Teoremi o najvećem i najmanjem cijelom broju. Matematika s molom

Za državni ispit iz specijalnosti

1. Linearni (vektorski) prostor nad poljem. Primjeri. Potprostori, najjednostavnija svojstva. Linearna ovisnost i neovisnost vektora.

2. Osnova i dimenzija vektorskog prostora. Koordinatna matrica vektorskog sustava. Prijelaz s jedne osnove na drugu. Izomorfizam vektorskih prostora.

3. Algebarska zatvorenost polja kompleksnih brojeva.

4. Prsten cijelih brojeva. Redoslijed cijelih brojeva. Teoremi o “najvećem” i “najmanjem” cijelom broju.

5. Grupa, primjeri grupa. Najjednostavnija svojstva grupa. Podskupine. Homomorfizam i izomorfizam grupa.

6. Osnovna svojstva djeljivosti cijelih brojeva. Primarni brojevi. Beskonačnost skupa prostih brojeva. Kanonska dekompozicija kompozitnog broja i njegova jedinstvenost.

7. Kronecker-Capellijev teorem (kriterij konzistencije za sustav linearnih jednadžbi).

8. Osnovna svojstva usporedbi. Potpuni i reducirani sustavi modulo odbitaka. Modulo prsten klase rezidua. Eulerov i Fermatov teorem.

9. Primjena teorije usporedbi na izvođenje kriterija djeljivosti. Pretvaranje razlomka u decimalu i određivanje duljine njegove periode.

10. Konjugacija imaginarnih korijena polinoma s realnim koeficijentima. Nesvodljivi polinomi nad poljem realnih brojeva.

11. Linearne usporedbe s jednom varijablom (kriterij rješivosti, metode rješavanja).

12. Ekvivalentni sustavi linearnih jednadžbi. Metoda sekvencijalnog uklanjanja nepoznanica.

13. Prsten. Primjeri prstenova. Najjednostavnija svojstva prstenova. Podprsten. Homomorfizmi i izomorfizmi prstenova. Polje. Primjeri polja. Najjednostavnija svojstva. Minimalnost polja racionalnih brojeva.

14. Prirodni brojevi (osnove aksiomatske teorije prirodnih brojeva). Teoremi o “najvećem” i “najmanjem” prirodnom broju.

15. Polinomi nad poljem. Teorem o dijeljenju s ostatkom. Najveći zajednički djelitelj dvaju polinoma, njegova svojstva i metode određivanja.

16. Binarne relacije. Relacija ekvivalencije. Klase ekvivalencije, skup faktora.

17. Matematička indukcija za prirodne i cijele brojeve.

18. Svojstva relativno prostih brojeva. Najmanji zajednički višekratnik cijelih brojeva, njegova svojstva i metode pronalaženja.

19. Polje kompleksnih brojeva, brojevna polja. Geometrijski prikaz i trigonometrijski oblik kompleksnog broja.

20. Teorem o dijeljenju s ostatkom za cijele brojeve. Najveći zajednički djelitelj cijelih brojeva, njegova svojstva i metode pronalaženja.

21. Linearni operatori vektorskog prostora. Kernel i slika linearnog operatora. Algebra linearnih operatora u vektorskom prostoru. Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori linearnog operatora.

22. Afine transformacije ravnine, njihova svojstva i metode zadavanja. Skupina afinih transformacija ravnine i njezine podskupine.

23. Poligoni. Površina poligona. Teorem egzistencije i jedinstvenosti.

24. Jednake veličine i jednak sastav poligona.

25. Geometrija Lobačevskog. Konzistentnost sustava aksioma geometrije Lobačevskog.

26. Pojam paralelizma u geometriji Lobačevskog. Relativni položaj linija na ravnini Lobačevskog.

27. Formule kretanja. Klasifikacija ravninskih gibanja. Primjene za rješavanje problema.

28. Međusobni položaj dviju ravnina, pravca i ravnine, dviju ravnica u prostoru (u analitičkom prikazu).

29. Projektivne transformacije. Teorem egzistencije i jedinstvenosti. Formule za projektivne transformacije.

30. Skalarni, vektorski i mješoviti produkti vektora, njihova primjena u rješavanju problema.

31. Weylov aksiomski sustav trodimenzionalnog euklidskog prostora i njegova sadržajna konzistentnost.

32. Kretanja u ravnini i njihova svojstva. Grupa ravninskih kretanja. Teorem postojanja i jedinstvenosti gibanja.

33. Projektivna ravnina i njeni modeli. Projektivne transformacije, njihova svojstva. Skupina projektivnih transformacija.

34. Transformacije sličnosti ravnina, njihova svojstva. Grupa transformacija sličnosti ravnina i njezine podskupine.

35. Glatke površine. Prvi kvadratni oblik plohe i njegova primjena.

36. Paralelni dizajn i njegova svojstva. Slika ravnih i prostornih likova u paralelnoj projekciji.

37. Glatke linije. Zakrivljenost prostorne krivulje i njezin proračun.

38. Elipsa, hiperbola i parabola kao stožasti presjeci. Kanonske jednadžbe.

39. Svojstvo usmjerenja elipse, hiperbole i parabole. Polarne jednadžbe.

40. Dvostruki omjer četiri točke na pravcu, njegova svojstva i izračunavanje. Harmonijsko razdvajanje parova točaka. Potpuni četverokut i njegova svojstva. Primjena za rješavanje građevinskih problema.

41. Teoremi Pascala i Brianchona. Poljaci i polari.

Primjeri pitanja o matematičkoj analizi

Kao što znate, skup prirodnih brojeva može se poredati pomoću relacije "manje od". Ali pravila za konstruiranje aksiomatske teorije zahtijevaju da ovaj odnos bude ne samo definiran, već i napravljen na temelju koncepata koji su već definirani u ovoj teoriji. To se može učiniti definiranjem odnosa "manje od" zbrajanjem.

Definicija. Broj a manji je od broja b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.

Pod ovim uvjetima također se kaže da broj b više A i napiši b > a.

Teorem 12. Za bilo koje prirodne brojeve A I b vrijedi jedna i samo jedna od tri relacije: a = b, a > b, A < b.

Izostavljamo dokaz ovog teorema.. Iz ovog teoreme slijedi da ako

a¹ b, ili A< b, ili a > b, oni. relacija “manje” ima svojstvo povezanosti.

Teorem 13. Ako A< b I b< с. Da A< с.

Dokaz. Ovaj teorem izražava svojstvo tranzitivnosti relacije "manje od".

Jer A< b I b< с. onda po definiciji relacije “manje od” postoje prirodni brojevi Do Pa što b = a + k i c = b + I. Ali onda c = (a + k)+ / i na temelju svojstva asocijativnosti zbrajanja dobivamo: c = a + (k +/). Jer k + ja - prirodni broj, onda prema definiciji "manje od", A< с.

Teorem 14. Ako A< b, nije istina da b< а. Dokaz. Ovaj teorem izražava svojstvo antisimetrija odnos "manje".

Dokažimo prvo da ni za jedan prirodni broj A ne ti-!>! ■ )njezin stav A< A. Pretpostavimo suprotno, tj. Što A< а javlja se. Tada, prema definiciji relacije “manje od”, postoji prirodan broj S,Što A+ S= A, a to je u suprotnosti s teoremom 6.

Dokažimo sada da ako A< b, onda to nije istina b < A. Pretpostavimo suprotno, tj. što ako A< b , To b< а izvedena. Ali iz ovih jednakosti, prema teoremu 12 imamo A< а, što je nemoguće.

Budući da je relacija “manje od” koju smo definirali antisimetrična i tranzitivna te ima svojstvo povezanosti, to je relacija linearnog reda, a skup prirodnih brojeva linearno uređeni skup.

Iz definicije "manje od" i njegovih svojstava možemo izvesti poznata svojstva skupa prirodnih brojeva.

Teorem 15. Od svih prirodnih brojeva jedan je najmanji broj, tj. ja< а для любого натурального числа a¹1.

Dokaz. Neka A - bilo koji prirodni broj. Tada su moguća dva slučaja: a = 1 i a¹ 1. Ako a = 1, onda postoji prirodan broj b, slijedi a: a = b " = b + ja = 1 + b, tj., prema definiciji odnosa "manje od", 1< A. Dakle, svaki prirodni broj je jednak 1 ili veći od 1. Ili, jedan je najmanji prirodni broj.

Relacija "manje od" povezana je sa zbrajanjem i množenjem brojeva svojstvima monotonosti.

Teorem 16.

a = b => a + c = b + c i a c = b c;

A< b =>a + c< b + с и ас < bс;

a > b => a + c > b + c i ac > bc.

Dokaz. 1) Valjanost ove tvrdnje proizlazi iz jedinstvenosti zbrajanja i množenja.

2) Ako A< b, onda postoji takav prirodan broj k,Što A + k = b.
Zatim b+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ Do)= (a + c) + k. Jednakost b+ c = (a + c) + k znači da a + c< b + S.

Na isti način se dokazuje da A< b =>ak< bс.

3) Dokaz je sličan.

Teorem 17(obrnuto od teorema 16).

1) A+ c = b + c ili ac ~ bc-Þ a = b

2) a + c< Ь + с ili ak< prije KristaÞ A< Ь:

3) a + c > b+ sa ili ac > bcÞ a > b.

Dokaz. Dokažimo npr. da iz ak< bс trebao bi A< b Pretpostavimo suprotno, tj. da zaključak teoreme ne vrijedi. Onda to ne može biti to a = b. budući da bi tada jednakost bila zadovoljena ac = bc(Teorem 16); ne može biti A> b, jer bi tada bilo ac > bc(Teorem!6). Prema tome, prema teoremu 12, A< b.

Iz teorema 16 i 17 možemo izvesti dobro poznata pravila za član po član zbrajanje i množenje nejednadžbi. Izostavljamo ih.

Teorem 18. Za bilo koje prirodne brojeve A I b; postoji prirodan broj n takav da p b> a.

Dokaz. Za bilo koga A postoji takav broj P, Što n > a. Da biste to učinili, dovoljno je uzeti n = a + 1. Množenje nejednakosti član po član P> A I b> 1, dobivamo pb > A.

Iz razmatranih svojstava relacije “manje od” slijede bitne značajke skupa prirodnih brojeva koje iznosimo bez dokaza.

1. Ni za jedan prirodan broj A ne postoji takav prirodni broj P,Što A< п < а + 1. Ovo svojstvo se zove vlasništvo
diskretnost skupovi prirodnih brojeva i brojevi A I a + 1 se zove susjedni.

2. Svaki neprazan podskup prirodnih brojeva sadrži
najmanji broj.

3. Ako M- neprazan podskup skupa prirodnih brojeva
i postoji takav broj b, da za sve brojeve x iz M nije izvršeno
jednakost x< b, tada u izobilju M je najveći broj.

Ilustrirajmo svojstva 2 i 3 primjerom. Neka M- skup dvoznamenkastih brojeva. Jer M je podskup prirodnih brojeva i za sve brojeve u tom skupu vrijedi nejednakost x< 100, то в множестве M je najveći broj 99. Najmanji broj sadržan u danom skupu M, - broj 10.

Dakle, odnos "manje od" omogućio je razmatranje (au nekim slučajevima i dokazivanje) značajnog broja svojstava skupa prirodnih brojeva. Konkretno, on je linearno uređen, diskretan i ima najmanji broj 1.

S relacijom “manje od” (“veće od”) za prirodne brojeve osnovnoškolci se upoznaju na samom početku školovanja. A često se uz njegovu teoretsku interpretaciju implicitno koristi i definicija koju smo dali u okviru aksiomatske teorije. Na primjer, učenici mogu objasniti da je 9 > 7 jer je 9 7+2. Uobičajena je i implicitna upotreba svojstava monotonosti zbrajanja i množenja. Na primjer, djeca objašnjavaju da je “6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».

Vježbe

1. Zašto se skup prirodnih brojeva ne može poredati pomoću relacije "odmah slijedi"?

Definirajte stav a > b i dokazati da je tranzitivan i antisimetričan.

3. Dokažite da ako a, b, c su prirodni brojevi, tada:

A) A< b Þ ас < bс;

b) A+ S< b + sÞ> A< Ь.

4. Koje teoreme o monotonosti zbrajanja i množenja mogu
koriste mlađi školarci pri ispunjavanju zadatka "Usporedite bez računanja":

a) 27 + 8 ... 27 + 18;

b) 27-8 ... 27 -18.

5. Koja svojstva skupa prirodnih brojeva implicitno koriste osnovnoškolci pri izvođenju sljedećih zadataka:

A) Zapiši brojeve koji su veći od 65 i manji od 75.

B) Navedite prethodni i sljedeći broj u odnosu na broj 300 (800,609,999).

C) Navedi najmanji i najveći troznamenkasti broj.

Oduzimanje

U aksiomatskoj konstrukciji teorije prirodnih brojeva oduzimanje se obično definira kao inverzna operacija zbrajanja.

Definicija. Oduzimanje prirodnih brojeva a i b je operacija koja zadovoljava uvjet: a - b = c ako i samo ako je b + c = a.

Broj a - b naziva se razlika brojeva a i b, broj A– minuend, broj b- odbitni.

Teorem 19. Razlika prirodnih brojeva A- b postoji ako i samo ako b< а.

Dokaz. Neka razlika A- b postoji. Tada, prema definiciji razlike, postoji prirodan broj S,Što b + c = a,što znači da b< а.

Ako b< а, tada, prema definiciji relacije “manje od”, postoji prirodan broj c takav da b + c = a. Zatim, prema definiciji razlike, c = a - b, oni. razlika a - b postoji.

Teorem 20. Ako je razlika prirodnih brojeva A I b postoji, onda je jedinstven.

Dokaz. Pretpostavimo da postoje dvije različite vrijednosti razlike između brojeva A I b;: a – b= s₁ I a - b= s₂, i s₁ ¹ s₂ . Tada, prema definiciji razlike, imamo: a = b + c₁, I a = b + c₂ : . Iz toga slijedi da b+ c ₁ = b + c₂ : i na temelju teorema 17 zaključujemo, s₁ = s₂.. Došli smo do kontradikcije s pretpostavkom, što znači da je netočna, ali ovaj teorem je točan.

Na temelju definicije razlike prirodnih brojeva i uvjeta njezina postojanja mogu se opravdati poznata pravila oduzimanja broja od zbroja i zbroja od broja.

Teorem 21. Neka A. b I S- cijeli brojevi.

i ako a > c, tada je (a + b) - c = (a - c) + b.

b) Ako b > c. zatim (a + b) - c - a + (b - c).

c) Ako a > c i b > c. tada možete koristiti bilo koju od ovih formula.
Dokaz. U slučaju a) razlika brojeva A I c postoji jer a > s. Označimo to sa x: a - c = x. gdje a = c + x. Ako (A+ b) - c = y. tada, prema definiciji razlike, A+ b = S+ na. Umjesto toga zamijenimo u ovu jednakost A izraz c + x:(c + x) + b = c + y. Iskoristimo svojstvo asocijativnosti zbrajanja: c + (x + b) = c+ na. Transformirajmo ovu jednakost na temelju svojstva monotonosti zbrajanja i dobijemo:

x + b = u..Zamjenjujući x u ovoj jednakosti izrazom a - c, imat će (A - G) + b = y. Dakle, dokazali smo da ako a > c, tada je (a + b) - c = (a - c) + b

Slično se dokazuje iu slučaju b).

Dokazani teorem može se formulirati u obliku pravila koje je zgodno za pamćenje: da bi se od zbroja oduzeo broj, dovoljno je taj broj oduzeti od jednog člana zbroja i dobivenom rezultatu dodati drugi izraz.

Teorem 22. Neka a, b i c - cijeli brojevi. Ako a > b+ s, dakle A- (b + c) = (a - b) - c ili a - (b + c) = (a - c) - b.

Dokaz ove teorije sličan je dokazu teorema 21.

Teorem 22 može se formulirati kao pravilo: da bi se od broja oduzeo zbroj brojeva, dovoljno je od tog broja oduzeti svaki član jedan po jedan.

U primarnoj nastavi matematike definicija oduzimanja kao suprotnosti zbrajanju u pravilu se ne daje u općenitom obliku, ali se stalno koristi, počevši od izvođenja operacija nad jednoznamenkastim brojevima. Učenici bi trebali jasno razumjeti da je oduzimanje povezano sa zbrajanjem i koristiti taj odnos u izračunima. Oduzimajući, na primjer, broj 16 od broja 40, učenici razmišljaju ovako: „Oduzimanje broja 16 od 40 znači pronaći takav broj da kada se pribroji broju 16 dobije rezultat 40; ovaj broj će biti 24, budući da je 24 + 16 = 40. Dakle. 40 - 16 = 24."

Pravila oduzimanja broja od zbroja i zbroja od broja u početnom tečaju matematike teorijska su osnova za različite tehnike računanja. Na primjer, vrijednost izraza (40 + 16) - 10 može se pronaći ne samo izračunavanjem zbroja u zagradama i potom od njega oduzimanjem broja 10, već i na ovaj način;

a) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:

b) (40 + 16) - 10 = 40 + (16- 10) = 40 + 6 = 46.

Vježbe

1. Je li točno da se svaki prirodni broj dobiva od neposredno sljedećeg oduzimanjem jedan?

2. Što je posebno u logičkoj strukturi teorema 19? Može li se to formulirati riječima "potrebno i dovoljno"?

3. Dokažite da je:

i ako b > c, Da (a + b) - c = a + (b - c);

b) ako a > b + c, To a - (b+ c) = (a - b) - c.

4. Može li se bez izračunavanja reći koji će izrazi imati iste vrijednosti:

a) (50 + 16)- 14; d) 50 + (16 -14 ),

b) (50 - 14) + 16; e) 50 - (16 - 14);
c) (50 - 14) - 16, f) (50 + 14) - 16.

a) 50 - (16 + 14); d) (50 - 14) + 16;

b) (50 - 16) + 14; e) (50 - 14) - 16;

c) (50 - 16) - 14; e) 50 - 16-14.

5. Koja su svojstva oduzimanja teorijska osnova za sljedeće računske tehnike koje se proučavaju u početnom tečaju matematike:

12 - 2-3 12 -5 = 7

b) 16-7 = 16-6 - P;

c) 48 - 30 = (40 + 8) - 30 = 40 + 8 =18;

d) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.

6. Opišite moguće načine vrednovanja vrijednosti izraza oblika. a - b- S te ih ilustrirati konkretnim primjerima.

7. Dokaži da kada b< а a svaki prirodni c jednakost je istinita (a – b) c = ac - bc.

Bilješka. Dokaz se temelji na aksiomu 4.

8. Odredite vrijednost izraza bez izvođenja pisanih izračuna. Obrazložite svoje odgovore.

a) 7865 × 6 – 7865 × 5: b) 957 × 11 – 957; c) 12 × 36 – 7 × 36.

Podjela

U aksiomatskoj konstrukciji teorije prirodnih brojeva dijeljenje se obično definira kao operacija obratna od množenja.

Definicija. Dijeljenje prirodnih brojeva a i b je operacija koja zadovoljava uvjet: a: b = c ako i samo ako Do kada b× c = a.

Broj a:b nazvao privatna brojevima A I b, broj A djeljiv, broj b- djelitelj.

Kao što je poznato, dijeljenje na skupu prirodnih brojeva ne postoji uvijek i ne postoji tako zgodan znak postojanja kvocijenta kakav postoji za razliku. Postoji samo nužan uvjet za postojanje posebnog.

Teorem 23. Da bi postojao količnik dva prirodna broja A I b, potrebno je da b< а.

Dokaz. Neka kvocijent prirodnih brojeva A I b postoji, tj. postoji prirodan broj c takav da bc = a. Budući da za svaki prirodni broj 1 vrijedi nejednakost 1 £ S, zatim, množenjem oba njegova dijela prirodnim brojem b, dobivamo b£ prije Krista. Ali bc = a, stoga, b£ A.

Teorem 24. Ako je kvocijent prirodnih brojeva A I b postoji, onda je jedinstven.

Dokaz ovog teorema sličan je dokazu teorema o jedinstvenosti razlike prirodnih brojeva.

Na temelju definicije kvocijenta prirodnih brojeva i uvjeta za njegovo postojanje moguće je opravdati poznata pravila dijeljenja zbroja (razlike, umnoška) brojem.

Teorem 25. Ako brojevi A I b djeljiv brojem S, zatim njihov zbroj a + b podijeljeno s c, a kvocijent dobiven dijeljenjem zbroja A+ b po broju S, jednaka zbroju kvocijenata dobivenih dijeljenjem A na S I b na S, tj. (a + b):c = a:c + b:S.

Dokaz. Budući da broj A podjeljeno sa S, tada postoji prirodan broj x = A; to je a = cx. Slično tome, postoji takav prirodni broj y = b:S,Što

b= su. Ali onda a + b = cx+ cy = - c(x + y). To znači da a + b dijeli se s c, a kvocijent dobiven dijeljenjem zbroja A+ b brojem c, jednak x + y, oni. sjekira + b: c.

Dokazani teorem može se formulirati kao pravilo za dijeljenje zbroja s brojem: da bi se zbroj podijelio s brojem, dovoljno je svaki član podijeliti s tim brojem i zbrojiti dobivene rezultate.

Teorem 26. Ako prirodni brojevi A I b djeljiv brojem S I a > b, onda razlika a - b dijeli se s c, a kvocijent dobiven dijeljenjem razlike s brojem c jednak je razlici kvocijenata dobivenih dijeljenjem A na S I b na c, tj. (a - b):c = a:c - b:c.

Dokaz ovog teorema sličan je dokazu prethodnog teorema.

Ovaj se teorem može formulirati kao pravilo za dijeljenje razlike brojem: Za Da bi se razlika podijelila s brojem, dovoljno je tim brojem podijeliti umanjenik i umanjenik i od prvog količnika oduzeti drugi.

Teorem 27. Ako je prirodan broj A djeljiv s prirodnim brojem c, tada za svaki prirodni broj b raditi ab podijeljen sa s. U ovom slučaju kvocijent dobiven dijeljenjem umnoška ab na broj s , jednak umnošku količnika dobivenog dijeljenjem A na S, i brojevima b: (a × b): c - (a: c) × b.

Dokaz. Jer A podjeljeno sa S, onda postoji prirodan broj x takav da a:c= x, gdje je a = cx. Množenje obje strane jednakosti sa b, dobivamo ab = (cx)b. Budući da je množenje asocijativno, dakle (cx) b = c(x b). Odavde (a b):c = x b= (a:c) b. Teorem se može formulirati kao pravilo za dijeljenje proizvoda s brojem: da bi se proizvod podijelio s brojem, dovoljno je podijeliti jedan od faktora s tim brojem i pomnožiti dobiveni rezultat s drugim faktorom.

U osnovnom matematičkom obrazovanju definicija dijeljenja kao operacije obratne množenju u pravilu se ne daje u općenitom obliku, ali se stalno koristi, počevši od prvih sati upoznavanja s dijeljenjem. Učenici bi trebali jasno razumjeti da je dijeljenje povezano s množenjem i koristiti taj odnos pri izračunima. Dijeleći npr. 48 sa 16, učenici razmišljaju ovako: „Podijeliti 48 sa 16 znači pronaći broj koji, pomnožen sa 16, daje 48; takav bi broj bio 3, budući da je 16×3 = 48. Prema tome, 48: 16 = 3.

Vježbe

1. Dokažite da je:

a) ako je kvocijent prirodnih brojeva a i b postoji, onda je jedinstven;

b) ako brojevi a i b dijele se na S I a > b, Da (a - b): c = a: c - b: c.
2. Može li se reći da su sve ove jednakosti istinite:
a) 48:(2×4) = 48:2:4; b) 56:(2×7) = 56:7:2;

c) 850:170 = 850:10:17.

Koje pravilo generalizira ove slučajeve? Formulirajte to i dokažite.

3. Koja su svojstva dijeljenja teorijska osnova
rješavanje sljedećih zadataka ponuđenih učenicima osnovnih škola:

Može li se bez dijeljenja reći koji će izrazi imati iste vrijednosti:

a) (40+ 8):2; c) 48:3; e) (20+ 28):2;

b) (30 + 16):3; g)(21+27):3; f) 48:2;

Jesu li jednakosti istinite:

a) 48:6:2 = 48:(6:2); b) 96:4:2 = 96:(4-2);

c) (40 - 28): 4 = 10-7?

4. Opišite moguće načine izračunavanja vrijednosti izraza
tip:

A) (A+ prije Krista; b) A:b: S; V) ( a × b): Sa .

Predložene metode ilustrirajte konkretnim primjerima.

5. Pronađi značenje izraza na racionalan način; njihov
opravdati svoje postupke:

a) (7 × 63):7; c) (15 × 18):(5× 6);

b) (3 × 4× 5): 15; d) (12 × 21): 14.

6. Opravdajte sljedeće načine dijeljenja dvoznamenkastim brojem:

a) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 =50 + 3 = 53;

b) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 =49;

c) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:

d) (560 × 32): 16 = 560 (32:16) = 560×2 = 1120.

7. Bez dijeljenja s kutom, pronađite najracionalnije
na kvocijentni način; Obrazložite odabranu metodu:

a) 495:15; c) 455:7; e) 275:55;

6) 425:85; d) 225:9; e) 455:65.

Predavanje 34. Svojstva skupa nenegativnih cijelih brojeva

1. Skup nenegativnih cijelih brojeva. Svojstva skupa nenegativnih cijelih brojeva.

2. Pojam segmenta prirodnog niza brojeva i brojni elementi konačnog skupa. Redni i kardinalni prirodni brojevi.

Teoremi o “najvećem” i “najmanjem” cijelom broju

Teorem 4 (o “najmanjem” cijelom broju). Svaki neprazan skup cijelih brojeva omeđen odozdo sadrži najmanji broj. (Ovdje se, kao i u slučaju prirodnih brojeva, koristi riječ “skup” umjesto riječi “podskup” E

Dokaz. Neka su O A C Z i A ograničeni odozdo, tj. 36? ZVa? A(b< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.

Neka sada b A.

Zatim Ua e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >OKO).

Formirajmo skup M od svih brojeva oblika a - b, gdje a prolazi kroz skup A, tj. M = (c [ c = a - b, a E A)

Očito skup M nije prazan jer je A 74 0

Kao što je gore navedeno, M C N . Prema tome, prema teoremu prirodnih brojeva (54, poglavlje III) u skupu M postoji najmanji prirodni broj m. Tada je m = a1 - b za neki broj a1? A, a kako je m najmanji u M, onda je Ua? Na< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.

Teorem 5 (o “najvećem” cijelom broju). Svaki neprazan, ograničen skup cijelih brojeva sadrži najveći broj.

Dokaz. Neka je O 74 A C Z i A ograničeno odozgo brojem b, t j . ? ZVa i A(a< Ь). Тогда -а >b za sve brojeve a? A.

Prema tome, skup M (s r = -a, a? A) nije prazan i odozdo je omeđen brojem (-6). Dakle, prema prethodnom teoremu, najmanji broj se nalazi u skupu M, tj. as? MUs? M (s< с).

Znači li ovo Wah? A(c)< -а), откуда Уа? А(-с >A)

H. Razni oblici metode matematičke indukcije za cijele brojeve. Teorem o dijeljenju s ostatkom

Teorem 1 (prvi oblik metode matematičke indukcije). Neka je P(c) jednomjesni predikat definiran na skupu Z cijelih brojeva, 4. Tada ako za neki BROJ a Z prijedlog P(o) i za proizvoljan cijeli broj K > a iz P(K) slijedi P(K -4- 1), tada prijedlog P(r) vrijedi za sve cijele brojeve s > a (tj. sljedeća formula predikatnog računa istinita je na skupu Z:

R(a) luk > + 1)) Us > aR(s)

za bilo koji fiksni cijeli broj a

Dokaz. Neka sve što je rečeno u uvjetima teorema vrijedi za rečenicu P (c), tj.

1) P(a) - istinito;

2) UK Shch k + također je točno.

Od suprotnog. Pretpostavimo da postoji takav broj

b > a, da je RF) lažan. Očito b a, budući da je P(a) istinito. Formirajmo skup M = (z ? > a, P(z) je lažan).

Tada je skup M 0, budući da je b? M i M- ograničeni su odozdo brojem a. Prema tome, prema teoremu o najmanjem cijelom broju (teorem 4, 2), u skupu M postoji najmanji cijeli broj c. Stoga c > a, što zauzvrat implicira c - 1 > a.

Dokažimo da je P(c-1) istinit. Ako je c-1 = a, tada je P (c-1) istinit na temelju uvjeta.

Neka je c- 1 > a. Tada pretpostavka da je P(c- 1) lažan povlači za sobom pripadnost 1? M, što ne može biti, jer je broj c najmanji u skupu M.

Dakle, c - 1 > a i P(c - 1) je istinito.

Dakle, na temelju uvjeta ovog teorema, rečenica P((c- 1) + 1) je istinita, tj. R(s) - istina. Ovo je u suprotnosti s izborom broja c, jer c? M Teorem je dokazan.

Primijetite da ovaj teorem generalizira Korolar 1 Peanovih aksioma.

Teorem 2 (drugi oblik metode matematičke indukcije za cijele brojeve). Neka je P(c) neki jednomjesni predikat definiran na skupu Z cijelih brojeva. Tada ako iskaz P(c) vrijedi za neki cijeli broj K i za proizvoljan cijeli broj s K iz valjanosti prijedloga P(c) Za sve cijele brojeve koji zadovoljavaju nejednakost K< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >DO.

Dokaz ovog teorema uvelike ponavlja dokaz sličnog teorema za prirodne brojeve (teorem 1, 55, poglavlje III).

Teorem 3 (treći oblik metode matematičke indukcije). Neka je P(c) jednomjesni predikat definiran na skupu Z cijelih BROJEVA. Tada ako je P(c) istinit za sve brojeve nekog beskonačnog podskupa M skupa prirodnih brojeva i za proizvoljan cijeli broj a, istinitost P(a) implicira istinitost P(a - 1), tada je iskaz P(c) vrijedi za sve cijele brojeve.

Dokaz je sličan dokazu odgovarajućeg teorema za prirodne brojeve.

Nudimo ga kao zanimljivu vježbu.

Imajte na umu da je u praksi treći oblik matematičke indukcije rjeđi od ostalih. To se objašnjava činjenicom da je za njegovu primjenu potrebno poznavati beskonačni podskup M skupa prirodnih brojeva, o čemu se govori u teoremu. Pronalaženje takvog skupa možda neće biti lak zadatak.

Ali prednost trećeg oblika nad ostalima je u tome što se uz njegovu pomoć može dokazati tvrdnja P(c) za sve cijele brojeve.

U nastavku ćemo dati zanimljiv primjer primjene trećeg oblika." Ali prvo dajmo jedan vrlo važan koncept.

Definicija. Apsolutna vrijednost cijelog broja a je broj određen pravilom

0, ako je O a, ako je > O

A ako a< 0.

Dakle, ako je 0, tada je ? N.

Pozivamo čitatelja da, kao vježbu, dokaže sljedeća svojstva apsolutne vrijednosti:

Teorem (o dijeljenju s ostatkom). Za bilo koje cijele brojeve a i b, gdje je b 0, postoji i, štoviše, samo jedan par brojeva q U m takav da je a r: bq + T L D.

Dokaz.

1. Postojanje para (q, m).

Neka a, b? Z i 0. Pokažimo da postoji par brojeva q i koji zadovoljava uvjete

Dokaz izvodimo indukcijom u trećem obliku na broj a za fiksni broj b.

M = (mlm= n lbl,n? N).

Očito je da je M C preslikavanje f: N M, definirano pravilom f(n) = nlbl za bilo koji n? N, je bijekcija. To znači da M N, tj. M- beskonačno.

Dokažimo da je za proizvoljan broj a? M (i b-fiksna) tvrdnja teorema o postojanju para brojeva q i m je istinita.

Doista, neka (- M. Onda pf! za neki n? N.

Ako je b > 0, tada je a = n + O. Sada postavljamo q = n i m O, dobivamo traženi par brojeva q i m< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q

Napravimo sada induktivnu pretpostavku. Pretpostavimo da je za proizvoljan cijeli broj c (i proizvoljno fiksno b ​​0) tvrdnja teorema točna, tj. postoji par brojeva (q, m) takav da

Dokažimo da to vrijedi i za broj (s 1). Iz jednakosti c = bq -4- slijedi da je bq + (t - 1). (1)

Može biti slučajeva.

1) m > 0. Tada je 7" - 1 > 0. U ovom slučaju, stavljajući - m - 1, dobivamo c - 1 - bq + Tl, gdje par (q, 7"1,) očito zadovoljava uvjet

0. Tada je c - 1 bq1 + 711 , gdje je q1

Lako možemo dokazati da je 0< < Д.

Dakle, izjava vrijedi i za par brojeva

Prvi dio teorema je dokazan.

P. Jedinstvenost para q itd.

Pretpostavimo da za brojeve a i b 0 postoje dva para brojeva (q, m) i (q1, tada, zadovoljavajući uvjete (*)

Dokažimo da se podudaraju. Pa neka

i bq1 L O< Д.

To implicira da je b(q1 -q) m- 7 1 1. Iz ove jednakosti slijedi da

Ako sada pretpostavimo da je q ql, tada je q - q1 0, odakle je lq - q1l 1. Množenjem ovih nejednakosti član po član s brojem lbl, dobivamo φ! - q11 D. (3)

Istovremeno, iz nejednakosti 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.

Vježbe:

1. Dovršite dokaze teorema 2 i 3 iz 5 1.

2. Dokažite korolar 2 iz teorema 3, 1.

3. Dokaži da podskup H C Z, koji se sastoji od svih brojeva oblika< п + 1, 1 >(n? N), zatvoreno za zbrajanje i množenje.

4. Neka H označava isti skup kao u 3. vježbi. Dokažite da preslikavanje j : M zadovoljava uvjete:

1) j - bijekcija;

2) j(n + m) = j(n) + j(m) i j(nm) = j(n) j(m) za sve brojeve n, m (tj. j izvodi izomorfizam algebri (N , 4, i (H, + ,).

5. Dovršite dokaz teorema 1 od 2.

6. Dokažite da za bilo koje cijele brojeve a, b, c vrijede sljedeće implikacije:

7. Dokažite drugi i treći teorem iz Z.

8. Dokažite da prsten Z cijelih brojeva ne sadrži djelitelje nule.

Književnost

1. Bourbaki N. Teorija skupova. M.: Mir, 1965.

2. Vinogradov I. M. Osnove teorije brojeva. M.: Nauka, 1972. Z. DemiDov I. T. Temelji aritmetike. M.: Učpedgiz, 1963.

4. Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Osnove teorije grupa.

M.: Nauka, 1972.

5. Kostrikin A.I. Uvod u algebru. M.: Nauka, 1994.

b. Kulikov L. Ya. Algebra i teorija brojeva. M.: Više. škola, 1979.

7. Kurosh A.G. Viši tečaj algebre. M.: Nauka, 1971.

8. Lyubetsky V. A. Osnovni pojmovi školske matematike. M.: Obrazovanje, 1987.

9. Lyapin EU. i dr. Vježbe iz teorije grupa. M.: Nauka, 1967.

10. Maltsev A.I. Algebarski sustavi. M.: Nauka, 1970.

11. MenDelson E. Uvod u matematičku logiku. M.: Nauka, 1971.

12. Nechaev V.I. Numerički sustavi. M.: Obrazovanje, 1975.

13. Novikov P.S. Elementi matematičke logike. M.. Znanost, 1973.

14. Petrova V. T. Predavanja iz algebre i geometrije.: Na 2 sata.

CHL. M.: Vlados, 1999.

15. Suvremeni temelji školskog matematičkog predmeta Auth. Col.: Vilenkin N.Ya., Dunichev K.I., Kalltzhnin LA Stolyar A.A. M.: Obrazovanje, 1980.

16. Skornyakov L. A. Elementi algebre. M.: Nauka, 1980.

17. Stom R.R. Skup, logika, aksiomatske teorije. M.; Prosvjeta, 1968.

18. Stolyar A. A. Logički uvod u matematiku. Minsk: NAJVIŠI. škola, 1971.

19. Filippov V.P. Algebra i teorija brojeva. Volgograd: VGPI, 1975.

20. Frenkel A., Bar-Hilel I. Temelji teorije skupova. M.: Mir, 1966.

21. Fuchs L. Djelomično uređeni sustavi. M.: Mir, 1965.

Edukativna publikacija

Vladimir Konstantinovič Kartašov

UVODNI TEČAJ MATEMATIKE

Tutorial

Urednička priprema O. I. Molokanova Originalni prijelom pripremio A. P. Boshchenko

“PR 020048 od 20.12.96

Potpisano za tisak 28. kolovoza 1999. Format 60x84/16. Uredski tisak Bum. tip. M 2. Uel. pećnica l. 8.2. Akademsko ur. l. 8.3. Naklada 500 primjeraka. Narudžba 2

Izdavačka kuća "Peremena"