ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಂಗುರವು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಉಂಗುರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ, ಉಂಗುರಗಳ ಸರಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.5. ರಿಂಗ್ಎಂದು ಕರೆದರು ಬೀಜಗಣಿತ

ಆರ್ = (R, +, ⋅, 0 , 1 ),

ಅವರ ಸಹಿಯು ಎರಡು ಬೈನರಿ ಮತ್ತು ಎರಡು ಶೂನ್ಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ a, b, c ∈ R ಗಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ:

1. a+(b+c) = (a+b)+c;
2. a+b = b+a;
3. a + 0 = a;
4. ಪ್ರತಿ a ∈ R ಗೆ a + a" = ಒಂದು ಅಂಶ ಇರುತ್ತದೆ 0
5. a-(b-c) = (a-b)-c;
6. a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a;
7. а⋅(b + с) =а⋅b + а⋅с, (b + с) ⋅ а = b⋅а + с⋅а.

ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ + ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಉಂಗುರವನ್ನು ಮಡಿಸುವುದು , ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ ರಿಂಗ್ ಗುಣಾಕಾರ , ಅಂಶ 0 - ಉಂಗುರದ ಶೂನ್ಯ , ಅಂಶ 1 - ರಿಂಗ್ ಘಟಕ .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ 1-7 ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಉಂಗುರದ ಮೂಲತತ್ವಗಳು . ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಈ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಗುಂಪುಗಳುಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ.

ರಿಂಗ್ ಮೂಲತತ್ವಗಳು 1-4 ಎಂದರೆ ಬೀಜಗಣಿತ (R, +, 0 ), ಇದರ ಸಹಿ ರಿಂಗ್ + ಮತ್ತು ರಿಂಗ್‌ನ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ 0 , ಆಗಿದೆ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು. ಈ ಗುಂಪನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರಿಂಗ್ ಆರ್ ನ ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಮೂಲಕ ಉಂಗುರವು ಪರಿವರ್ತಕ (ಅಬೆಲಿಯನ್) ಗುಂಪು ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ.

ಉಂಗುರದ ಮೂಲತತ್ವಗಳು 5 ಮತ್ತು 6 ಬೀಜಗಣಿತವು (R, ⋅, 1), ಅದರ ಸಹಿಯು ಉಂಗುರದ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ⋅ ಮತ್ತು ಉಂಗುರ 1 ರ ಗುರುತನ್ನು ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರಿಂಗ್ R ನ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾನೋಯಿಡ್ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ಉಂಗುರವು ಮೊನೊಯ್ಡ್ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ.

ಉಂಗುರದ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಉಂಗುರದ ಗುಣಾಕಾರದ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಆಕ್ಸಿಯಮ್ 7 ಸ್ಥಾಪಿಸಿದೆ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಗುಣಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಮೇಲಿನದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಉಂಗುರವು ಎರಡು ಬೈನರಿ ಮತ್ತು ಎರಡು ಶೂನ್ಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆರ್ =(R, +, ⋅, 0 , 1 ), ಅಂದರೆ:

1. ಬೀಜಗಣಿತ (R, +, 0 ) - ಪರಿವರ್ತಕ ಗುಂಪು;
2. ಬೀಜಗಣಿತ (R, ⋅, 1 ) - ಮೊನಾಯ್ಡ್;
3. ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ ⋅ (ಉಂಗುರದ ಗುಣಾಕಾರ) ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ + (ಉಂಗುರವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು).

ಟಿಪ್ಪಣಿ 2.2.ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಉಂಗುರದ ಮೂಲತತ್ವಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಯೋಜನೆಯಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಮೂಲತತ್ವ 6 ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು (ಇಲ್ಲ 1 ) ಮತ್ತು ಮೂಲತತ್ವ 5 (ಗುಣಾಕಾರವು ಸಹಾಯಕವಲ್ಲ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಹಾಯಕ ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಸಂಗೀತ ಗುಣಾಕಾರದ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಉಂಗುರದ ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಏಕತೆಯೊಂದಿಗೆ ಉಂಗುರಗಳು. ನಂತರದ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಗುಣಾಕಾರದ ಸಹಭಾಗಿತ್ವದ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳು ಮತ್ತು ಘಟಕದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.6.ಉಂಗುರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪರಿವರ್ತಕ , ಅದರ ಗುಣಾಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಪರಿವರ್ತಕವಾಗಿದ್ದರೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.12. ಎ.ಬೀಜಗಣಿತವು (ℤ, +, ⋅, 0, 1) ಒಂದು ಪರಿವರ್ತಕ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತವು (ℕ 0, +, ⋅, 0, 1) ರಿಂಗ್ ಆಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ (ℕ 0, +) ಒಂದು ಪರಿವರ್ತಕ ಮಾನೋಯ್ಡ್ ಆಗಿದೆ, ಆದರೆ ಒಂದು ಗುಂಪಲ್ಲ.

ಬಿ.ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ℤ k = ((0,1,..., k - 1), ⊕ k , ⨀ k , 0,1) (k>1) ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ⊕ k ಸೇರ್ಪಡೆ ಮಾಡ್ಯೂಲೋ l ಮತ್ತು ⨀ k (ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಎಲ್). ಎರಡನೆಯದು ಸೇರ್ಪಡೆ ಮಾಡ್ಯೂಲೋ l ನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ: m ⨀ k n m ⋅ n ಸಂಖ್ಯೆಯ k ನಿಂದ ವಿಭಜನೆಯ ಉಳಿದ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಪರಿವರ್ತಕ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರಿಂಗ್ ಆಫ್ ರೆಸಿಡ್ಯೂಸ್ ಮಾಡ್ಯೂಲೋ ಕೆ.

ವಿ.ಬೀಜಗಣಿತ (2 A, Δ, ∩, ∅, A) ಒಂದು ಪರಿವರ್ತಕ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ, ಇದು ಛೇದನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಸೆಟ್‌ಗಳ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಜಿ.ನಾನ್-ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್‌ನ ಉದಾಹರಣೆಯು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರ ಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಉಂಗುರದ ಘಟಕವು ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವು ಶೂನ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ.

ಡಿ.ಅವಕಾಶ ಎಲ್- ರೇಖೀಯ ಜಾಗ. ಈ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೀಯ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಗುಂಪನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಅದನ್ನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸೋಣ ಮೊತ್ತಎರಡು ರೇಖೀಯ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಎಮತ್ತು INಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎ + ಬಿ, ಅಂತಹ ( ಎ + IN) X = ಓಹ್ +ರಲ್ಲಿ, X∈ ಎಲ್.

ರೇಖೀಯ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಮತ್ತು INರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಬಿ, ಅಂತಹ ( ಎಬಿ)X = ಎ(ರಲ್ಲಿ) ಯಾರಿಗಾದರೂ X ∈ ಎಲ್.

ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್‌ಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸಬಹುದು ಎಲ್, ಆಪರೇಟರ್‌ಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಉಂಗುರದ ಶೂನ್ಯ ಶೂನ್ಯ ಆಪರೇಟರ್, ಮತ್ತು ಘಟಕದ ಮೂಲಕ - ಗುರುತಿನ ಆಪರೇಟರ್.

ಈ ಉಂಗುರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯ ನಿರ್ವಾಹಕರ ರಿಂಗ್ ರೇಖೀಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ L. #

ಉಂಗುರದ ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಉಂಗುರದ ಮೂಲ ಗುರುತುಗಳು . ಉಂಗುರದ ಗುರುತು ಎಂದರೆ ರಿಂಗ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳು ಅದರಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾದಾಗ ಅದರ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ. ಮೂಲಭೂತ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಂದ ಇತರ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ನಂತರ ಪರಿಣಾಮಗಳಾಗಿ ಕಳೆಯಬಹುದು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉಂಗುರದ ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪು ಪರಿವರ್ತಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಅದರಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ ವ್ಯವಕಲನ.

ಪ್ರಮೇಯ 2.8.ಯಾವುದೇ ರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುರುತುಗಳು ಹಿಡಿದಿರುತ್ತವೆ:

1. 0 ⋅ a = a ⋅ 0 = 0 ;
2. (-a) ⋅ b = -(a ⋅ b) = a ⋅ (-b);
3. (a-b) ⋅ c = a ⋅ c - b ⋅ c, c ⋅ (a-b) = c ⋅ a - c ⋅ b.

◀ಗುರುತನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ 0 ⋅ a = 0 . ಅನಿಯಂತ್ರಿತ a ಗಾಗಿ ಬರೆಯೋಣ:

a+ 0 ⋅ a = 1 ⋅ a + 0 ⋅ a = ( 1 +0 ) ⋅ a = 1 ⋅ a = a

ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು + 0 ⋅ a = a. ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅಜ್ಞಾತ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಉಂಗುರದ ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು 0 ⋅ ಎ. ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ a + x = b ರೂಪದ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣವು x = b - a ಎಂಬ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ 0 ⋅ a = a - a = 0 . ಗುರುತು a⋅ 0 = 0 ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಈಗ ಗುರುತನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ - (a ⋅ b) = a ⋅ (-b). ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

a ⋅ (-b)+a ⋅ b = a ⋅ ((-b) + b) = a ⋅ 0 = 0 ,

ಎಲ್ಲಿಂದ a ⋅ (-b) = -(a ⋅ b). ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಒಬ್ಬರು (-a) ⋅ b = -(a ⋅ b) ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

ಮೂರನೇ ಜೋಡಿ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಮೇಲೆ ಸಾಬೀತಾಗಿರುವದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

a ⋅ (b - c) = a ⋅ (b+(-c)) = a ⋅ b + a ⋅ (-c) =a ⋅ b - a ⋅ c,

ಆ. ಗುರುತು ನಿಜ. ಈ ಜೋಡಿಯ ಎರಡನೇ ಗುರುತನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಫಲಿತಾಂಶ 2.1. ಯಾವುದೇ ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ ಗುರುತು ( -1 ) ⋅ x = x ⋅ ( -1 ) = -x.

◀ಸೂಚಿಸಲಾದ ಅನುಬಂಧವು a = ಗಾಗಿ ಪ್ರಮೇಯ 2.8 ರ ಎರಡನೇ ಗುರುತಿನಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ 1 ಮತ್ತು b = x.

ಪ್ರಮೇಯ 2.8 ರಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾದ ಮೊದಲ ಎರಡು ಗುರುತುಗಳು ಎಂಬ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತವೆ ಶೂನ್ಯದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸುವುದು ರಿಂಗ್ ನಲ್ಲಿ. ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೂರನೇ ಜೋಡಿ ಗುರುತುಗಳು ವ್ಯವಕಲನದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಉಂಗುರದ ಗುಣಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ, ಕಳೆಯುವಾಗ ಮತ್ತು ಗುಣಿಸುವಾಗ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು.

ಉಂಗುರದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳು a ಮತ್ತು b ಆರ್ಎಂದು ಕರೆದರು ವಿಭಾಜಕಗಳು ಶೂನ್ಯ , a ⋅ b = ಆಗಿದ್ದರೆ 0 ಅಥವಾ b ⋅ a = 0 . ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಉಂಗುರದ ಉದಾಹರಣೆಯು ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ನೀಡುತ್ತದೆ ಮಾಡ್ಯೂಲೋ ಶೇಷ ಉಂಗುರ k ಒಂದು ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿದ್ದರೆ k. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ k ನ ಗುಣಕವನ್ನು ನೀಡುವ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕಾರದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮಾಡ್ಯುಲೋ k ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಶೇಷ ರಿಂಗ್ ಮಾಡ್ಯುಲೋ 6 ರಲ್ಲಿ, 2 ಮತ್ತು 3 ಅಂಶಗಳು ಶೂನ್ಯ ವಿಭಾಜಕಗಳಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ 2 ⨀ 6 3 = 0. ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಕ್ರಮದ (ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು) ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಉಂಗುರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಾಗಿ

a ಮತ್ತು b ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದಿರುವಾಗ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳು ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳಾಗಿವೆ.

ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ, ಉಂಗುರವು ಕೇವಲ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ಆಗಿದೆ. ನಾವು ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಮುಂದಿಡೋಣ: ಯಾವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರ ಉಂಗುರವು ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿರುತ್ತದೆ? 0 ≠ 1 ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಉಂಗುರದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿ 0" , ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಶೂನ್ಯವು ವಿಲೋಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಅಂಶ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸಿದರೆ 0 ⋅ 0" = 0" ⋅ 0 = 1 ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ನಂತರ, ಒಂದು ಕಡೆ, 0 ⋅ 0" = 0" ⋅ 0 = 0 , ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ - 0 ≠ 1 . ಹೀಗಾಗಿ, ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಂಸ್ಕರಿಸಬಹುದು: ಯಾವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಉಂಗುರದ ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳ ಸೆಟ್ ಗುಣಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ?

ಉಂಗುರವು ಶೂನ್ಯ ವಿಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಉಂಗುರದ ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಉಪವಿಭಾಗವು ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಉಪವಿಭಾಗವು ಗುಣಾಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳಿವೆ, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಉಂಗುರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ದೇಹ , ಪರಿವರ್ತಕ ದೇಹ - ಕ್ಷೇತ್ರ , ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ದೇಹದ (ಕ್ಷೇತ್ರ) ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪು - ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪು ಇದು ದೇಹ (ಜಾಗ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಕ್ಷೇತ್ರವು ರಿಂಗ್ನ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಕ್ಷೇತ್ರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ. ಅವರನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೂಲತತ್ವಗಳು .

ಕ್ಷೇತ್ರವು ಬೀಜಗಣಿತ ಎಫ್ = (ಎಫ್, +, ⋅, 0, 1), ಇದರ ಸಹಿ ಎರಡು ಬೈನರಿ ಮತ್ತು ಎರಡು ಶೂನ್ಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗುರುತುಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ:

1. a+(b+c) = (a+b)+c;
2. a+b = b+a;
3. a+0 = a;
4. ಪ್ರತಿ a ∈ F ಗೆ ಒಂದು ಅಂಶವಿದೆ -a ಅಂದರೆ a+ (-a) = 0;
5. a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c;
6. a ⋅ b = b ⋅ a
7. a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a
8. ಪ್ರತಿ a ∈ F ಗೆ 0 ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, a -1 ಅಂಶವಿದೆ ಅಂದರೆ a ⋅ a -1 = 1;
9. a ⋅ (b+c) = a ⋅ b + a ⋅ c.

ಉದಾಹರಣೆ 2.13. ಎ.ಬೀಜಗಣಿತ (ℚ, +, ⋅, 0, 1) ಎಂಬ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ .

ಬಿ. ಬೀಜಗಣಿತಗಳು (ℝ, +, ⋅, 0, 1) ಮತ್ತು (ℂ, +, ⋅, 0, 1) ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನೈಜ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ.

ವಿ. ಕ್ಷೇತ್ರವಲ್ಲದ ದೇಹಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆ ಬೀಜಗಣಿತ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು . #

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ಷೇತ್ರ ಮೂಲತತ್ವಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ತಿಳಿದಿರುವ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡುವಾಗ, ನಾವು "ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ," ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ನಾವು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ "ಚಲಿಸುತ್ತೇವೆ".

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4.1.1. ರಿಂಗ್ (ಕೆ, +, ) ಎಂಬುದು ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬೀಜಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ ಕೆಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಎರಡು ಬೈನರಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ಜೊತೆಗೆಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ. ಉಂಗುರವು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಸೇರ್ಪಡೆ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ: ( ಎ + ಬಿ)  ಸಿ = ಎ  ಸಿ + ಬಿ  ಸಿಮತ್ತು ಜೊತೆಗೆ  (ಎ + ಬಿ) = ಸಿ  ಎ + ಸಿ  ಬಿನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಎ, ಬಿ, ಸಿ  ಕೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4.1.1. ಉಂಗುರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ.

1. (Z, +, ), (ಪ್ರ, +, ), (ಆರ್, +, ), (ಸಿ, +, ) - ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಉಂಗುರಗಳು, ಭಾಗಲಬ್ಧ, ನೈಜ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ. ಈ ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ.

2. (Z/ಎನ್Z, +, ) - ಶೇಷ ವರ್ಗಗಳ ರಿಂಗ್ ಮಾಡ್ಯೂಲೋ ಎನ್  ಎನ್ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ.

3. ಅನೇಕ ಎಂ ಎನ್ (ಕೆ) ಸ್ಥಿರ ಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎನ್  ಎನ್ಉಂಗುರದಿಂದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ( ಕೆ, +, ) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಕೆಸಮಾನವಾಗಿರಬಹುದು Z, ಪ್ರ, ಆರ್, ಸಿಅಥವಾ Z/ಎನ್Zನಲ್ಲಿ ಎನ್  ಎನ್.

4. ಸ್ಥಿರ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ( ಎ; ಬಿ) ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆ, ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ.

5. ಬಹುಪದಗಳ ಸೆಟ್ (ಬಹುಪದಗಳು) ಕೆ[x] ರಿಂಗ್‌ನಿಂದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ( ಕೆ, +, ) ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನಿಂದ xಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಬಹುಪದೀಯ ಉಂಗುರಗಳು Z[x], ಪ್ರ[x], ಆರ್[x], ಸಿ[x], Z/ಎನ್Z[x] ನಲ್ಲಿ ಎನ್  ಎನ್.

6. ವಾಹಕಗಳ ಉಂಗುರ ( ವಿ 3 (ಆರ್), +, ) ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಗುಣಾಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ.

7. ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ರಿಂಗ್ ((0), +, : 0 + 0 = 0, 0  0 = = 0.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4.1.2. ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತಉಂಗುರಗಳು (ಸೆಟ್ನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಕೆ), ಆದರೆ ಮುಖ್ಯ ವರ್ಗೀಕರಣವು ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ ಸಹಾಯಕಗುಣಾಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಸಹಾಯಕವಾದಾಗ ಉಂಗುರಗಳು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ 4.1.1 ರ ಅಂಕಗಳು 1–5, 7) ಮತ್ತು ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ಉಂಗುರಗಳು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ 4.1.1 ರ ಪಾಯಿಂಟ್ 6: ಇಲ್ಲಿ ,). ಸಂಘದ ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಒಂದರೊಂದಿಗೆ ಉಂಗುರಗಳು(ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತಟಸ್ಥ ಅಂಶವಿದೆ) ಮತ್ತು ಘಟಕವಿಲ್ಲದೆ, ಪರಿವರ್ತಕ(ಗುಣಾಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಪರಿವರ್ತಕವಾಗಿದೆ) ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತಿತವಲ್ಲದ.

ಪ್ರಮೇಯ4.1.1. ಅವಕಾಶ ( ಕೆ, +, ) ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಹಾಯಕ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಅನೇಕ ಕೆ* ರಿಂಗ್ ಅಂಶಗಳ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತಲೆಕೆಳಗಾದ ಕೆ- ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪು.

ಗುಂಪು 3.2.1 ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ನೆರವೇರಿಕೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಅವಕಾಶ ಎ, ಬಿ  ಕೆ*. ಅದನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ ಎ  ಬಿ  ಕೆ * .  (ಎ  ಬಿ) –1 = ಬಿ –1  ಎ –1  ಕೆ. ನಿಜವಾಗಿಯೂ,

(ಎ  ಬಿ)  (ಬಿ –1  ಎ –1) = ಎ  (ಬಿ  ಬಿ –1)  ಎ –1 = ಎ  1  ಎ –1 = 1,

(ಬಿ –1  ಎ –1)  (ಎ  ಬಿ) = ಬಿ –1  (ಎ –1  ಎ)  ಬಿ = ಬಿ –1  1  ಬಿ = 1,

ಎಲ್ಲಿ ಎ –1 , ಬಿ –1  ಕೆ- ವಿಲೋಮ ಅಂಶಗಳು ಎಮತ್ತು ಬಿಕ್ರಮವಾಗಿ.

1) ಗುಣಾಕಾರ ಕೆ* ಸಹಕಾರಿಯಾಗಿ, ರಿಂದ ಕೆ- ಸಹಾಯಕ ಉಂಗುರ.

2) 1 –1 = 1: 1  1 = 1  1  ಕೆ* , 1 - ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತಟಸ್ಥ ಅಂಶ ಕೆ * .

3) ಫಾರ್  ಎ  ಕೆ * , ಎ –1  ಕೆ* , ಏಕೆಂದರೆ ( ಎ –1)  ಎ = ಎ  (ಎ –1) = 1
(ಎ –1) –1 = ಎ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4.1.3. ಅನೇಕ ಕೆ* ಉಂಗುರದ ಅಂಶಗಳ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತಲೆಕೆಳಗಾದ ( ಕೆ, +, ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗುಣಾಕಾರ ರಿಂಗ್ ಗುಂಪು.

ಉದಾಹರಣೆ 4.1.2. ವಿವಿಧ ಉಂಗುರಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಂಪುಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ನೀಡೋಣ.

1. Z * = {1, –1}.

2. ಎಂ ಎನ್ (ಪ್ರ) * = ಜಿ.ಎಲ್. ಎನ್ (ಪ್ರ), ಎಂ ಎನ್ (ಆರ್) * = ಜಿ.ಎಲ್. ಎನ್ (ಆರ್), ಎಂ ಎನ್ (ಸಿ) * = ಜಿ.ಎಲ್. ಎನ್ (ಸಿ).

3. Z/ಎನ್Z* - ಅವಶೇಷಗಳ ತಲೆಕೆಳಗಾದ ವರ್ಗಗಳ ಸೆಟ್, Z/ಎನ್Z * = { | (ಕೆ, ಎನ್) = 1, 0  ಕೆ < ಎನ್), ನಲ್ಲಿ ಎನ್ > 1 | Z/ಎನ್Z * | =  (ಎನ್), ಎಲ್ಲಿ  - ಯೂಲರ್ ಕಾರ್ಯ.

4. (0) * = (0), ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 1 = 0. 

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4.1.4. ಸಹಾಯಕ ರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿದ್ದರೆ ( ಕೆ, +, ) ಘಟಕ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಕೆ * = ಕೆ\(0), ಅಲ್ಲಿ 0 ಸೇರ್ಪಡೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತಟಸ್ಥ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಅಂತಹ ಉಂಗುರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ದೇಹಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತದೊಂದಿಗೆವಿಭಾಗ. ಪರಿವರ್ತಕ ದೇಹವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕ್ಷೇತ್ರ.

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ದೇಹದಲ್ಲಿ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ ಕೆ*   ಮತ್ತು 1  ಕೆ* ಎಂದರೆ 1  0, ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ದೇಹವು ಎರಡು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: 0 ಮತ್ತು 1.

ಉದಾಹರಣೆ 4.1.3.

1. (ಪ್ರ, +, ), (ಆರ್, +, ), (ಸಿ, +, ) - ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳುಭಾಗಲಬ್ಧ, ನೈಜ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

2. (Z/ಪುZ, +, ) – ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ ಪುಅಂಶಗಳು ವೇಳೆ ಪು- ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ( Z/2Z, +, ) - ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಕ್ಷೇತ್ರ.

3. ಪರಿವರ್ತಿತವಲ್ಲದ ದೇಹವಾಗಿದೆ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ದೇಹ- ಸೆಟ್ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು, ಅಂದರೆ, ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಗಂ= ಎ + ದ್ವಿ + ಸಿಜೆ + dk, ಎಲ್ಲಿ ಎ, ಬಿ, ಸಿ, ಡಿ  ಆರ್, i 2 = = ಜ 2 = ಕೆ 2 = – 1, i  ಜ= ಕೆ= – ಜ  i, ಜ  ಕೆ= i= – ಕೆ  ಜ, i  ಕೆ= – ಜ= – ಕೆ  i, ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್‌ಗಳನ್ನು ಪದದಿಂದ ಪದವನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಗಂ 0 ವಿಲೋಮ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
.

ಶೂನ್ಯ ವಿಭಾಜಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಉಂಗುರಗಳು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳಿಲ್ಲದ ಉಂಗುರಗಳು ಇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4.1.5. ಉಂಗುರವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಅಂತಹ ಎ  ಬಿ= 0, ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳು, ಮತ್ತು ರಿಂಗ್ ಸ್ವತಃ - ಶೂನ್ಯ ವಿಭಾಜಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರಿಂಗ್. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಉಂಗುರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳಿಲ್ಲದ ಉಂಗುರ.

ಉದಾಹರಣೆ 4.1.4.

1. ಉಂಗುರಗಳು ( Z, +, ), (ಪ್ರ, +, ), (ಆರ್, +, ), (ಸಿ, +, ) - ಶೂನ್ಯ ವಿಭಾಜಕಗಳಿಲ್ಲದ ಉಂಗುರಗಳು.

2. ರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ( ವಿ 3 (ಆರ್), +, ) ಪ್ರತಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ
ಎಲ್ಲರಿಗೂ
ವಿ 3 (ಆರ್).

3. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಎಂ 3 (Z) ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸಸ್
ಮತ್ತು
, ಏಕೆಂದರೆ ಎ  ಬಿ = ಓ(ಶೂನ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್).

4. ರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ( Z/ಎನ್Z, +, ) ಸಂಯೋಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಎನ್ = ಕೆ  ಮೀ, ಅಲ್ಲಿ 1< ಕೆ, ಮೀ < ಎನ್, ಶೇಷ ವರ್ಗಗಳು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳು, ರಿಂದ. 

ಕೆಳಗೆ ನಾವು ಉಂಗುರಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ವಿವರಣೆ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಉಂಗುರವು K = ‹K, +, -, ·, 1› ಪ್ರಕಾರದ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ (2, 1, 2, 0), ಇದರ ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ:

ಲಗತ್ತಿಸಲಾದ ಫೈಲ್‌ಗಳು: 1 ಫೈಲ್

ರಿಂಗ್. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಉಂಗುರಗಳ ಸರಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಉಂಗುರಗಳ ಸಮರೂಪತೆ ಮತ್ತು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಂ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಉಂಗುರವು K = ‹K, +, -, ·, 1› ಪ್ರಕಾರದ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ (2, 1, 2, 0), ಇದರ ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ:

1. ಬೀಜಗಣಿತ ‹K, +, -› ಒಂದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು;
2. ಬೀಜಗಣಿತ ‹K, ·, 1› ಒಂದು ಮೊನಾಯ್ಡ್ ಆಗಿದೆ;
3. ಗುಣಾಕಾರವು ಸೇರ್ಪಡೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿತರಣಾಕಾರಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, K ನಿಂದ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳಿಗೆ a, b, c

(a + b) c = a c + b c, c (a + b) = c a + c b.

ರಿಂಗ್ K ಯ ಮುಖ್ಯ ಸೆಟ್ K ಅನ್ನು ಸಹ |K| ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್ K ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ರಿಂಗ್ K ಯ ಅಂಶಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಡೆಫ್. ಗುಂಪನ್ನು ‹K, +, -› ರಿಂಗ್ K ನ ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಂಪಿನ ಶೂನ್ಯ, ಅಂದರೆ, ಸೇರ್ಪಡೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತಟಸ್ಥ ಅಂಶವನ್ನು ಉಂಗುರದ ಶೂನ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 0 ಅಥವಾ 0 K ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. .

ಡೆಫ್. ಮೊನೊಯ್ಡ್ ‹K, ·, 1› ಅನ್ನು ರಿಂಗ್ K ಯ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾನೋಯ್ಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತಟಸ್ಥವಾಗಿರುವ 1 K ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಅಂಶ 1 ಅನ್ನು ರಿಂಗ್ K ಯ ಘಟಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉಂಗುರದ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳಿಗೆ a · b = b · a ವೇಳೆ ರಿಂಗ್ K ಅನ್ನು ಪರಿವರ್ತಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ರಿಂಗ್ K ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವೇಳೆ |K| = (0 ಕೆ).

ಡೆಫ್. ರಿಂಗ್ K ಅನ್ನು ಸಮಗ್ರತೆಯ ಡೊಮೇನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಪರಿವರ್ತಕವಾಗಿದ್ದರೆ, 0 K ≠ 1 K ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ a, b О K ನಿಂದ a b = 0 ಇದು a = 0 ಅಥವಾ b = 0 ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಡೆಫ್. A ≠ 0, b ≠ 0 ಅಥವಾ ba = 0. (ಯಾವುದೇ ಸಮಗ್ರತೆಯ ಪ್ರದೇಶವು ಶೂನ್ಯ ವಿಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.)

ಉದಾಹರಣೆ. K ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ R ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ. ಮೊತ್ತ f + g, ಉತ್ಪನ್ನ f g, ಕಾರ್ಯ

f(-1) ಮತ್ತು ಯುನಿಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ 1 ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: (f + g) (x) = f (x) + g (x);

(f g)(x) = f(x) g(x); (–f) (x) =–f (x); 1(x) = 1. ನೇರ ಪರಿಶೀಲನೆಯು ಬೀಜಗಣಿತ ‹K, +, -, ·, 1› ಒಂದು ಪರಿವರ್ತಕ ಉಂಗುರ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಸರಳವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಕೆ ರಿಂಗ್ ಆಗಿರಲಿ. ಬೀಜಗಣಿತ ‹K, +, -› ಒಂದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳಿಗೆ a, b, K ನಿಂದ ಸಮೀಕರಣವು b + x = a ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ a + (-b), ಇದನ್ನು a – ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಿ.

1. a + b = a ಆಗಿದ್ದರೆ, b = 0;
2. a + b = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, b = -a;
3. – (-a) = a;
4. 0 · a = a · 0 = a;
5. (-a)b = a(-b) = -(ab);
6. (-a)(-b) = a · b;
7. (a – b)c = ac – bc ಮತ್ತು c(a – b) = ca – cb.

K = ‹K, +, -, ◦, 1› ಮತ್ತು K` = ‹K`, +, -, ·, 1`› - ಉಂಗುರಗಳು. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ K ನಿಂದ K` ಸೆಟ್‌ನ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ h ರಿಂಗ್ K ನ ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ:

1. h(a+b)=h(a)+h(b) ಯಾವುದೇ a ಗೆ, b ರಿಂಗ್ K ನಿಂದ;
2. K ನಿಂದ ಯಾವುದೇ a ಗೆ h(-a)=-h(a);
3. ಯಾವುದೇ a ಗೆ h(a b) = h(a)◦h(b), K ನಿಂದ b;
4. h(1) = 1`.

ಡೆಫ್. K ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು (ಆನ್) ರಿಂಗ್ K` ಗೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಎನ್ನುವುದು K ಗೆ (ಆನ್) K` ಸೆಟ್‌ನ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ರಿಂಗ್ K ನ ಎಲ್ಲಾ ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. K ರಿಂಗ್ K ನ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಪಿಮಾರ್ಫಿಸಮ್.

ಡೆಫ್. K ರಿಂಗ್ K` ನ ಒಂದು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ h ಅನ್ನು ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು K ಗೆ K` ಸೆಟ್‌ನ ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದರೆ. K ಮತ್ತು K` ಉಂಗುರಗಳು K ಮತ್ತು K` ಉಂಗುರಗಳ ನಡುವೆ ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದ್ದರೆ ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಘಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಂದರೊಂದಿಗೆ ಉಂಗುರ . ಘಟಕವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "1" ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಇದು ಒಂದೇ ಹೆಸರಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ) ಅಥವಾ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ), ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರ I ಅಥವಾ E ಮೂಲಕ.

ಬೀಜಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಘಟಕದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅದನ್ನು ಐಚ್ಛಿಕ ಅಂಶವಾಗಿ ಬಿಡಬಹುದು. ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ತಟಸ್ಥ ಅಂಶವನ್ನು ಘಟಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಎರಡು ಬದಿಯ ತಟಸ್ಥ ಅಂಶದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಸ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಘಟಕವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಉಂಗುರದ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಅದರ ತಲೆಕೆಳಗಾದ ಅಂಶಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಗೊಂದಲಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು.

ಒಂದು, ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತ

ಘಟಕವು ರಿಂಗ್‌ನ ಏಕೈಕ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಶಕ್ತಿಹೀನ ಮತ್ತು ತಲೆಕೆಳಗಾದ ಎರಡೂ ಆಗಿದೆ.

ರಿವರ್ಸಿಬಿಲಿಟಿ

ಹಿಂತಿರುಗಿಸಬಹುದಾದಏಕತೆಯ ಎರಡು ಬದಿಯ ವಿಭಾಜಕವಾಗಿರುವ ಏಕತೆಯೊಂದಿಗೆ ಉಂಗುರದ ಯಾವುದೇ ಅಂಶ u ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ:

∃ v 1: v 1 u = 1 (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ v_(1):v_(1)\,u=1) ∃ v 2: u v 2 = 1 (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ v_(2):u\,v_(2)=1) (a 1 + μ 1 1) (a 2 + μ 2 1) = a 1 a 2 + μ 1 a 2 + μ 2 a 1 + μ 1 μ 2 1 (\ displaystyle (a_(1)+\mu _( 1)(\mathbf (1) ))(a_(2)+\mu _(2)(\mathbf (1) ))=a_(1)a_(2)+\mu _(1)a_(2) +\mu _(2)a_(1)+\mu _(1)\mu _(2)(\mathbf (1) ))

ಗುಣಾಕಾರದ ಸಹವರ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತನೆಯಂತಹ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ. ಅಂಶ 1 ವಿಸ್ತೃತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಘಟಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಈಗಾಗಲೇ ಒಂದು ಘಟಕವಿದ್ದರೆ, ವಿಸ್ತರಣೆಯ ನಂತರ ಅದು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗದ ಐಡೆಮ್ಪೋಟೆಂಟ್ ಆಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಇದನ್ನು ಉಂಗುರದ ಮೂಲಕವೂ ಮಾಡಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರತಿ ಉಂಗುರವು ಸಹವರ್ತಿ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ

(K,+, ·) ರಿಂಗ್ ಆಗಿರಲಿ. (ಕೆ, +) ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಗುಂಪುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

SV-VO 1. ಪ್ರತಿ ರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ (K,+, ·) ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಶೂನ್ಯ ಅಂಶ 0 ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ a ∈ K ಗೆ ಅದರ ವಿರುದ್ಧ ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಂಶವಿದೆ -a.

NE-VO 2. ∀ a, b, c ∈ K (a + b = a + c ⇒ b = c).

SV-VO 3. ಯಾವುದೇ a, b ∈ K ರಿಂಗ್ K ನಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ a - b, ಮತ್ತು a − b = a + (-b). ಹೀಗಾಗಿ, ವ್ಯವಕಲನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ರಿಂಗ್ K ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು 1′-8′ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

SV-VO 4. K ಯಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ವ್ಯವಕಲನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ∀ a, b, c ∈ K ((a - b)c = ac - bc ∧ c(a - b) = ca - cb).

ಡಾಕ್. a, b, c - K (a - b) + b) c = ac, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು (a - b) c = ac - bc ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ವ್ಯವಕಲನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಗುಣಾಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಸರಿಯಾದ ಕಾನೂನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

SV-V 5. ∀ a ∈ K a0 = 0a = 0.

ಪುರಾವೆ. K ನಿಂದ a ∈ K ಮತ್ತು b-ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅಂಶವನ್ನು ಬಿಡಿ. ನಂತರ b - b = 0 ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಹಿಂದಿನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು a0 = a(b - b) = ab - ab = 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

0a = 0 ಎಂದು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

NE-VO 6. ∀ a, b ∈ K (-a)b = a(-b) = -(ab).

ಪುರಾವೆ. a, b ∈ K. ನಂತರ (-a)b + ab = ((-a) + a)b =

0b = 0. ಆದ್ದರಿಂದ, (-a)b = -(ab).

ಸಮಾನತೆ a(-b) = -(ab) ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

NE-VO 7. ∀ a, b ∈ K (-a)(-b) = ab.

ಪುರಾವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಹಿಂದಿನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು (-a)(-b) = -(a(-b)) = -(-(ab)) = ab ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು 6 ಮತ್ತು 7 ಅನ್ನು ರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೇರ್ಪಡೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು 6 ಮತ್ತು 7 ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರಿಂಗ್ K ನಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ವಿತರಣೆಯಿಂದ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು:

SV-VO 8. k, l ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ∀ a, b ∈ K (ka)(lb) = (kl)ab.

ಸಬ್ರಿಂಗ್

ರಿಂಗ್‌ನ ಸಬ್ರಿಂಗ್ (K,+, ·) ಒಂದು ಸೆಟ್ K ಯ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಇದು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ + ಮತ್ತು · K ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ವತಃ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ.

ಸಬ್ರಿಂಗ್ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ಹೀಗಾಗಿ, Z ಎಂಬುದು ರಿಂಗ್‌ನ ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ (Q,+, ·), Q ಎಂಬುದು ಉಂಗುರದ ಸಬ್ರಿಂಗ್ (R,+, ·), Rn×n ಎಂಬುದು ಉಂಗುರದ ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ (Cn×n,+, ·) , Z[x] ರಿಂಗ್‌ನ ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ ( R[x],+, ·), D ಎಂಬುದು ಉಂಗುರದ ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ (C,+, ·).

ಯಾವುದೇ ರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ (K,+, ·), ಸೆಟ್ K ಸ್ವತಃ, ಹಾಗೆಯೇ ಸಿಂಗಲ್‌ಟನ್ ಉಪವಿಭಾಗ (0) ರಿಂಗ್‌ನ ಉಪವರ್ಗಗಳಾಗಿವೆ (K,+, ·). ಇವುಗಳು ಉಂಗುರದ (ಕೆ,+, ·) ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಸಬ್ರಿಂಗ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ.

ಸಬ್ರಿಂಗ್ಗಳ ಸರಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

H ಉಂಗುರದ (K,+, ·) ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಆಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ. (H,+, ·) ಸ್ವತಃ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ (H, +)-ಗುಂಪು, ಅಂದರೆ. H ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪು (K, +). ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ನಿಜ.

SV-VO 1. ರಿಂಗ್ K ನ ಸಬ್ರಿಂಗ್ H ನ ಶೂನ್ಯ ಅಂಶವು K ಯ ಶೂನ್ಯ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

SV-VO 2. ರಿಂಗ್ K ಯ ಸಬ್ರಿಂಗ್ H ನ ಯಾವುದೇ ಅಂಶ a ಗೆ, H ನಲ್ಲಿ ಅದರ ವಿರುದ್ಧ ಅಂಶವು -a ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. K ನಲ್ಲಿ ಅದರ ವಿರುದ್ಧ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ.

SV-VO 3. ಸಬ್ರಿಂಗ್ H ನ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳಿಗೆ a ಮತ್ತು b, H ನಲ್ಲಿನ ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು a - b ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. K ನಲ್ಲಿ ಈ ಅಂಶಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ.

ಸಬ್ರಿಂಗ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳು.

ಪ್ರಮೇಯ 1 (ಸಬ್ರಿಂಗ್‌ನ ಮೊದಲ ಚಿಹ್ನೆ).

+ ಮತ್ತು · ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ರಿಂಗ್ K ಯ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಉಪವಿಭಾಗ H ಎಂಬುದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ K ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ:

∀ a, b ∈ H a + b ∈ H, (1)

∀ a ∈ H - a ∈ H, (2)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H. (3)

ಅವಶ್ಯಕತೆ. H ರಿಂಗ್‌ನ ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಆಗಿರಲಿ (K,+, ·). ನಂತರ H ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪು (K, +). ಆದ್ದರಿಂದ, ಉಪಗುಂಪಿನ ಮೊದಲ ಮಾನದಂಡದ ಮೂಲಕ (ಸಂಯೋಜಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ), H ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು (1) ಮತ್ತು (2) ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, K ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಗುಣಾಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ H ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಎಚ್

ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ (3).

ಸಮರ್ಪಕತೆ. H ⊂ K, H 6= ∅ ಮತ್ತು H ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು (1) - (3) ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ (1) ಮತ್ತು (2) ಉಪಗುಂಪಿನ ಮೊದಲ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ H ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪು (K, +), ಅಂದರೆ. (H, +)-ಗುಂಪು. ಇದಲ್ಲದೆ, (ಕೆ, +) ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿರುವುದರಿಂದ, (ಎಚ್, +) ಸಹ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಆಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಷರತ್ತು (3) ನಿಂದ ಗುಣಾಕಾರವು H ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ದ್ವಿಮಾನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಹಭಾಗಿತ್ವ · H ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ವಿತರಣೆ + ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು + ಮತ್ತು · K ನಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 2 (ಸಬ್ರಿಂಗ್‌ನ ಎರಡನೇ ಚಿಹ್ನೆ).

+ ಮತ್ತು · ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ರಿಂಗ್ K ನ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಉಪವಿಭಾಗ H

ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದಾಗ ರಿಂಗ್ K t ಮತ್ತು t.

∀ a, b ∈ H a - b ∈ H, (4)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H. (5)

ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯು ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಪುರಾವೆಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಮೇಯ 2′ (ಸಂಯೋಜಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಉಪಗುಂಪಿನ ಎರಡನೇ ಮಾನದಂಡ) ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

7.ಫೀಲ್ಡ್ (ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ವಿಧಗಳು, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು).

ಕ್ಷೇತ್ರವು ಗುರುತನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪರಿವರ್ತಕ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆಇ 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ , ಇದರಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ವಿಲೋಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+, ·).

ಆಸ್ತಿ 1 . ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲೂಎಫ್ ಸಂಕೋಚನದ ಕಾನೂನು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ

ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶದಿಂದ, ಅಂದರೆ.

∀ a, b, c ∈ F (ab = ac ∧ a 0 ⇒ b = c ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ).

ಆಸ್ತಿ 2 . ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲೂಎಫ್ ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳಿಲ್ಲ.

ಆಸ್ತಿ 3 . ರಿಂಗ್(ಕೆ,+, ·) ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾದರೆ ಮಾತ್ರ

ಅನೇಕರು ಇದ್ದಾಗಕೆ\(0) ಗುಣಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪರಿವರ್ತಕ ಗುಂಪು.

ಆಸ್ತಿ 4 . ಸೀಮಿತ ಶೂನ್ಯ ಪರಿವರ್ತಕ ಉಂಗುರ(ಕೆ,+, ·) ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳಿಲ್ಲದ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ.

ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅಂಶಗಳ ಅಂಶ.

(F,+, ·) ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ.

ಭಾಗಶಃ ಅಂಶಗಳುಎ ಮತ್ತುಬಿ ಜಾಗಎಫ್ , ಎಲ್ಲಿ b 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ,

ಅಂತಹ ಅಂಶವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಸಿ ∈ ಎಫ್ , ಏನು a = ಕ್ರಿ.ಪೂ .

ಆಸ್ತಿ 1 . ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳಿಗೆಎ ಮತ್ತುಬಿ ಜಾಗಎಫ್ , ಎಲ್ಲಿ b 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ , ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಂಶವಿದೆ a/b , ಮತ್ತು a/b= ab−1.

ಆಸ್ತಿ 2 . ∀ a ∈ F \ (0)

a/a= ಇ ಮತ್ತು∀ a ∈ F a/e= a.

ಆಸ್ತಿ 3 . ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ (0)

a/b=c/d ⇔ ad = bc.

ಆಸ್ತಿ 4 . ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ (0)

ಆಸ್ತಿ 5 . ∀ a ∈ F ∀ b, c, d ∈ F \ (0)

(a/b)/(c/d)=ad/bc

ಆಸ್ತಿ 6 . ∀ a ∈ F ∀ b, c ∈ F \ (0)

ಆಸ್ತಿ 7 . ∀ a ∈ F ∀ b, c ∈ F \ (0)

ಆಸ್ತಿ 8 . ∀ a, b ∈ F ∀ c ∈ F \ (0)

ಕ್ಷೇತ್ರಎಫ್ , ಅವರ ಘಟಕವು ಸೀಮಿತ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಪು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ(ಎಫ್, +) ಪು .

ಕ್ಷೇತ್ರಎಫ್ ಘಟಕ, ಇದು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ(ಎಫ್, +) , ವಿಶಿಷ್ಟ ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ 0.

8. ಉಪಕ್ಷೇತ್ರ (ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ವಿಧಗಳು, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು)

ಕ್ಷೇತ್ರ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರ(F,+, ·) ಉಪವಿಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಎಸ್ ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆಎಫ್ , ಇದು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ+ ಮತ್ತು· , ರಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಎಫ್ , ಮತ್ತು ಸ್ವತಃ ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ.

ಕ್ಷೇತ್ರದ Q-ಉಪಕ್ಷೇತ್ರ (R,+, ·) ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ;

ಕ್ಷೇತ್ರದ R-ಉಪಕ್ಷೇತ್ರ (C,+, ·);

ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ನಿಜ.

ಆಸ್ತಿ 1 . ಉಪಕ್ಷೇತ್ರ ಅಂಶ ಶೂನ್ಯಎಸ್ ಜಾಗಎಫ್ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ

ಕ್ಷೇತ್ರದ ಶೂನ್ಯ ಅಂಶಎಫ್ .

ಆಸ್ತಿ 2 . ಪ್ರತಿ ಅಂಶಕ್ಕೂಎ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳುಎಸ್ ಜಾಗಎಫ್ ಅದರ ವಿರುದ್ಧ ಅಂಶಎಸ್ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ−a , ಅಂದರೆ ಅದರ ವಿರುದ್ಧ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆಎಫ್ .

ಆಸ್ತಿ 3 . ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳಿಗೆಎ ಮತ್ತುಬಿ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳುಎಸ್ ಜಾಗಎಫ್ ಅವರ

ವ್ಯತ್ಯಾಸಎಸ್ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ a−b ಆ. ಈ ಅಂಶಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆಎಫ್ .

ಆಸ್ತಿ 4 . ಉಪಕ್ಷೇತ್ರ ಘಟಕಎಸ್ ಜಾಗಎಫ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ

ಇ ಜಾಗಎಫ್ .

ಆಸ್ತಿ 5 . ಪ್ರತಿ ಅಂಶಕ್ಕೂಎ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳುಎಸ್ ಜಾಗಎಫ್ , ಇಂದ-

ಶೂನ್ಯದಿಂದ ವೈಯಕ್ತಿಕ, ಅದರ ವಿಲೋಮ ಅಂಶಎಸ್ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ a−1 , ಅಂದರೆ ಗೆ ವಿಲೋಮ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆಎ ವಿಎಫ್ .

ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದ ಚಿಹ್ನೆಗಳು.

ಪ್ರಮೇಯ 1 (ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೊದಲ ಚಿಹ್ನೆ).

ಉಪವಿಭಾಗಎಚ್ ಜಾಗಎಫ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ+, · , ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ

(F,+, ·)

∀ a, b ∈ H a + b ∈ H, (1)

∀ a ∈ H - a ∈ H, (2)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H, (3)

∀ a ∈ H \ (0) a−1 ∈ H. (4)

ಸಿದ್ಧಾಂತ 2 (ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದ ಎರಡನೇ ಚಿಹ್ನೆ).

ಉಪವಿಭಾಗಎಚ್ ಜಾಗಎಫ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ+, · , ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ

ಅಂಶವು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ(F,+, ·) ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ:

∀ a, b ∈ H a - b ∈ H, (5)

∀ a ∈ H ∀ b ∈ H\(0) a/b ∈ H. (6)

10. Z ರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿನ ವಿಭಜನೆಯ ಸಂಬಂಧ

ಹೇಳಿಕೆ: R ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತಕ ರಿಂಗ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳಿಗೆ a,b,c, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ:

1) a|b, b|c => a|c

2) a|b, a|c => a| (ಬಿ ಸಿ)

3) a|b => a|bc

ಯಾವುದೇ a, b Z ಗಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ನಿಜ:

2) a|b, b≠0 => |a|≤|b|

3)a|b ಮತ್ತು b|a ó |a|=|b|

ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು b ನಿಂದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ನೀವು a=b*q + r, 0≤r≥|b| ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು q ಮತ್ತು r ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದರ್ಥ, ಇಲ್ಲಿ q ಅಪೂರ್ಣ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, r ಎಂಬುದು ಶೇಷವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ: a ಮತ್ತು b Z, b≠0 ಆಗಿದ್ದರೆ, a ವನ್ನು b ನಿಂದ ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಪೂರ್ಣ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಶೇಷವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೊರೊಲೆರಿ, a ಮತ್ತು b Z , b≠0 ಆಗಿದ್ದರೆ, b|a ó

11. GCD ಮತ್ತು NOC

Z ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕ (GCD) ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆ d ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ

1) d ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕ ಅಂದರೆ. ಡಿ| ,ಡಿ| …ಡಿ|

2) d ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ಡಿ| ,ಡಿ| …ಡಿ| =>ಡಿ| ,ಡಿ| …ಡಿ|