ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಇಳಿಸುವುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು, ಕಳೆಯಲು ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಲು, ಮೂರು ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಸಾಕು - ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಭಜನೆ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಎರಡು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವು ಮತ್ತೆ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನೈಜ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ, ಕಳೆಯುವಾಗ ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶವು ನೈಜ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ವಿಷಯದ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಗುಣಾಂಕಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಥವಾ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರಬೇಕಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳು ಇರಬಹುದು. ಗುಣಾಂಕಗಳ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಬಹುಪದಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಬಹುದು:

ನಾವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ನಮ್ಮನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿದರೆ, ವಿಸ್ತರಣೆ (1) ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ನಾವು ಬಹುಪದವನ್ನು ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಘಟಿಸಲಾಗದು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು.

ಬಹುಪದಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಯಾವ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಗುಣಾಂಕಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವೆಂದು ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬೆಸ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅಂತಹ ಎರಡು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ: ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳೋಣ: ಗುಣಾಂಕಗಳ "ಉತ್ತಮ" ಸೆಟ್ಗಳು ಯಾವುವು? ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕಾರದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದಗಳ ಮೊತ್ತ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ? ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು, ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉಂಗುರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a ಜೊತೆಗೆ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಗುಂಪನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉಂಗುರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉಂಗುರವನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

1) ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸೆಟ್ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ: ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉಂಗುರವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2) ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವು ಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ.

3) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉಂಗುರ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.

4) a ರೂಪದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉಂಗುರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಇದು ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:

5) ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉಂಗುರವಲ್ಲ. ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು

a + b i (\displaystyle a+bi)ಎಲ್ಲಿ a (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ a)ಮತ್ತು ಬಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಬಿ)ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, i (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ i)- ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕ. ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಸೇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶವು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. (a + b i) (a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i) = (a + b i) (a - b i) a 2 + b 2 = 1. (\ displaystyle (a+bi)\left((( \frac (a)(a^(2)+b^(2)))-(\frac (b)(a^(2)+b^(2)))i\right)=(\frac (( a+bi)(a-bi))(a^(2)+b^(2)))=1.)ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗಾಸಿಯನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಜಾಗವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ಷೇತ್ರ).

• ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಚೌಕ-ಮುಕ್ತ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ d (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಡಿ) Q (d) (\displaystyle \mathbb (Q) ((\sqrt (d))))ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಲಿದೆ ಪ್ರಶ್ನೆ (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \mathbb (Q) ).
• ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕ್ಷೇತ್ರ Q (ζ n) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \mathbb (Q) (\zeta _(n)))ಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಪ್ರಶ್ನೆ (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \mathbb (Q) )ಪ್ರಾಚೀನ ಮೂಲ ಎನ್- ಏಕತೆಯ ಶಕ್ತಿ. ಕ್ಷೇತ್ರವು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು (ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳು ಎನ್ಏಕತೆಯ ಶಕ್ತಿ), ಅದರ ಆಯಾಮವು ಮುಗಿದಿದೆ ಪ್ರಶ್ನೆ (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \mathbb (Q) )ಯೂಲರ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ φ (n) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \varphi (n)).
• ನೈಜ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅನಂತ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲ. ಇದು ಅಗಣಿತದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ.
• ಎಲ್ಲಾ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ ಎ (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \mathbb (A) )ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿಲ್ಲ. ವಿಸ್ತರಣೆಯಾದರೂ A ⊃ Q (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \mathbb (A) \supset \mathbb (Q) )ಬೀಜಗಣಿತ, ಇದು ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ.

ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ರಿಂಗ್

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಪ್ರಶ್ನೆ (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \mathbb (Q) ), ಅದರ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಇದು ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ). ಇದಲ್ಲದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಛೇದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಅಂಶವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಏಕೀಕೃತ ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಂಶ (ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತ ಪೂರ್ಣಾಂಕ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲ: ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಅಂಶಗಳು ಮಾತ್ರ ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು ಸುಲಭ ಪ್ರಶ್ನೆ (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \mathbb (Q) )ಸಾಮಾನ್ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ.

ಎರಡು ಬೀಜಗಣಿತ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಬೀಜಗಣಿತ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಅಂಶಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಕೆ (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಕೆ), ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಉಂಗುರಜಾಗ ಕೆ (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಕೆ)ಮತ್ತು ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಷೇತ್ರವು ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸಬ್ರಿಂಗ್‌ಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಆನುವಂಶಿಕವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರವು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಖಾಸಗಿ ರಿಂಗ್ ಕ್ಷೇತ್ರ O K (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (\mathcal (O))_(K))- ಇದು ಸ್ವತಃ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ ಕೆ (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಕೆ). ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಇದು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ನೋಥೆರಿಯನ್ ಮತ್ತು ಏಕ-ಆಯಾಮದ. ರಿಚರ್ಡ್ ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ನಂತರ ಅಂತಹ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪರಿವರ್ತಕ ಉಂಗುರವನ್ನು ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ರಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರೈಮರ್ ವಿಭಜನೆ ಮತ್ತು ವರ್ಗ ಗುಂಪು

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಆದರ್ಶಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟ ವಿಘಟನೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಂಗುರವು ಫ್ಯಾಕ್ಟರಿಲಿಟಿ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ: ಈಗಾಗಲೇ ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರಕ್ಕಾಗಿ O Q (- 5) = Z [ - 5 ] (\displaystyle (\mathcal (O))_(\mathbb (Q) ((\sqrt (-5)))=\mathbb (Z) [(\sqrt ( -5))])ವಿಭಜನೆಯು ಅನನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ:

6 = 2 ⋅ 3 = (1 + - 5) (1 - - 5) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 6=2\cdot 3=(1+(\sqrt (-5)))(1-(\sqrt (-5) )))

ಈ ರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ರೂಢಿಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ತಲೆಕೆಳಗಾದ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಒಂದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ರಿಂಗ್‌ಗಾಗಿ ಈ ಗುಂಪನ್ನು ಆದರ್ಶ ವರ್ಗಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕ್ರಮವನ್ನು ವರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕ್ಷೇತ್ರದ ಆಧಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ

ಸಂಪೂರ್ಣ ಆಧಾರ

ಸಂಪೂರ್ಣ ಆಧಾರಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಫ್ಪದವಿಗಳು ಎನ್- ಇದು ಬಹಳಷ್ಟು

ಬಿ = {ಬಿ 1 , …, ಬಿ ಎನ್}

ನಿಂದ ಎನ್ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಉಂಗುರದ ಅಂಶಗಳು ಎಫ್, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರದ ಯಾವುದೇ ಅಂಶ ಓ ಎಫ್ಜಾಗ ಎಫ್ಹಾಗೆ ಬರೆಯುವ ಏಕೈಕ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ Z- ಅಂಶಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆ ಬಿ; ಅಂದರೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ Xನಿಂದ ಓ ಎಫ್ಕೇವಲ ಒಂದು ವಿಘಟನೆ ಇದೆ

X = ಮೀ 1 ಬಿ 1 + … + m n b n,

ಎಲ್ಲಿ m i- ಸಾಮಾನ್ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಅಂಶ ಎಫ್ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು

ಮೀ 1 ಬಿ 1 + … + m n b n,

ಎಲ್ಲಿ m i- ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಇದರ ನಂತರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಂಶಗಳು ಎಫ್ಇವುಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಆ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ m iಸಂಪೂರ್ಣ.

ಸ್ಥಳೀಕರಣ ಮತ್ತು ಫ್ರೋಬೆನಿಯಸ್ ಎಂಡೋಮಾರ್ಫಿಸಂನಂತಹ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಅಂತಹ ಆಧಾರವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಇದರ ನಿರ್ಮಾಣವು ಅನೇಕ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ನಿರ್ಮಿತ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಶಕ್ತಿ ಆಧಾರ

ಅವಕಾಶ ಎಫ್- ಪದವಿ ಸಂಖ್ಯಾ ಕ್ಷೇತ್ರ ಎನ್. ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಆಧಾರಗಳ ನಡುವೆ ಎಫ್(ಹೇಗೆ ಪ್ರ-ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್), ಪವರ್ ಬೇಸ್‌ಗಳಿವೆ, ಅಂದರೆ ರೂಪದ ನೆಲೆಗಳು

Bx = {1, X, X 2 , …, X ಎನ್−1 }

ಕೆಲವರಿಗೆ X ∈ ಎಫ್. ಪ್ರಾಚೀನ ಅಂಶ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಅಂತಹ Xಯಾವಾಗಲೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಾಚೀನ ಅಂಶಈ ವಿಸ್ತರಣೆ.

ರೂಢಿ ಮತ್ತು ಜಾಡಿನ

ಬೀಜಗಣಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ ಪ್ರಶ್ನೆ (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \mathbb (Q) )(ನಾವು ಅದರ ಆಯಾಮವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ n (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ n)), ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸುವಿಕೆಯು ಈ ಜಾಗದ ರೇಖಾತ್ಮಕ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ. ಅವಕಾಶ e 1 , e 2 , … e n (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ e_(1),e_(2),\ldots e_(n))- ಕೆಲವು ಆಧಾರಗಳು ಎಫ್, ನಂತರ ರೂಪಾಂತರ x ↦ α x (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x\mapsto \alpha x)ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ A = (a i j) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ A=(a_(ij))), ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

α e i = ∑ j = 1 n a i j e j, a i j ∈ Q. (\displaystyle \alpha e_(i)=\sum _(j=1)^(n)a_(ij)e_(j),\quad a_(ij)\in \mathbf (Q) .)

ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಅಂಶಗಳು ಆಧಾರದ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಸ್ಥಿರತೆಗಳಾದ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಟ್ರೇಸ್, ಅದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂಶ ಗುಣಾಕಾರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರೂಢಿಈ ಅಂಶ (ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ N (x) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ N(x))); ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಟ್ರೇಸ್ - ಮುಂದಿನ ಅಂಶ(ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ Tr (x) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (\text(Tr))(x))).

ಒಂದು ಅಂಶದ ಕುರುಹು ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಆನ್ ಆಗಿದೆ ಎಫ್:

Tr (x + y) = Tr (x) + Tr (y) (\displaystyle (\text(Tr))(x+y)=(\text(Tr)(x)+(\text(Tr)) (y))ಮತ್ತು Tr (λ x) = λ Tr (x) , λ ∈ Q (\displaystyle (\text(Tr))(\lambda x)=\lambda (\text(Tr))(x),\lambda \in \mathbb (ಪ್ರ).

ರೂಢಿಯು ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ:

N (x y) = N (x) ⋅ N (y) (\displaystyle N(xy)=N(x)\cdot N(y))ಮತ್ತು N (λ x) = λ n N (x) , λ ∈ Q (\displaystyle N(\lambda x)=\lambda ^(n)N(x),\lambda \in \mathbb (Q) ).

ನೀವು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಆಧಾರವನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ (ಅಂದರೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರದ ಅಂಶದಿಂದ) ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರದ ಯಾವುದೇ ಅಂಶದ ಜಾಡಿನ ಮತ್ತು ರೂಢಿಯು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ.

ರೂಢಿಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆ

ಅವಕಾಶ d (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಡಿ)- - ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಂಶ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕಡಿಮೆಯಾದ ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ x 2 - d (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x^(2)-d)) ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಗುಣಾಕಾರ a + b d (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ a+b(\sqrt (d)))ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ

(a d b b a) (\displaystyle (\begin(pmatrix)a&db\\b&a\end(pmatrix)))

ಆದ್ದರಿಂದ, N (a + b d) = a 2 - d b 2 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ N(a+b(\sqrt (d)))=a^(2)-db^(2)). ಉಂಗುರದ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಈ ರೂಢಿಯು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ರೂಢಿಯು ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪಿನ ಸಮರೂಪತೆಯಾಗಿದೆ Z [ d ] (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \mathbb (Z) [(\sqrt (d))])ಪ್ರತಿ ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪಿಗೆ Z (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \mathbb (Z) ), ಆದ್ದರಿಂದ ರಿಂಗ್ನ ತಲೆಕೆಳಗಾದ ಅಂಶಗಳ ರೂಢಿಯು ಕೇವಲ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ 1 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 1)ಅಥವಾ - 1 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ -1). ಪೆಲ್ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು a 2 - d b 2 = 1 (\ displaystyle a^(2)-db^(2)=1), ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರದ ಎಲ್ಲಾ ತಲೆಕೆಳಗಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಕು (ಇದನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರಿಂಗ್ ಘಟಕಗಳು) ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ರೂಢಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವವರನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ 1 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 1). ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ನ ಏಕತೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಉಂಗುರದ ಎಲ್ಲಾ ತಲೆಕೆಳಗಾದ ಅಂಶಗಳು ಒಂದು ಅಂಶದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ (ಗುಣಾಕಾರದವರೆಗೆ - 1 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ -1)), ಆದ್ದರಿಂದ, ಪೆಲ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಕು.

ಸಹ ನೋಡಿ

ಸಾಹಿತ್ಯ

• H. ಕೋಚ್ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ. - ಎಂ.: ವಿನಿಟಿ, 1990. - ಟಿ. 62. - 301 ಪು. - (ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು. ಸರಣಿ "ಗಣಿತದ ಆಧುನಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು. ಮೂಲಭೂತ ನಿರ್ದೇಶನಗಳು.").
• ಚೆಬೊಟರೆವ್ ಎನ್.ಜಿ.ಗಲೋಯಿಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಗಳು. ಭಾಗ 2. - ಎಂ.: ಸಂಪಾದಕೀಯ URSS, 2004.
• ವೈಲ್ ಜಿ.ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಪ್ರತಿ. ಇಂಗ್ಲಿಷ್ನಿಂದ - ಎಂ.: ಸಂಪಾದಕೀಯ URSS, 2011.
• ಸೆರ್ಗೆ ಲ್ಯಾಂಗ್, ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಎರಡನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, 2000

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿವಿಧ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ, ಹಾಗೆಯೇ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಅನ್ವಯದಲ್ಲಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ಸ್ವಭಾವದ ವಸ್ತುಗಳ ಮೇಲೆ ನಡೆಸಿದಾಗ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸೇರ್ಪಡೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರ, ವೆಕ್ಟರ್ ಸೇರ್ಪಡೆ, ಬಹುಪದಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು, ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1. ರಿಂಗ್ ಎನ್ನುವುದು ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ - "ಸೇರ್ಪಡೆ" ಮತ್ತು "ಗುಣಾಕಾರ", ಇದು ಒಂದೇ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳಾದ ಅವುಗಳ "ಮೊತ್ತ" ಮತ್ತು "ಉತ್ಪನ್ನ" ನೊಂದಿಗೆ ಆದೇಶ ಜೋಡಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕ್ರಮಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ:

1.a+b=b+a(ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಪರಿವರ್ತನೆ).

2.(a+b)+c=a+(b+c)(ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಸಹಭಾಗಿತ್ವ).

3. ಅಂತಹ ಶೂನ್ಯ ಅಂಶ 0 ಇದೆ ಎ+0=ಎ, ಯಾವುದಕ್ಕಾದರೂ ಎ.

4. ಯಾರಿಗಾದರೂ ಎವಿರುದ್ಧ ಅಂಶವಿದೆ - ಎಅಂದರೆ ಎ+(−ಎ)=0.

5. (a+b)c=ac+bc(ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟು).

5".c(a+b)=ca+cb(ಬಲ ವಿತರಣೆ).

ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳು 2, 3, 4 ಎಂದರೆ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳ ಸೆಟ್ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ 1 ನೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಸೇರ್ಪಡೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪರಿವರ್ತಕ (ಅಬೆಲಿಯನ್) ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, ಉಂಗುರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ, ಸೇರ್ಪಡೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಗುಣಾಕಾರಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಿಭಿನ್ನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

6. (ab)c=a(bc)(ಗುಣಾಕಾರದ ಸಹಭಾಗಿತ್ವ).

7.ab=ba(ಗುಣಾಕಾರದ ಸಂವಹನ).

8. ಒಂದೇ ಅಂಶ 1 ರ ಅಸ್ತಿತ್ವ, ಅಂದರೆ. ಅಂತಹ ಎ·1=1· a=a, ಯಾವುದೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಎ.

9. ಯಾವುದೇ ಐಟಂ ಅಂಶಕ್ಕಾಗಿ ಎವಿಲೋಮ ಅಂಶವಿದೆ ಎ-1 ಅಂತಹ aa −1 =ಎ −1 a= 1.

ವಿವಿಧ ಉಂಗುರಗಳಲ್ಲಿ 6, 7, 8, 9 ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಅಥವಾ ವಿವಿಧ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು.

ಷರತ್ತು 6 ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಷರತ್ತು 7 ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್, 6 ಮತ್ತು 7 ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ಪರಿವರ್ತಕ ಮತ್ತು ಸಹಾಯಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉಂಗುರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

1. ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸೆಟ್.

ನಿಜವಾಗಿಯೂ. 1-5, 5" ಅಂಕಗಳ ನೆರವೇರಿಕೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಶೂನ್ಯ ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಜೊತೆಗೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ 6 (ಗುಣಾಕಾರದ ಸಹಭಾಗಿತ್ವ), ಪಾಯಿಂಟ್ 8 ಅನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ (ಯೂನಿಟ್ ಅಂಶವು ಯುನಿಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ) ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳು 7 ಮತ್ತು 9 ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಗುಣಾಕಾರವು ಪರಿವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಕಾರಣದಿಂದ ಪೂರೈಸಲ್ಪಡುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ವಿಲೋಮವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

2. ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್.

3. ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್.

4. ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್.

5. ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸೆಟ್.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2. ಅದರ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉಂಗುರ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು 2-5 ಸಂಖ್ಯೆ ಉಂಗುರಗಳು. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉಂಗುರಗಳು ಸಹ ಎಲ್ಲಾ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ನಿಂದ ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ರಿಂಗ್ ಅಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಗಮನಿಸಿ ಎರಡು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:

ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ p-ಆಡಿಕ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ p-adic ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಕೆಲವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು - ಅಡಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅವುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕು. ಈ ಎರಡೂ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟ ಪರಿಶೀಲನೆಯಿಂದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

ಆಡಿಕ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ, ಅವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರವನ್ನು ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಆಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಸಂವಹನ ಉಂಗುರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಆದಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ಇತರ ರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಅಡಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ

ವಿಭಜನೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು, ಆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಏನೆಂದು ತಿಳಿಯುವುದು ಮುಖ್ಯ - ವಿಲೋಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿರುವ ಅಡಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು - ಅಡಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಘಟಕ ಅಂಶಗಳು ಅಥವಾ ಘಟಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಅಡಿಕ್ ಘಟಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 1:

ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅಡಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಯಾವಾಗ ಒಂದು ಘಟಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.

ಪುರಾವೆ:

ಒಂದಾಗಿರಲಿ, ನಂತರ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಿದೆ - ಅಂತಹ ಒಂದು ಅಡಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆ. ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಸ್ಥಿತಿಯ ಅರ್ಥ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಅದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಷರತ್ತಿನಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಹೋಲಿಕೆಯು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಅಂದಿನಿಂದ ಮತ್ತು ನಂತರ. ಇದರರ್ಥ ಅನುಕ್ರಮವು ಕೆಲವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ - ಹೋಲಿಕೆಗಳು ಅದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. ಇದು ಒಂದು ಘಟಕವಾಗಿದೆ.

ಸಾಬೀತಾದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ರಿಂಗ್‌ನ ಒಂದು ಅಂಶವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಅದು ಯಾವಾಗ ಮಾತ್ರ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ಅದು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಪೂರ್ಣಾಂಕ b ಅನ್ನು ಅಂತಹ ಇನ್‌ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. b/a ರೂಪದ ಯಾವುದೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು, ಈ ರೂಪದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ -ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವರು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಉಂಗುರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತಾರೆ. ನಮ್ಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಈಗ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಬಹುದು:

ಪರಿಣಾಮ:

ಅಡಿಕ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರಕ್ಕೆ ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿ p-adic ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:

ರೂಪದ ಒಂದು ಭಾಗ, k >= 0 ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿ p-adic ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ p-adic ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು, ಮತ್ತು, c ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದೇ p-adic ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ.

ಎಲ್ಲಾ p-adic ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು p ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು p ನಿಂದ p ಗೆ ಮುಂದುವರೆಯುತ್ತವೆ ಮತ್ತು p ಅನ್ನು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ.

2.9 ಪ್ರಮೇಯ. ಪ್ರತಿ p-adic ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು

ಇಲ್ಲಿ m ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ರಿಂಗ್ p ನ ಘಟಕವಾಗಿದೆ.

2.10. ಪ್ರಮೇಯ. ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ p-adic ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು: p-adic ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ p-adic ಸಂಖ್ಯೆಯು p ಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲದ ರಿಂಗ್ p ನಲ್ಲಿ ತಲೆಕೆಳಗಾದದ್ದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ, ಮತ್ತು p ಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಲ್ಲಿ x p ಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ invertible ಆಗಿರುತ್ತದೆ, a . ಆದ್ದರಿಂದ, p ಕ್ಷೇತ್ರದ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶವನ್ನು x p ನ ಗುಣಕವಲ್ಲದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು m ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ; m ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, p-ary ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಅಂಕಿಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕ p-adic ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಅಂತಹ p-adic ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಅದನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಒಂದು p-ary ಭಾಗವು ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರದ ಅಂಕೆಗಳ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು, ಪ್ರಾಯಶಃ, ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ಮೊದಲು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಕೆಗಳ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆ. ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು "ಶಾಲೆ" ನಿಯಮದಂತೆಯೇ ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬದಲಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಕೆಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.