määratletud hulgal Z on antud binaarne algebraline tehe ab = a+b – 2. Uuri, kas algebra (Z,) on rühm.

4. Võtteplatsil AGA = {(a, b)
) operatsioon on määratletud ( a,b) (c, d) = (ac– bd, reklaam+ eKr). Tõesta, et algebra ( AGA,) - Grupp.

5. Lase T on kõigi vastenduste kogum
reegliga antud
, kus a,bK, a
Tõesta seda T on kaardistuste koosseisu all olev rühm.

6. Lase AGA={1,2,…,n). Üks-ühele kaardistamine f:
nimetatakse asenduseks n- oh kraad. asendamine n- oh kraad, mugav on kirjutada tabeli kujul
, kus Kahe asenduste korrutis
komplektid AGA on määratletud kui kaardistuste kompositsioon. Definitsiooni järgi

Tõesta, et kõigi permutatsioonide hulk n- oh kraad on rühm permutatsioonide korrutise all.

7. Uurige, kas rõngas moodustub liitmise, korrutamise suhtes:

a) N; b) kõigi paaritute täisarvude hulk; c) kõigi paarisarvude hulk; d) vormi numbrite komplekt
kus a,b

8. Kas komplekt on sõrmus? To={a+b
) liitmise ja korrutamise operatsioonide osas.

9. Näidake, et komplekt AGA={a+b) liitmise ja korrutamise operatsioonide suhtes on ring.

10. Võtteplatsil Z määratletakse kaks toimingut: ab=a+b+1, ab= ab+ a+ b. Tõesta see algebra

11. Jäägiklasside komplekti kohta moodul m on antud kaks kahendtehtet: Tõesta, et algebra
kommutatiivne ring identiteediga.

12 . Kirjeldage kõiki sõrmuse alamrõngaid
.

13. Uurige välja, millised järgmistest reaalarvude komplektidest on liitmis- ja korrutustehete jaoks väljad:

a) paaritute nimetajatega ratsionaalarvud;

b) vormi numbrid
ratsionaalsega a,b;

c) vormi numbrid
ratsionaalsega a, b;

d) vormi numbrid
ratsionaalsega a, b, c.

§5. Kompleksarvude väli. Operatsioonid kompleksis

arvud algebralisel kujul

Kompleksarvude väli.

Olgu kaks algebrat ( AGA,+,∙), (Ā , , ◦). Ekraan f: A sisse (sees) >Ā , mis vastab järgmistele tingimustele:
f(a+b) = f(a) f(b) f(a◦b) = f(a) ◦ f(b), nimetatakse algebra homomorfismiks ( AGA, +, ∙) algebrasse ( Ā , , ◦).

Definitsioon. Homomorfne kaardistamine f algebra ( AGA, +, ∙) algebrale ( Ā , , ◦) nimetatakse isomorfseks kaardistamiseks, kui kaardistamine f komplektid AGA peal Ā süstivalt. Algebra seisukohalt on isomorfsed algebrad eristamatud, st. neil on samad omadused.

Põllu kohal R vormi võrrand x 2 +1 = 0 ei sisalda lahendusi. Koostame välja, mis sisaldab väljaga () isomorfset alamvälja R,+,∙) ja milles vormi võrrand x 2 +1 = 0 on lahendus.

Komplektil C = R× R = {(a, b) | a, b R) tutvustame liitmise ja korrutamise tehteid järgmiselt: ( a, b) (c, d) = (a+ c, b+ d), (a, b) ◦ (c, d) = (ac-bd, reklaam+eKr). Lihtne on tõestada, et algebra (C, ,◦) on ühikuga kommutatiivne ring. Paar (0,0) on rõnga null, (1,0) on rõnga ühik. Näitame, et sõrmus ( FROM, ,◦) on väli. Lase ( a, b) C, ( a, b) ≠ (0,0) ja ( x,y) C on selline arvupaar, et ( a, b)◦(x, y) = (1,0). (a, b)◦(x, y) = (1,0) (kirves– kõrval, jah+ bx) = (1,0)

(1)

Alates (1) =>
,
(a, b) -1 =
. Seega (С, +, ∙) on väli. Kaaluge komplekti R 0 = {(a,0) | a R). Sest ( a,0) (b,0) = (a- b,0)R 0 , (a,0)◦(b,0) = (ab,0) R 0 ,
(a,0) ≠ (0,0) (a,0) -1 = (,0) R 0, siis algebra ( R 0, ,◦) on väli.

Koostame kaardistuse f: R
R 0, mis on määratletud tingimusega f(a)=(a,0) . Sest f on bijektiivne kaardistamine ja f(a+ b)= (a+ b,0) = =(a,0)(b,0) = f(a)f(b), f(a∙b) = (a∙ b,0) = (a,0)◦(b,0) =f(a)◦f(b), siis f on isomorfne kaardistus. Järelikult ( R , +,∙)
(R 0, ,◦). (R 0, ,◦) on reaalarvude väli.

Näitame, et vormi võrrand X 2 +1 = 0 väljal (C , , ◦) on lahendid. ( x,y) 2 + (1,0) = (0,0) (x 2 - y 2 +1, 2xy) = (0,0)

(2)

(0,1), (0, -1) on süsteemi (2) lahendid.

Konstrueeritud välja (C , ,◦) nimetatakse kompleksarvude väljaks ja selle elemente kompleksarvudeks.

Kompleksarvu algebraline vorm. Tehted kompleksarvudega algebralisel kujul.

Olgu (C, +, ∙) kompleksarvude väli,
c,
=(a, b). Sest ( R 0 ,+, ∙) (R, +, ∙), seejärel suvaline paar ( a,0) identifitseeritakse reaalarvuga a. Tähistage ί = (0,1). Sest ί 2 = (0,1)∙(0,1) = (-1,0) = -1, siis ί nimetatakse imaginaarseks ühikuks. Kujutage ette kompleksarvu
=(a,b) kujul: =( a,b)=(a,0) +(b,0) ◦(0,1)=a+b∙ί. Kompleksarvu esitamine kujul, = a + bί nimetatakse arvu algebraliseks vormiks. a nimetatakse kompleksarvu reaalosaks ja tähistatakse Re-ga, b on kompleksarvu imaginaarne osa ja seda tähistatakse Im.

Kompleksarvude liitmine:

α = a+bί, β = c+dί , α +β = (a,b) + (c, d) = (a+ c, b+ d) = a+ c+ (b+ d)ί.

Kompleksarvude korrutamine:

α∙β = (a, b)(c, d) = (a∙ c– b∙ d, a∙ d+ b∙ c) = a∙ c - b∙ d + (a∙ d + b∙ c)ί.

Kompleksarvude korrutise leidmiseks a+bί ja c+dί , peate korrutama a+bί peal c+dί binoomina binoomi järgi, arvestades seda ί 2 = -1.

jagatis jagamisest poolt β , β ≠ 0 on kompleksarv γ, nii et = γ∙ β .

= γ∙ β => γ = ∙ β - üks. Sest
, siis = ∙β -1 = =(a, b)∙
Sellel viisil

Selle valemi saab, kui murdosa lugeja ja nimetaja korrutada kompleksarvuga, mis on konjugeeritud nimetajaga, s.o. peal

Koos -dί.

Näide. Leidke kompleksarvude summa, korrutis, jagatis

2+ 3ί , β = 3 - 4ί .

Lahendus. + β =(2 + 3ί ) + (3 – 4ί ) =5– ί, ∙β = (2 + 3ί) (3– 4ί ) = 6 –8ί + 9ί – –12ί 2 = 18 + ί .

§6. juure ekstraheeriminenkompleksarvu aste trigonomeetrilisel kujul

Kompleksarvu trigonomeetriline kuju.

Tasapinnal ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis kompleksarv

z = a + bί tähistatakse punktiga AGA(a,b) või raadiuse vektor
.

Joonistage kompleksarv z = 2 – 3ί .

Definitsioon. Number
nimetatakse kompleksarvu mooduliks z = a + bί ja seda tähistatakse | z |.

O-telje positiivse suuna vaheline nurk X ja kompleksarvu esindav raadiusvektor z= a+ bί, nimetatakse arvuargumendiks z ja tähistatud Argz.

Argz määratletud kuni termini 2π k, .

Kompleksarvu argument z, mis vastab tingimusele 0≤< 2π , называется главным значением аргумента комплексного числа z ja tähistatud arg z.

Alates OAA 1 a=
cos ,b= patt
. Kompleksarvude esitus z= a+ bί nagu z= r(cos + ί sin) nimetatakse arvu trigonomeetriliseks vormiks z (r=). Kompleksarvu kirjutamiseks z = a + bί trigonomeetrilises vormis peate teadma | z| ja Arg z, mis määratakse valemitest
, cos =
patt =

Lase z 1 = r 1 (maks φ 1 + ί patt φ 1), z 2 = r 2 (maks φ 2 + ί patt φ 2). Siis z 1∙ z 2 = =r 1∙ r 2 [(tas φ 1 hind φ 2-patt φ 1 patt φ 2)+i]= r 1∙ r 2 [(tas (φ 1+ φ 2) + i patt ( φ 1+ φ 2)]. Sellest järeldub, et | z 1 z 2 | = |z 1 | |z 2 |, Arg z 1 ∙z 2 = Arg z 1 + Arg z 2 .

Arg
Arg – Arg .

juure ekstraheeriminen– kompleksarvu aste trigonomeetrilisel kujul.

Lase zC, nN. n – kompleksarvu astmes z tööd nimetatakse
seda tähistatakse z n. Lase m=- n. Definitsiooni järgi ütleme nii
z≠0, z0 = 1, z m = . Kui a z =r(cos φ + ί patt φ ), siis z n =

= r n(cos nφ + ί patt nφ). Kell r = 1 meil on z n = cos nφ + ί patt nφ - Moivre'i valem. De Moivre'i valem kehtib
.

juur n z sellist kompleksarvu nimetatakse ω , mida ω n = z. Õiglane väide.

Teoreem. Olemas n erinevad juurväärtused n-as aste kompleksarvust z = r(cos φ + ί patt φ ) . Kõik need saadakse valemist k = 0, 1, … , n- üks. Selles valemis
on aritmeetiline juur.

Tähistagem ω 0 , ω 1 ,…, ω n-1 - juurväärtused n aste z, mis saadakse koos k = 0, 1, ... , n- üks. Alates | ω 0 | = |ω 1 | = |ω 2 |= … =|ω n -1 |,

arg ω 0 = , ω 1 = arg ω 0 +
, … , arg ω n -1 = arg ω n - 2 + , seejärel kompleksarvud ω 0 , ω 1 ,…, ω n-1 tasapinnal on esindatud ringi punktidega, mille raadius on võrdne
ja jaga see ring kaheks n võrdsetes osades.

Märkus: Selles loengus käsitletakse sõrmuste mõisteid. Antakse rõngaelementide peamised definitsioonid ja omadused, käsitletakse assotsiatiivseid rõngaid. Vaadeldakse mitmeid iseloomulikke probleeme, tõestatakse peamised teoreemid ja esitatakse iseseisvaks käsitlemiseks mõeldud ülesanded.

Sõrmused

Kutsutakse kahe binaartehtega (liitmine + ja korrutamine) hulka R assotsiatiivne ring koos ühikuga, kui:

Kui korrutustehe on kommutatiivne, siis kutsutakse ringi kommutatiivne ring. Kommutatiivsed rõngad on kommutatiivse algebra ja algebralise geomeetria üks peamisi uurimisobjekte.

Märkused 1.10.1.

Näited 1.10.2 (assotsiatiivsete rõngaste näited).

Oleme juba näinud, et jääkide rühm (Zn,+)=(C0,C1,...,Cn-1), Ck =k+nZ, moodul n koos tehtega liitmine , on kommutatiivne rühm (vt näide 1.9.4, 2)).

Korrutamise operatsiooni defineerime seadistusega . Kontrollime selle toimingu õigsust. Kui C k =C k" , C l =C l" , siis k"=k+nu , l"=l+nv ja seega C k"l" =C kl .

Sest (C k C l)C m =C (kl)m =C k(lm) =C k (C l C m), C k C l =C kl =C lk =C l C k, C 1 C k =C k =C k C 1, (C k +C l)C m =C (k+l)m =C km+lm =C k C m + C l C m, siis on assotsiatiivne kommutatiivne tsükkel, mille identsus on C1 jäägiringi modulo n ).

Rõnga omadused (R,+,.)

Lemma 1.10.3 (Newtoni binoom). Olgu R rõngas 1 , , . Seejärel:

Tõestus.

Definitsioon 1.10.4. Nimetatakse ringi R alamhulka S alamring, kui:

a) S on alamrühm liitmise suhtes rühmas (R,+);

b) sest meil on ;

c) tsükli R puhul 1 eeldatakse, et .

Näited 1.10.5 (allrõngaste näited).

Ülesanne 1.10.6. Kirjeldage kõiki alamrõngaid jääkrõngas Z n modulo n .

Märkus 1.10.7. Ringis Z 10 moodustavad 5-ga jagatavad elemendid rõnga 1-ga, mis ei ole Z 10 alamrõngas (neil rõngastel on erinevad identiteedielemendid).

Definitsioon 1.10.8. Kui R on ring ja , , ab=0 , siis elementi a nimetatakse vasakpoolseks nulljagajaks R , elementi b parempoolseks nulljagajaks R .

Märkus 1.10.9. Kommutatiivsetes rõngastes pole vasak- ja parempoolsete nulljagajate vahel muidugi vahet.

Näide 1.10.10. Z , Q , R ei sisalda nulljagajaid.

Näide 1.10.11. Pidevate funktsioonide ringil C on nulljagajad. Tõepoolest, kui

siis , , fg=0 .

Näide 1.10.12. Kui n = kl , 1

Lemma 1.10.13. Kui ringis R pole (vasakul) nulljagajaid, siis alates ab=ac , kus , , tähendab, et b=c (st. võimalus tühistada nullist erineva elemendiga vasakul, kui vasakpoolseid nulljagajaid pole; ja paremal, kui paremaid nulljagajaid pole).

Tõestus. Kui ab=ac , siis a(b-c)=0 . Kuna a ei ole vasakpoolne nulljagaja, siis b-c=0 , st b=c .

Definitsioon 1.10.14. Elementi nimetatakse nilpotentne, kui x n = 0 mõne jaoks . Väiksemat sellist naturaalarvu n nimetatakse elemendi nilpotentsuse aste .

On selge, et nilpotentne element on nulljagaja (kui n>1, siis , ). Vastupidine pole tõsi (Z 6-s ei ole nilpotentseid elemente, kuid 2 , 3 , 4 on nullist erinevad nulljagajad).

Harjutus 1.10.15. Ring Z n sisaldab nilpotentseid elemente siis ja ainult siis, kui n jagub m 2 -ga, kus , .

Definitsioon 1.10.16. Nimetatakse rõnga R elementi x idempotentne, kui x 2 \u003d x. On selge, et 0 2 =0, 1 2 =1. Kui x 2 =x ja , , siis x(x-1)=x 2 -x=0 ja seetõttu on mittetriviaalsed idempotendid nulljagajad.

Tähistame U(R) assotsiatiivse ringi R pööratavate elementide hulka, st neid, mille jaoks on pöördelement s=r -1 (ehk rr -1 =1=r -1 r ).

RÜHMA MÄÄRATLUS JA NÄITED.

ODA1.Olgu G suvalise iseloomuga elementide mittetühi hulk. G kutsutakse Grupp

1) Bao ° on antud komplektis G.

2) bao ° on assotsiatiivne.

3) On neutraalne element nÎG.

4) G iga elemendi jaoks on tema suhtes sümmeetriline element alati olemas ja kuulub ka G-sse.

Näide. Z-arvude komplekt koos tehtega +.

ODA2.Rühm kutsus abellik, kui see on antud bao ° suhtes kommutatiivne.

Grupi näited:

1) Z,R,Q "+" (Z+)

Rühmade lihtsamad omadused

Rühmas on ainult üks neutraalne element

Iga elemendi rühmas on üks element, mis on selle suhtes sümmeetriline

Olgu G rühm bao °, siis võrrandid kujul:

a°x=b ja x°a=b (1) on lahendatavad ja neil on ainulaadne lahendus.

Tõestus. Vaatleme võrrandit (1) x jaoks. Ilmselgelt $ eest! a". Kuna tehe ° on assotsiatiivne, on ilmne, et x=b°a" on ainus lahendus.

34. ASENDUSE PARITEET*

Definitsioon 1. Asendust nimetatakse isegi kui see laguneb paarisarvu transpositsioonide korrutiseks ja muidu paarituks.

1. soovitus.Asendamine

On ühtlane<=>- ühtlane permutatsioon. Seetõttu paarispermutatsioonide arv

n-st arvust on võrdne n-ga!\2.

2. soovitus. Permutatsioonidel f ja f - 1 on sama paarsusmärk.

> Piisab, kui kontrollida, et if on transpositsioonide korrutis, siis<

Näide:

ALAGRUPP. ALAGRÜHMA KRITEERIUM.

Def. Olgu G rühm bao °-ga ja HÌG mittetühi alamhulgaga, siis nimetatakse H-d G ​​alamrühmaks, kui H on alamrühm bao° suhtes (st ° on bao H-l. Ja H selle toiminguga on rühm).

Teoreem (alarühma kriteerium). Olgu G rühm tehte° all, ƹHÎG. H on alarühm<=>"h 1 ,h 2 нH tingimus h 1 °h 2 "нH on täidetud (kus h 2 "on sümmeetriline element h 2 suhtes).

Doc. =>: Olgu H alamrühm (peame tõestama, et h 1 °h 2 "нH). Võtke h 1 ,h 2 нH, siis h 2 "нH ja h 1 °h" 2 нH (kuna h" 2 on sümmeetriline element kuni h 2).

<=: (peame tõestama, et H on alarühm).

Kuna H¹Æ , siis on seal vähemalt üks element. Võtame hнH, n=h°h"нH, st neutraalne element nнH. Kui h 1 võtame n ja kui h 2 võtame h, siis h"нH Þ "hнH sümmeetriline element h-le kuulub samuti H-sse.

Tõestame, et mis tahes H elementide koostis kuulub H-le.

Võtke h 1 ja kui h 2 võtame h" 2 Þ h 1 °(h 2 ") " нH, Þ h 1 °h 2 нH.

Näide. G=S n , n>2, α - mõni element väärtusest Х=(1,…,n). Kuna H võtame mittetühja hulga H= S α n =(fО S n ,f(α)=α), jääb S α-st lähtuva kaardistuse toimel n α paigale. Kontrollime kriteeriume. Võtke mis tahes h 1, h 2 ОH. Toode h 1 . h 2 "нH, st H on alamrühm, mida nimetatakse elemendi α statsionaarseks alamrühmaks.

RING, VÄLJA. NÄITED.

Def. Lase To mittetühi hulk kahe algebralise tehtega: liitmine ja korrutamine. To helistas ring kui on täidetud järgmised tingimused:

1) To - abeli rühm (kommutatiivne antud bao ° suhtes) liitmise suhtes;

2) korrutamine on assotsiatiivne;

3) korrutamine on liitmise() suhtes distributiivne.

Kui korrutamine on kommutatiivne, siis To helistas kommutatiivne ring. Kui korrutamise suhtes on neutraalne element, siis To helistas ühiku rõngas.

Näited.

1) Täisarvude hulk Z moodustab tavaliste liitmise ja korrutamise operatsioonide suhtes rõnga. See rõngas on kommutatiivne, assotsiatiivne ja sellel on üksus.

2) Ratsionaalarvude hulgad Q ja reaalarvude R on väljad

tavapärastest arvude liitmise ja korrutamise operatsioonidest.

Sõrmuste lihtsamad omadused.

1. Alates To abeli rühm liitmise suhtes, siis edasi To kantakse üle rühmade lihtsamad omadused.

2. Korrutamine on erinevuse suhtes distributiivne: a(b-c)=ab-ac.

Tõestus. Sest ab-ac+ac=ab ja a(b-c)+ac=a((b-c)+c)=a(b-c+c)=ab, siis a(b-c)=ab-ac.

3. Rõngas võib olla nulli jagajaid, s.t. ab=0, kuid sellest ei järeldu, et a=0 b=0.

Näiteks maatriksite ringis, mille suurus on 2´2, on nullist erinevad elemendid, nii et nende korrutis on null: , kus - mängib nullelemendi rolli.

4. a 0=0 a=0.

Tõestus. Olgu 0=b-b. Siis a(b-b)=ab-ab=0. Samamoodi 0 a = 0.

5. a(-b)=(-a) b=-ab.

Tõestus: a(-b)+ab=a((-b)+b)=a 0=0.

6. Kui ringis To on ühik ja see koosneb rohkem kui ühest elemendist, siis ühik ei võrdu nulliga, kus 1 on korrutamisel neutraalne element; 0 ─ neutraalne element lisaks.

7. Lase To rõngas ühtsusega, siis moodustab ringi ümberpööratavate elementide hulk korrutatava rühma, mida nimetatakse rõnga multiplikatiivseks rühmaks K ja tähistada K*.

Def. Nimetatakse vähemalt kahte elementi sisaldavat identiteediga kommutatiivset ringi, milles iga nullist erinev element on pööratav. valdkonnas.

Kõige lihtsamad välja omadused

1. Sest väli on ring, siis kanduvad kõik rõngaste omadused väljale.

2. Väljal puuduvad nulljagajad, s.t. kui ab=0, siis a=0 või b=0.

Tõestus.

Kui a¹0 , siis $ a -1 . Vaatleme a -1 (ab)=(a -1 a)b=0 ja kui a¹0, siis b=0, samamoodi kui b¹0

3. Võrrandil kujul a´x=b, a¹0, b - suvaline, väljal on kordumatu lahend x= a -1 b või x=b/a.

Selle võrrandi lahendust nimetatakse osaliseks.

Näited. 1)PÌC, P - numbriväli. 2) P=(0;1);

Definitsioon 4.1.1. Sõrmus (K, +, ) on mittetühja hulgaga algebraline süsteem K ja kaks binaarset algebralist operatsiooni, mida me nimetame lisamine ja korrutamine. Rõngas on Abeli ​​lisandrühm ning korrutamine ja liitmine on seotud jaotusseadustega: ( a + b)  c = a  c + b  c ja Koos  (a + b) = c  a + c  b meelevaldseks a, b, c  K.

Näide 4.1.1. Toome näiteid sõrmuste kohta.

1. (Z, +, ), (K, +, ), (R, +, ), (C, +, ) on vastavalt täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvude rõngad tavaliste liitmis- ja korrutamistoimingutega. Neid rõngaid nimetatakse numbriline.

2. (Z/nZ, +, ) on mooduli jääkide klasside ring n  N liitmise ja korrutamise operatsioonidega.

3. Palju M n (K) kõigist fikseeritud järjestusega ruutmaatriksitest n  N koefitsientidega rõngast ( K, +, ) maatriksi liitmise ja korrutamise operatsioonidega. Eriti, K võib olla võrdne Z, K, R, C või Z/nZ juures n  N.

4. Kõigi kindla intervalliga määratletud reaalfunktsioonide hulk ( a; b) reaalarvurida tavaliste funktsioonide liitmise ja korrutamise operatsioonidega.

5. Polünoomide hulk (polünoomid) K[x] rõnga koefitsientidega ( K, +, ) ühest muutujast x polünoomide liitmise ja korrutamise loomulike tehtetega. Eelkõige polünoomide rõngad Z[x], K[x], R[x], C[x], Z/nZ[x] kell n  N.

6. Vektorite ring ( V 3 (R), +, ) liitmise ja vektorkorrutise abil.

7. Ring ((0), +, ) liitmis- ja korrutustehtega: 0 + 0 = 0, 0  0 = = 0.

Definitsioon 4.1.2. Eristama piiratud ja lõputu rõngad (vastavalt komplekti elementide arvule K), kuid peamine klassifikatsioon põhineb korrutamise omadustel. Eristama assotsiatiivne heliseb, kui korrutustehte on assotsiatiivne (näite 4.1.1 punktid 1–5, 7) ja mitteassotsiatiivne rõngad (näite 4.1.1 punkt 6: siin ,). Assotsiatiivsed rõngad jagunevad ühiku rõngad(korrutamise suhtes on neutraalne element) ja ilma ühikuta, kommutatiivne(korrutamise tehe on kommutatiivne) ja mittekommutatiivne.

Teoreem4.1.1. Lase ( K, +, ) on ühikuga assotsiatiivne ring. Siis komplekt K* pööratav rõnga elementide korrutamisel K on multiplikatiivne rühm.

Kontrollime grupi definitsiooni 3.2.1 täitmist. Lase a, b  K*. Näitame seda a  b  K * .  (a  b) –1 = b –1  a –1  K. Tõesti,

(a  b)  (b –1  a –1) = a  (b  b –1)  a –1 = a  1  a –1 = 1,

(b –1  a –1)  (a  b) = b –1  (a –1  a)  b = b –1  1  b = 1,

kus a –1 , b –1  K on pöördelemendid a ja b vastavalt.

1) Korrutamine K* assotsiatiivne, kuna K on assotsiatiivne ring.

2) 1 –1 = 1: 1  1 = 1  1  K* , 1 on korrutamise suhtes neutraalne element K * .

3)  jaoks a  K * , a –1  K* , sest ( a –1)  a = a  (a –1) = 1
(a –1) –1 = a.

Definitsioon 4.1.3. Palju K* ümberpööratav rõnga elementide korrutamise suhtes ( K, +, ) kutsutakse rõnga multiplikatiivne rühm.

Näide 4.1.2. Toome näiteid erinevate rõngaste multiplikatiivsete rühmade kohta.

1. Z * = {1, –1}.

2. M n (K) * = GL n (K), M n (R) * = GL n (R), M n (C) * = GL n (C).

3. Z/nZ* on pöörduvate jääkide klasside komplekt, Z/nZ * = { | (k, n) = 1, 0  k < n), kell n > 1 | Z/nZ * | =  (n), kus  on Euleri funktsioon.

4. (0) * = (0), kuna antud juhul 1 = 0. 

Definitsioon 4.1.4. Kui assotsiatiivses ringis ( K, +, ) ühikurühmaga K * = K\(0), kus 0 on liitmise suhtes neutraalne element, siis nimetatakse sellist ringi keha või algebra koosjaotus. Kommutatiivset keha nimetatakse valdkonnas.

Sellest määratlusest on selge, et kehas K*   ja 1  K* , seega 1  0, seega minimaalne keha, mis on väli, koosneb kahest elemendist: 0 ja 1.

Näide 4.1.3.

1. (K, +, ), (R, +, ), (C, +, ) – vastavalt numbriväljad ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvud.

2. (Z/lkZ, +, ) on viimane väli alates lk elemendid, kui lk- Algarv. Näiteks, ( Z/2Z, +, ) on kahe elemendi minimaalne väli.

3. Mittekommutatiivne keha on kvaternioni keha- komplekt kvaternoonid, see tähendab vormi väljendeid h= a + bi + cj + dk, kus a, b, c, d  R, i 2 = = j 2 = k 2 = – 1, i  j= k= – j  i, j  k= i= – k  j, i  k= – j= – k  i, liitmise ja korrutamise tehtetega. Kvaternioonid liidetakse ja korrutatakse termini kaupa, võttes arvesse ülaltoodud valemeid. Igaühele h 0 pöördkvaternionil on vorm:
.

On nulljagajaga rõngaid ja nulljagajateta rõngaid.

Definitsioon 4.1.5. Kui ringis on nullist erinevat elementi a ja b selline, et a  b= 0, siis neid kutsutakse null jagajad ja sõrmus ise nulljagaja rõngas. Muidu kutsutakse sõrmust rõngas ilma nulljagajateta.

Näide 4.1.4.

1. Sõrmused ( Z, +, ), (K, +, ), (R, +, ), (C, +, ) on nulljagajateta rõngad.

2. ringis ( V 3 (R), +, ) iga nullist erinev element on nulljagaja, kuna
kõigi jaoks
V 3 (R).

3. Maatriksite ringis M 3 (Z) nulljagajate näited on maatriksid
ja
, sest A  B = O(nullmaatriks).

4. ringis ( Z/nZ, +, ) komposiidiga n = k  m, kus 1< k, m < n, jäägiklassid ja on null jagajad, kuna. 

Allpool tutvustame rõngaste ja väljade põhiomadusi.