Prsten racionalnih brojeva je polje. Pojam prstena, najjednostavnija svojstva prstena

Definicija 2.5. Prsten nazvao algebra

R = (R, +, ⋅, 0 , 1 ),

čija se signatura sastoji od dvije binarne i dvije nullarne operacije, a za bilo koje a, b, c ∈ R vrijede sljedeće jednakosti:

1. a+(b+c) = (a+b)+c;
2. a+b = b+a;
3. a + 0 = a;
4. za svaki a ∈ R postoji element a" takav da je a+a" = 0
5. a-(b-c) = (a-b)-c;
6. a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a;
7. a⋅(b + c) = a⋅b + a⋅c, (b + c) ⋅ a = b⋅ a + c⋅a.

Poziva se operacija + dodajući prsten , operacija množenje prstena , element 0 - nula prstena , element 1 - prstenasta jedinica .

Jednakosti 1-7 navedene u definiciji nazivaju se aksiomi prstena . Razmotrimo te jednakosti sa stajališta pojma skupine I monoid.

Aksiomi prstena 1-4 znače da algebra (R, +, 0 ), čija se signatura sastoji samo od operacija zbrajanja prstena + i nule prstena 0 , je abelska grupa. Ova grupa se zove aditivna skupina prstena R a također kažu da je po adiciji prsten komutativna (Abelova) grupa.

Aksiomi prstena 5 i 6 pokazuju da je algebra (R, ⋅, 1), čiji potpis uključuje samo množenje prstena ⋅ i identitet prstena 1, monoid. Ovaj monoid se zove multiplikativni monoid prstena R a kažu da je množenjem prsten monoid.

Veza između zbrajanja prstena i množenja prstena uspostavljena je aksiomom 7, prema kojem je operacija množenja distributivna u odnosu na operaciju zbrajanja.

Uzimajući u obzir gore navedeno, napominjemo da je prsten algebra s dvije binarne i dvije nullarne operacije R =(R, +, ⋅, 0 , 1 ), tako da:

1. algebra (R, +, 0 ) - komutativna grupa;
2. algebra (R, ⋅, 1 ) - monoid;
3. operacija ⋅ (množenje prstena) je distributivna u odnosu na operaciju + (zbrajanje prstena).

Napomena 2.2. U literaturi postoji različit sastav aksioma prstena koji se odnosi na množenje. Dakle, aksiom 6 može biti odsutan (ne postoji 1 ) i aksiom 5 (množenje nije asocijativno). U ovom slučaju razlikuju se asocijativni prstenovi (zahtjev asocijativnog množenja dodan je aksiomima prstena) i prstenovi s jedinicom. U potonjem slučaju dodaju se zahtjevi asocijativnosti množenja i postojanja jedinice.

Definicija 2.6. Prsten se zove komutativni , ako je njegova operacija množenja komutativna.

Primjer 2.12. A. Algebra (ℤ, +, ⋅, 0, 1) je komutativni prsten. Imajte na umu da algebra (ℕ 0, +, ⋅, 0, 1) neće biti prsten, budući da je (ℕ 0, +) komutativni monoid, ali ne i grupa.

b. Razmotrimo algebru ℤ k = ((0,1,..., k - 1), ⊕ k , ⨀ k , 0,1) (k>1) s operacijom ⊕ k zbrajanja modulo l i ⨀ k (množenje modulo l). Potonji je sličan operaciji zbrajanja po modulu l: m ⨀ k n jednako je ostatku dijeljenja s k broja m ⋅ n. Ova algebra je komutativni prsten, koji se zove prsten ostataka po modulu k.

V. Algebra (2 A, Δ, ∩, ∅, A) je komutativni prsten, što proizlazi iz svojstava presjeka i simetrične razlike skupova.

G. Primjer nekomutativnog prstena daje skup svih kvadratnih matrica fiksnog reda s operacijama zbrajanja i množenja matrica. Jedinica ovog prstena je matrica identiteta, a nula je matrica nula.

d. Neka L- linearni prostor. Razmotrimo skup svih linearnih operatora koji djeluju u tom prostoru.

Podsjetimo da iznositi dva linearni operatori A I U pozvanog operatera A + B, tako da ( A + U) X = Oh +U, X∈ L.

Produkt linearnih operatora A I U naziva se linearno-linearni operator AB, tako da ( AB)X = A(U) za bilo koga X ∈ L.

Koristeći svojstva navedenih operacija na linearnim operatorima, možemo pokazati da skup svih linearnih operatora koji djeluju u prostoru L, zajedno s operacijama zbrajanja i množenja operatora, čini prsten. Nula ovog prstena je nulti operator, a po jedinici - operator identiteta.

Ovaj prsten se zove prsten linearnih operatora u linearnom prostoru L. #

Aksiome prstena također se nazivaju osnovni identiteti prstena . Identitet prstena je jednakost čija je valjanost sačuvana kada se bilo koji element prstena zamijeni varijablama koje se u njemu pojavljuju. Postulirani su osnovni identiteti, a iz njih se zatim mogu izvesti drugi identiteti kao posljedice. Pogledajmo neke od njih.

Prisjetimo se da je aditivna grupa prstena komutativna i operacija oduzimanje.

Teorem 2.8. U bilo kojem prstenu vrijede sljedeći identiteti:

1. 0 ⋅ a = a ⋅ 0 = 0 ;
2. (-a) ⋅ b = -(a ⋅ b) = a ⋅ (-b);
3. (a-b) ⋅ c = a ⋅ c - b ⋅ c, c ⋅ (a-b) = c ⋅ a - c ⋅ b.

◀Dokažimo identitet 0 ⋅ a = 0 . Napišimo za proizvoljno a:

a+ 0 ⋅ a = 1 ⋅ a + 0 ⋅ a = ( 1 +0 ) ⋅ a = 1 ⋅ a = a

Dakle, + 0 ⋅ a = a. Posljednju jednakost možemo smatrati jednadžbom u aditivnoj grupi prstena s obzirom na nepoznati element 0 ⋅ a. Budući da u aditivnoj skupini svaka jednadžba oblika a + x = b ima jedinstveno rješenje x = b - a, tada 0 ⋅ a = a - a = 0 . Identitet a⋅ 0 = 0 dokazuje se na sličan način.

Dokažimo sada identitet - (a ⋅ b) = a ⋅ (-b). imamo

a ⋅ (-b)+a ⋅ b = a ⋅ ((-b) + b) = a ⋅ 0 = 0 ,

odakle je a ⋅ (-b) = -(a ⋅ b). Na isti način se može dokazati da je (-a) ⋅ b = -(a ⋅ b).

Dokažimo treći par identiteta. Razmotrimo prvi od njih. Uzimajući u obzir gore dokazano, imamo

a ⋅ (b - c) = a ⋅ (b+(-c)) = a ⋅ b + a ⋅ (-c) =a ⋅ b - a ⋅ c,

one. identitet je istinit. Drugi identitet ovog para dokazuje se na sličan način.

Korolar 2.1. U bilo kojem prstenu identitet ( -1 ) ⋅ x = x ⋅ ( -1 ) = -x.

◀Navedeni korolar slijedi iz drugog identiteta teorema 2.8 za a = 1 i b = x.

Prva dva identiteta dokazana u teoremu 2.8 izražavaju svojstvo tzv poništavanje svojstva nule u ringu. Treći par identiteta ovog teorema izražava svojstvo distribucije operacije množenja prstena u odnosu na operaciju oduzimanja. Dakle, kada izvodite izračune u bilo kojem prstenu, možete otvoriti zagrade i promijeniti znakove na isti način kao kada zbrajate, oduzimate i množite realne brojeve.

Nenula elementi a i b prstena R nazvao razdjelnici nula , ako je a ⋅ b = 0 ili b ⋅ a = 0 . Primjer prstena s djeliteljem nule daje bilo koji modulo rezidualni prsten k ako je k složeni broj. U ovom slučaju, umnožak modula k bilo kojeg tipa koji daje višekratnik k tijekom običnog množenja bit će jednak nuli. Na primjer, u prstenu ostataka po modulu 6, elementi 2 i 3 su djelitelji nule, budući da je 2 ⨀ 6 3 = 0. Drugi primjer je dat prstenom kvadratnih matrica fiksnog reda (barem dvije). Na primjer, za matrice drugog reda imamo

Kada su a i b različiti od nule, zadane matrice su djelitelji nule.

Množenjem, prsten je samo monoid. Postavimo pitanje: u kojim slučajevima će multiplikacijski prsten biti grupa? 0 ≠ 1 Prije svega, imajte na umu da skup svih elemenata prstena u kojem 0" , ne mogu formirati grupe množenja, jer nula ne može imati inverz. Doista, ako pretpostavimo da takav element 0 ⋅ 0" = 0" ⋅ 0 = 1 , a s druge - 0 ⋅ 0" = 0" ⋅ 0 = 0 , odakle je 0 = 1. Ovo je u suprotnosti s uvjetom 0 ≠ 1 . Dakle, gore postavljeno pitanje može se precizirati na sljedeći način: u kojim slučajevima skup svih elemenata prstena različitih od nule čini grupu pod množenjem?

Ako prsten ima djelitelje nule, tada podskup svih elemenata prstena koji nisu nula ne čini skupinu množenja, barem zato što taj podskup nije zatvoren u operaciji množenja, tj. Postoje elementi različiti od nule čiji je proizvod jednak nuli.

Prsten u kojem skup svih elemenata različitih od nule množenjem čini grupu zove se tijelo , komutativno tijelo - polje , a skupina nenula elemenata tijela (polja) množenjem - multiplikativna grupa ovaj tijelo (polja). Prema definiciji, polje je poseban slučaj prstena u kojem operacije imaju dodatna svojstva. Zapišimo sva svojstva koja su potrebna za rad na terenu. Također se nazivaju aksiomi polja .

Polje je algebra F = (F, +, ⋅, 0, 1), čija se signatura sastoji od dvije binarne i dvije nullarne operacije, a vrijede identiteti:

1. a+(b+c) = (a+b)+c;
2. a+b = b+a;
3. a+0 = a;
4. za svaki a ∈ F postoji element -a takav da je a+ (-a) = 0;
5. a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c;
6. a ⋅ b = b ⋅ a
7. a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a
8. za svaki a ∈ F različit od 0, postoji element a -1 takav da je a ⋅ a -1 = 1;
9. a ⋅ (b+c) = a ⋅ b + a ⋅ c.

Primjer 2.13. A. Algebra (ℚ, +, ⋅, 0, 1) je polje tzv polje racionalnih brojeva .

b. Algebre (ℝ, +, ⋅, 0, 1) i (ℂ, +, ⋅, 0, 1) su polja tzv. polja realnih i kompleksnih brojeva odnosno.

V. Primjer tijela koje nije polje je algebra kvaternioni . #

Dakle, vidimo da aksiomi polja odgovaraju poznatim zakonima zbrajanja i množenja brojeva. Pri numeričkim proračunima “radimo u poljima”, naime bavimo se prvenstveno poljima racionalnih i realnih brojeva, ponekad se “preselimo” i na polje kompleksnih brojeva.

Definicija 4.1.1. Prsten (K, +, ) je algebarski sustav s nepraznim skupom K i dvije binarne algebarske operacije na njemu koje ćemo nazvati dodatak I množenje. Prsten je Abelova aditivna grupa, a množenje i zbrajanje povezani su zakonima distributivnosti: ( a + b)  c = a  c + b  c I S  (a + b) = c  a + c  b za proizvoljno a, b, c  K.

Primjer 4.1.1. Navedimo primjere prstenova.

1. (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) – redom, prstenovi cijelih, racionalnih, realnih i kompleksnih brojeva s uobičajenim operacijama zbrajanja i množenja. Ovi prstenovi se zovu numerički.

2. (Z/nZ, +, ) – prsten klasa ostataka modulo n  N s operacijama zbrajanja i množenja.

3. Mnogi M n (K) sve kvadratne matrice fiksnog reda n  N s koeficijentima iz prstena ( K, +, ) s operacijama zbrajanja i množenja matrica. Posebno, K mogu biti jednaki Z, Q, R, C ili Z/nZ na n  N.

4. Skup svih realnih funkcija definiranih na fiksnom intervalu ( a; b) realni brojevni pravac, s uobičajenim operacijama zbrajanja i množenja funkcija.

5. Skup polinoma (polinoma) K[x] s koeficijentima iz prstena ( K, +, ) iz jedne varijable x s prirodnim operacijama zbrajanja i množenja polinoma. Konkretno, polinomski prstenovi Z[x], Q[x], R[x], C[x], Z/nZ[x] na n  N.

6. Prsten vektora ( V 3 (R), +, ) s operacijama zbrajanja i vektorskog množenja.

7. Prsten ((0), +, ) s operacijama zbrajanja i množenja: 0 + 0 = 0, 0  0 = = 0.

Definicija 4.1.2. razlikovati konačno i beskonačno prstenovi (prema broju elemenata seta K), ali glavna se klasifikacija temelji na svojstvima množenja. razlikovati asocijativni zvoni kada je operacija množenja asocijativna (točke 1–5, 7 primjera 4.1.1) i neasocijativno prstenovi (točka 6 primjera 4.1.1: ovdje ,). Asocijativni prstenovi se dijele na prstenje s jednim(postoji neutralni element u pogledu množenja) i bez jedinice, komutativni(operacija množenja je komutativna) i nekomutativni.

Teorema4.1.1. Neka ( K, +, ) je asocijativni prsten s jedan. Zatim mnogi K* invertibilan u odnosu na množenje elemenata prstena K– multiplikativna grupa.

Provjerimo ispunjenost definicije skupine 3.2.1. Neka a, b  K*. Pokažimo to a  b  K * .  (a  b) –1 = b –1  A –1  K. Stvarno,

(a  b)  (b –1  A –1) = a  (b  b –1)  A –1 = a  1  A –1 = 1,

(b –1  A –1)  (a  b) = b –1  (A –1  a)  b = b –1  1  b = 1,

Gdje A –1 , b –1  K– inverzni elementi na a I b odnosno.

1) Množenje u K* asocijativno, jer K– asocijativni prsten.

2) 1 –1 = 1: 1  1 = 1  1  K* , 1 – neutralni element u odnosu na množenje u K * .

3) Za  a  K * , A –1  K*, jer ( A –1)  a = a  (A –1) = 1
(A –1) –1 = a.

Definicija 4.1.3. Mnogi K* invertibilan u odnosu na množenje elemenata prstena ( K, +, ) nazivaju se multiplikativna prstenasta grupa.

Primjer 4.1.2. Navedimo primjere multiplikativnih grupa raznih prstenova.

1. Z * = {1, –1}.

2. M n (Q) * = G.L. n (Q), M n (R) * = G.L. n (R), M n (C) * = G.L. n (C).

3. Z/nZ* – skup invertibilnih klasa ostataka, Z/nZ * = { | (k, n) = 1, 0  k < n), na n > 1 | Z/nZ * | =  (n), Gdje  – Eulerova funkcija.

4. (0) * = (0), jer je u ovom slučaju 1 = 0. 

Definicija 4.1.4. Ako je u asocijativnom prstenu ( K, +, ) s grupom jedinica K * = K\(0), gdje je 0 neutralni element u odnosu na zbrajanje, tada se takav prsten naziva tijelo ili algebra sapodjela. Komutativno tijelo se zove polje.

Iz ove je definicije očito da u tijelu K*   i 1  K* znači 1  0, stoga se minimalno tijelo, koje je polje, sastoji od dva elementa: 0 i 1.

Primjer 4.1.3.

1. (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) – redom numerička polja racionalni, realni i kompleksni brojevi.

2. (Z/strZ, +, ) – konačno polje iz str elementi ako str– prosti broj. Na primjer, ( Z/2Z, +, ) – minimalno polje od dva elementa.

3. Nekomutativno tijelo je kvaternionsko tijelo– postaviti kvaternioni, odnosno izrazi oblika h= a + dvo + cj + dk, Gdje a, b, c, d  R, ja 2 = = j 2 = k 2 = – 1, ja  j= k= – j  ja, j  k= ja= – k  j, ja  k= – j= – k  ja, s operacijama zbrajanja i množenja. Kvaternioni se dodaju i množe član po član, uzimajući u obzir gornje formule. Za sve h 0 inverzni kvaternion ima oblik:
.

Postoje prstenovi s djeliteljima nule i prstenovi bez djelitelja nule.

Definicija 4.1.5. Ako prsten sadrži elemente različite od nule a I b takav da a  b= 0, tada se nazivaju djelitelji nule, a sam prsten – prsten s djeliteljima nula. Inače se prsten zove prsten bez djelitelja nule.

Primjer 4.1.4.

1. Prstenje ( Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) – prstenovi bez djelitelja nule.

2. U ringu ( V 3 (R), +, ) svaki element koji nije nula je djelitelj nule, jer
za svakoga
V 3 (R).

3. U prstenu matrice M 3 (Z) primjeri djelitelja nule su matrice
I
, jer A  B = O(nulta matrica).

4. U ringu ( Z/nZ, +, ) s kompozitom n = k  m, gdje je 1< k, m < n, klase ostataka I su djelitelji nule, jer. 

U nastavku predstavljamo glavna svojstva prstenova i polja.

Kratak opis

Definicija. Prsten je algebra K = ‹K, +, -, ·, 1› tipa (2, 1, 2, 0), čije glavne operacije zadovoljavaju sljedeće uvjete:

Priložene datoteke: 1 datoteka

Prsten. Definicija. Primjeri. Najjednostavnija svojstva prstenova. Homomorfizam i izomorfizam prstenova.

Definicija. Prsten je algebra K = ‹K, +, -, ·, 1› tipa (2, 1, 2, 0), čije glavne operacije zadovoljavaju sljedeće uvjete:

1. algebra ‹K, +, -› je Abelova grupa;
2. algebra ‹K, ·, 1› je monoid;
3. množenje je distributivno u odnosu na zbrajanje, odnosno za sve elemente a, b, c iz K

(a + b) c = a c + b c, c (a + b) = c a + c b.

Glavni skup K prstena K također je označen sa |K|. Elementi skupa K nazivaju se elementi prstena K.

Def. Skupina ‹K, +, -› naziva se aditivna skupina prstena K. Nula te skupine, odnosno neutralni element u odnosu na zbrajanje, naziva se nula prstena i označava se s 0 ili 0 K. .

Def. Monoid ‹K, ·, 1› naziva se multiplikativni monoid prstena K. Element 1, također označen s 1 K, koji je neutralan u odnosu na množenje, naziva se jedinica prstena K.

Prsten K naziva se komutativnim ako je a · b = b · a za bilo koje elemente a, b prstena. Prsten K se naziva nula ako je |K| = (0 K).

Def. Prsten K se naziva domenom cjelovitosti ako je komutativan, 0 K ≠ 1 K i za bilo koji a, b O K iz a b = 0 slijedi a = 0 ili b = 0.

Def. Elementi a i b prstena K nazivaju se djeliteljima nule ako je a ≠ 0, b ≠ 0 ili ba = 0. (Svaka regija cjelovitosti nema djelitelje nule.)

Primjer. Neka je K skup svih realnih funkcija definiranih na skupu R realnih brojeva. Zbroj f + g, umnožak f g, funkcija

definirani su f(-1) i jedinična funkcija 1: (f + g) (x) = f (x) + g(x);

(f g)(x) = f(x) g(x); (–f) (x) =–f (x); 1(x) = 1. Izravna provjera pokazuje da je algebra ‹K, +, -, ·, 1› komutativni prsten.

Najjednostavnija svojstva. Neka je K prsten. Budući da je algebra ‹K, +, -› Abelova grupa, tada za sve elemente a, b, iz K jednadžba b + x = a ima jedinstveno rješenje a + (-b), koje se također označava s a – b.

1. ako je a + b = a, tada je b = 0;
2. ako je a + b = 0, tada je b = -a;
3. – (-a) = a;
4. 0 · a = a · 0 = a;
5. (-a)b = a(-b) = -(ab);
6. (-a)(-b) = a · b;
7. (a – b)c = ac – bc i c(a – b) = ca – cb.

Neka je K = ‹K, +, -, ◦, 1› i K` = ‹K`, +, -, ·, 1`› - prstenovi. Kaže se da preslikavanje h skupa K u K` čuva glavne operacije prstena K ako su ispunjeni sljedeći uvjeti:

1. h(a+b)=h(a)+h(b) za bilo koje a, b iz prstena K;
2. h(-a)=-h(a) za bilo koje a iz K;
3. h(a b) = h(a)◦h(b) za bilo koji a, b iz K;
4. h(1) = 1`.

Def. Homomorfizam prstena K u (na) prsten K` je preslikavanje skupa K u (na) K` koje čuva sve glavne operacije prstena K. Homomorfizam prstena K na K` naziva se epimorfizam.

Def. Homomorfizam h prstena K na prsten K` naziva se izomorfizam ako je h injektivno preslikavanje skupa K na K`. Kaže se da su prstenovi K i K` izomorfni ako postoji izomorfizam između prstena K i prstena K`.

Koji sadrži jedinicu naziva se prsten s jednim . Jedinica se obično označava brojem "1" (koji odražava svojstva istoimenog broja) ili ponekad (na primjer, u matričnoj algebri), latiničnim slovom I ili E.

Različite definicije algebarskih objekata mogu ili zahtijevati prisutnost jedinice ili je ostaviti kao izborni element. Jednostrani neutralni element ne naziva se jedinicom. Jedinica je jedinstvena u općem svojstvu dvostranog neutralnog elementa.

Ponekad se jedinice prstena nazivaju njegovim invertibilnim elementima, što može izazvati zabunu.

Jedinica, nula i teorija kategorija

Jedinica je jedini element prstena koji je i idempotentan i invertibilan.

Reverzibilnost

Reverzibilan Svaki element u prstena s jedinicom koji je dvostrani djelitelj jedinice naziva se, to jest:

∃ v 1: v 1 u = 1 (\displaystyle \postoji v_(1):v_(1)\,u=1) ∃ v 2: u v 2 = 1 (\displaystyle \postoji v_(2):u\,v_(2)=1) (a 1 + μ 1 1) (a 2 + μ 2 1) = a 1 a 2 + μ 1 a 2 + μ 2 a 1 + μ 1 μ 2 1 (\displaystyle (a_(1)+\mu _( 1)(\mathbf (1) ))(a_(2)+\mu _(2)(\mathbf (1) ))=a_(1)a_(2)+\mu _(1)a_(2) +\mu _(2)a_(1)+\mu _(1)\mu _(2)(\mathbf (1) ))

zadržavajući takva svojstva kao što su asocijativnost i komutativnost množenja. Element 1 bit će jedinica proširene algebre. Ako je već postojala jedinica u algebri, tada će se nakon proširenja pretvoriti u ireverzibilni idempotent.

To se također može učiniti s prstenom, na primjer, jer je svaki prsten asocijativna algebra over

Neka je (K,+, ·) prsten. Budući da je (K, +) Abelova grupa, uzimajući u obzir svojstva grupa dobivamo

SV-VO 1. U svakom prstenu (K,+, ·) postoji jedinstveni nulti element 0 i za svaki a ∈ K postoji jedinstveni element nasuprot njemu -a.

NE-VO 2. ∀ a, b, c ∈ K (a + b = a + c ⇒ b = c).

SV-VO 3. Za bilo koje a, b ∈ K u prstenu K postoji jedinstvena razlika a − b, i a − b = a + (−b). Dakle, operacija oduzimanja definirana je u prstenu K i ima svojstva 1′-8′.

SV-VO 4. Operacija množenja u K je distributivna u odnosu na operaciju oduzimanja, tj. ∀ a, b, c ∈ K ((a − b)c = ac − bc ∧ c(a − b) = ca − cb).

O tome govori doc. Neka su a, b, c ∈ K. Uzimajući u obzir distributivnost operacije · u K u odnosu na operaciju + i definiciju razlike elemenata prstena, dobivamo (a − b)c + bc = ( (a − b) + b)c = ac, odakle po definicijskoj razlici slijedi (a − b)c = ac − bc.

Pravi zakon distributivnosti operacije množenja u odnosu na operaciju oduzimanja dokazuje se na sličan način.

SV-V 5. ∀ a ∈ K a0 = 0a = 0.

Dokaz. Neka je a ∈ K i b-proizvoljan element iz K. Tada je b − b = 0 i stoga, uzimajući u obzir prethodno svojstvo, dobivamo a0 = a(b − b) = ab − ab = 0.

Na sličan način se dokazuje da je 0a = 0.

NE-VO 6. ∀ a, b ∈ K (−a)b = a(−b) = −(ab).

Dokaz. Neka su a, b ∈ K. Tada je (−a)b + ab = ((−a) + a)b =

0b = 0. Dakle, (−a)b = −(ab).

Jednakost a(−b) = −(ab) dokazuje se na sličan način.

NE-VO 7. ∀ a, b ∈ K (−a)(−b) = ab.

Dokaz. Doista, dvaput primjenom prethodnog svojstva dobivamo (−a)(−b) = −(a(−b)) = −(−(ab)) = ab.

KOMENTAR. Svojstva 6 i 7 nazivaju se pravila znakova u prstenu.

Iz distributivnosti operacije množenja u prstenu K u odnosu na operaciju zbrajanja i svojstva 6 i 7 slijedi sljedeće:

SV-VO 8. Neka su k, l proizvoljni cijeli brojevi. Tada je ∀ a, b ∈ K (ka)(lb) = (kl)ab.

Podprsten

Podprsten prstena (K,+, ·) je podskup H skupa K koji je zatvoren prema operacijama + i · definiranim u K i sam je prsten prema tim operacijama.

Primjeri podprstenova:

Dakle, Z je podprsten prstena (Q,+, ·), Q je podprsten prstena (R,+, ·), Rn×n je podprsten prstena (Cn×n,+, ·) , Z[x] je podprsten prstena ( R[x],+, ·), D je podprsten prstena (C,+, ·).

U bilo kojem prstenu (K,+, ·), sam skup K, kao i jednočlani podskup (0) su podprstenovi prstena (K,+, ·). To su takozvani trivijalni podprstenovi prstena (K,+, ·).

Najjednostavnija svojstva podprstenova.

Neka je H potprsten prstena (K,+, ·), tj. (H,+, ·) je i sam prsten. To znači da (H, +)-skupina, tj. H je podskupina skupine (K, +). Stoga su sljedeće tvrdnje točne.

SV-VO 1. Nul element podprstena H prstena K podudara se s nul elementom prstena K.

SV-VO 2. Za svaki element a podprstena H prstena K, njegov suprotni element u H koincidira s −a, tj. sa svojim suprotnim elementom u K.

SV-VO 3. Za bilo koje elemente a i b potprstena H, njihova razlika u H podudara se s elementom a − b, tj. s razlikom ovih elemenata u K.

Znakovi podprstena.

TEOREM 1 (prvi znak podprstena).

Neprazan podskup H prstena K s operacijama + i · je podprsten prstena K ako i samo ako zadovoljava sljedeće uvjete:

∀ a, b ∈ H a + b ∈ H, (1)

∀ a ∈ H − a ∈ H, (2)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H. (3)

Nužnost. Neka je H potprsten prstena (K,+, ·). Tada je H podskupina skupine (K, +). Dakle, prema prvom kriteriju podskupine (u formulaciji aditiva), H zadovoljava uvjete (1) i (2). Štoviše, H je zatvoren prema operaciji množenja definiranoj u K, tj. H

također zadovoljava uvjet (3).

Adekvatnost. Neka H ⊂ K, H 6= ∅ i H zadovoljava uvjete (1) − (3). Iz uvjeta (1) i (2) prema prvom kriteriju podskupine slijedi da je H podskupina grupe (K, +), tj. (H, +)-skupina. Štoviše, budući da je (K, +) Abelova grupa, (H, +) je također Abelova. Osim toga, iz uvjeta (3) slijedi da je množenje binarna operacija na skupu H. Asocijativnost operacije · u H i njezina distributivnost u odnosu na operaciju + proizlaze iz činjenice da su operacije + i · u K imaju takva svojstva.

TEOREM 2 (drugi znak podprstena).

Neprazan podskup H prstena K s operacijama + i · jest

podprstena K t i t, kada zadovoljava sljedeće uvjete:

∀ a, b ∈ H a − b ∈ H, (4)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H. (5)

Dokaz ovog teorema sličan je dokazu teoreme 1.

U ovom slučaju koristi se teorem 2′ (drugi kriterij podskupine u aditivnoj formulaciji) i napomena uz njega.

7.Polje (definicija, vrste, svojstva, karakteristike).

Polje je komutativni prsten s identitetom e nije jednako 0 , u kojem svaki element različit od nule ima inverz.

Klasični primjeri brojčanih polja su polja (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+, ·).

SVOJSTVO 1 . Na svakom polju F vrijedi zakon kontrakcije

zajedničkim faktorom različitim od nule, tj.

∀ a, b, c ∈ F (ab = ac ∧ a nije jednako 0 ⇒ b = c).

IMOVINA 2 . Na svakom polju F nema djelitelja nule.

IMOVINA 3 . Prsten(K,+, ·) je polje ako i samo

kad ih je mnogo K\(0) je komutativna grupa u odnosu na operaciju množenja.

SVOJSTVO 4 . Konačni komutativni prsten različit od nule(K,+, ·) bez djelitelja nule je polje.

Kvocijent elemenata polja.

Neka je (F,+, ·) polje.

Djelomični elementi a I b polja F , Gdje b nije jednako 0 ,

takav se element naziva c ∈ F , Što a = bc .

SVOJSTVO 1 . Za bilo koje elemente a I b polja F , Gdje b nije jednako 0 , postoji jedinstveni kvocijent a/b , i a/b= ab−1.

IMOVINA 2 . ∀ a ∈ F \ (0)

a/a= e I∀ a ∈ F a/e= a.

IMOVINA 3 . ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ (0)

a/b=c/d ⇔ ad = bc.

IMOVINA 4 . ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ (0)

IMOVINA 5 . ∀ a ∈ F ∀ b, c, d ∈ F \ (0)

(a/b)/(c/d)=ad/bc

IMOVINA 6 . ∀ a ∈ F ∀ b, c ∈ F \ (0)

IMOVINA 7 . ∀ a ∈ F ∀ b, c ∈ F \ (0)

IMOVINA 8 . ∀ a, b ∈ F ∀ c ∈ F \ (0)

Polje F , čija jedinica ima konačni red str u grupi(F, +) str .

Polje F jedinica, koja ima beskonačan red u grupi(F, +) , naziva se karakteristično polje 0.

8. Potpolje (definicija, vrste, svojstva, karakteristike)

Potpolje polja(F,+, ·) naziva podskup S postavlja F , koja je zatvorena pod operativom+ I· , definirano u F , a samo je polje u odnosu na ove operacije.

Navedimo neke primjere potpolja Q-potpolje polja (R,+, ·);

R-potpolje polja (C,+, ·);

Sljedeće tvrdnje su točne.

SVOJSTVO 1 . Element potpolja nula S polja F poklapa se s

nulti element polja F .

IMOVINA 2 . Za svaki element a potpolja S polja F njegov suprotni element u S poklapa se s−a , tj. sa svojim suprotnim elementom u F .

IMOVINA 3 . Za bilo koje elemente a I b potpolja S polja F njihov

razlika u S poklapa se s a−b one. s razlikom ovih elemenata u F .

IMOVINA 4 . Jedinica potpolja S polja F poklapa s jednim

e polja F .

IMOVINA 5 . Za svaki element a potpolja S polja F , od-

osobni od nule, njegov inverzni element u S poklapa se s a−1 , tj. s elementom inverznim a V F .

Znakovi potpolja.

TEOREMA 1 (prvi znak potpolja).

Podskup H polja F s operacijama+, · , koji sadrži različite od nule

(F,+, ·)

∀ a, b ∈ H a + b ∈ H, (1)

∀ a ∈ H − a ∈ H, (2)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H, (3)

∀ a ∈ H \ (0) a−1 ∈ H. (4)

TEOREM2 (drugi znak potpolja).

Podskup H polja F s operacijama+, · , koji sadrži različite od nule

element je potpolje polja(F,+, ·) ako i samo ako zadovoljava sljedeće uvjete:

∀ a, b ∈ H a − b ∈ H, (5)

∀ a ∈ H ∀ b ∈ H\(0) a/b ∈ H. (6)

10. Relacija djeljivosti u Z prstenu

Izjava: za bilo koje elemente a,b,c komutativnog prstena na skupu R vrijede sljedeće implikacije:

1) a|b, b|c => a|c

2) a|b, a|c => a| (b c)

3) a|b => a|bc

za bilo koje a, b Z vrijedi sljedeće:

2) a|b, b≠0 => |a|≤|b|

3)a|b i b|a ó |a|=|b|

Dijeljenje cijelog broja a s cijelim brojem b s ostatkom znači pronalaženje cijelih brojeva q i r tako da možete predstaviti a=b*q + r, 0≤r≥|b|, gdje je q nepotpuni kvocijent, r je ostatak

Teorem: Ako su a i b Z, b≠0, tada se a može podijeliti s b s ostatkom, a nepotpuni kvocijent i ostatak su jednoznačno određeni.

Korolar, ako su a i b Z , b≠0, tada je b|a ó

11. GCD i NOC

Najveći zajednički djelitelj (NOD) brojeva Z je neki broj d koji zadovoljava sljedeće uvjete

1) d je zajednički djelitelj tj. d| ,d| …d|

2) d je djeljiv bilo kojim zajedničkim djeliteljem brojeva, tj. d| ,d| …d| =>d| ,d| …d|