Vidjeli smo da se operacije nad polinomima svode na operacije nad njihovim koeficijentima. U isto vrijeme, za zbrajanje, oduzimanje i množenje polinoma dovoljne su tri aritmetičke operacije - dijeljenje brojeva nije potrebno. Budući da su zbroj, razlika i umnožak dva realna broja opet realni brojevi, pri zbrajanju, oduzimanju i množenju polinoma s realnim koeficijentima, rezultat su polinomi s realnim koeficijentima.

Međutim, nije uvijek potrebno raditi s polinomima koji imaju bilo kakve realne koeficijente. Mogući su slučajevi kada bi po samoj biti stvari koeficijenti trebali imati samo cjelobrojne ili samo racionalne vrijednosti. Ovisno o tome koje se vrijednosti koeficijenata smatraju prihvatljivima, mijenjaju se svojstva polinoma. Na primjer, ako uzmemo u obzir polinome s bilo kojim realnim koeficijentom, možemo ih faktorizirati:

Ako se ograničimo na polinome s cjelobrojnim koeficijentima, tada proširenje (1) nema smisla i polinom moramo smatrati nerastavljivim na faktore.

To pokazuje da teorija polinoma značajno ovisi o tome koji se koeficijenti smatraju dopuštenim. Ne može se svaki skup koeficijenata prihvatiti kao prihvatljiv. Na primjer, razmotrite sve polinome čiji su koeficijenti neparni cijeli brojevi. Jasno je da zbroj dvaju takvih polinoma više neće biti polinom iste vrste: uostalom, zbroj neparnih brojeva je paran broj.

Postavimo pitanje: koji su "dobri" skupovi koeficijenata? Kada zbroj, razlika, umnožak polinoma s koeficijentima zadane vrste ima koeficijente iste vrste? Kako bismo odgovorili na ovo pitanje, uvodimo pojam brojčanog prstena.

Definicija. Neprazan skup brojeva naziva se brojevni prsten ako zajedno s bilo koja dva broja a i sadrži njihov zbroj, razliku i umnožak. Ovo je također ukratko izraženo govoreći da je brojčani prsten zatvoren pod operacijama zbrajanja, oduzimanja i množenja.

1) Skup cijelih brojeva je brojčani prsten: zbroj, razlika i umnožak cijelih brojeva su cijeli brojevi. Skup prirodnih brojeva nije brojčani prsten, jer razlika prirodnih brojeva može biti negativna.

2) Skup svih racionalnih brojeva je brojčani prsten, jer su zbroj, razlika i umnožak racionalnih brojeva racionalni.

3) Formira brojčani prsten i skup svih realnih brojeva.

4) Brojevi oblika a, gdje su a i cijeli brojevi, tvore brojčani prsten. To proizlazi iz odnosa:

5) Skup neparnih brojeva nije brojčani prsten, jer je zbroj neparnih brojeva paran. Skup parnih brojeva je brojčani prsten.

Primjeri

a + b i (\displaystyle a+bi) Gdje a (\displaystyle a) I b (\displaystyle b) racionalni brojevi, ja (\displaystyle i)- imaginarna jedinica. Takvi se izrazi mogu zbrajati i množiti prema uobičajenim pravilima za operacije s kompleksnim brojevima, a svaki element različit od nule ima inverz, što se vidi iz jednakosti (a + b i) (a a 2 + b 2 − b a 2 + b 2 i) = (a + b i) (a − b i) a 2 + b 2 = 1. (\displaystyle (a+bi)\left(( \frac (a)(a^(2)+b^(2)))-(\frac (b)(a^(2)+b^(2)))i\right)=(\frac (( a+bi)(a-bi))(a^(2)+b^(2)))=1.) Iz ovoga slijedi da racionalni Gaussovi brojevi tvore polje, koje je dvodimenzionalni prostor nad (odnosno, kvadratno polje).

• Općenitije, za svaki cijeli broj bez kvadrata d (\displaystyle d) Q (d) (\displaystyle \mathbb (Q) ((\sqrt (d)))) bit će kvadratno proširenje polja Q (\displaystyle \mathbb (Q) ).
• Kružno polje Q (ζ n) (\displaystyle \mathbb (Q) (\zeta _(n))) dobiveno dodavanjem na Q (\displaystyle \mathbb (Q) ) primitivni korijen n-th snaga jedinstva. Polje mora sadržavati sve svoje moći (to jest, sve korijene n moć jedinstva), njegova dimenzija je gotova Q (\displaystyle \mathbb (Q) ) jednaka Eulerovoj funkciji φ (n) (\displaystyle \varphi (n)).
• Realni i kompleksni brojevi imaju beskonačne moći nad racionalnim brojevima, tako da nisu polja brojeva. Ovo slijedi iz neprebrojivosti: svako brojevno polje je prebrojivo.
• Polje svih algebarskih brojeva A (\displaystyle \mathbb (A) ) nije numerički. Iako je ekspanzija A ⊃ Q (\displaystyle \mathbb (A) \supset \mathbb (Q) ) algebarski, nije konačan.

Brojčano polje cjelobrojni prsten

Budući da je brojevno polje algebarsko proširenje polja Q (\displaystyle \mathbb (Q) ), bilo koji njegov element je korijen nekog polinoma s racionalnim koeficijentima (to jest, algebarski je). Štoviše, svaki element je korijen polinoma s cjelobrojnim koeficijentima, budući da se svi racionalni koeficijenti mogu pomnožiti umnoškom nazivnika. Ako je dati element korijen nekog unitarnog polinoma s cijelim koeficijentima, naziva se cijelim elementom (ili algebarskim cijelim brojem). Nisu svi elementi brojčanog polja cijeli brojevi: na primjer, lako je pokazati da jedini cjelobrojni elementi Q (\displaystyle \mathbb (Q) ) su obični cijeli brojevi.

Može se dokazati da je zbroj i umnožak dva algebarska cijela broja opet algebarski cijeli broj, pa cjelobrojni elementi tvore podprsten brojevnog polja K (\displaystyle K), nazvao prsten od cijeloga polja K (\displaystyle K) i označena sa . Polje ne sadrži djelitelje nule i ovo svojstvo se nasljeđuje pri prelasku na podprsten, tako da je prsten cijelih brojeva integralan; privatno prstenasto polje O K (\displaystyle (\mathcal (O))_(K))- ovo je samo polje K (\displaystyle K). Prsten cijelih brojeva bilo kojeg polja brojeva ima sljedeća tri svojstva: integralno je zatvoren, Noetherov i jednodimenzionalan. Komutativni prsten s takvim svojstvima naziva se Dedekindov prsten, po Richardu Dedekindu.

Dekompozicija početnika i razredna skupina

U proizvoljnom Dedekindovom prstenu postoji jedinstvena dekompozicija ideala različitih od nule u produkt prostih brojeva. Međutim, ne zadovoljava svaki prsten cijelih brojeva svojstvo faktorijalnosti: već za prsten cijelih brojeva kvadratnog polja O Q (− 5) = Z [ − 5 ] (\displaystyle (\mathcal (O))_(\mathbb (Q) ((\sqrt (-5))))=\mathbb (Z) [(\sqrt ( -5))]) dekompozicija nije jedinstvena:

6 = 2 ⋅ 3 = (1 + − 5) (1 − − 5) (\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+(\sqrt (-5)))(1-(\sqrt (-5) )))

Uvođenjem norme na ovaj prsten možemo pokazati da su ta proširenja doista različita, odnosno da se jedno ne može dobiti iz drugoga množenjem invertibilnim elementom.

Stupanj povrede svojstva faktorijalnosti mjeri se pomoću skupine idealnih klasa; ta je skupina za prsten cijelih brojeva uvijek konačna i njezin se poredak naziva brojem klasa.

Osnove polja brojeva

Cijela osnova

Cijela osnova brojčano polje F stupnjeva n- ovo je puno

B = {b 1 , …, b n}

iz n elementi prstena cjelobrojnih polja F, tako da bilo koji element prstena cijelih brojeva o F polja F Jedini način da to napišete je kao Z-linearna kombinacija elemenata B; odnosno za bilo koga x iz o F postoji samo jedna dekompozicija

x = m 1 b 1 + … + m n b n,

Gdje m i- obični cijeli brojevi. U ovom slučaju, bilo koji element F može se napisati kao

m 1 b 1 + … + m n b n,

Gdje m i- racionalni brojevi. Nakon ovoga slijede cijeli elementi F odlikuju se svojstvom da su to upravo oni elementi za koje se sve m i cijeli.

Koristeći alate kao što su lokalizacija i Frobeniusov endomorfizam, može se konstruirati takva baza za bilo koje polje brojeva. Njegova konstrukcija je ugrađena značajka u mnogim sustavima računalne algebre.

Osnova moći

Neka F- brojčano polje stupnja n. Među svim mogućim osnovama F(Kako Q-vektorski prostor), postoje potencijske baze, odnosno baze oblika

B x = {1, x, x 2 , …, x n−1 }

za neke x ∈ F. Prema teoremu o primitivnom elementu, takav x uvijek postoji, zove se primitivni element ovog proširenja.

Norma i trag

Algebarsko polje brojeva je konačnodimenzionalni vektorski prostor nad Q (\displaystyle \mathbb (Q) )(njegovu dimenziju označavamo kao n (\displaystyle n)), a množenje proizvoljnim elementom polja je linearna transformacija ovog prostora. Neka e 1 , e 2 , … e n (\displaystyle e_(1),e_(2),\ldots e_(n))- neka osnova F, zatim transformacija x ↦ α x (\displaystyle x\mapsto \alpha x) odgovara matrici A = (a i j) (\displaystyle A=(a_(ij))), određeno stanjem

α e i = ∑ j = 1 n a i j e j, a i j ∈ Q. (\displaystyle \alpha e_(i)=\sum _(j=1)^(n)a_(ij)e_(j),\quad a_(ij)\in \mathbf (Q) .)

Elementi ove matrice ovise o izboru baze, ali sve invarijante matrice, poput determinante i traga, ne ovise o njoj. U kontekstu algebarskih proširenja naziva se determinanta matrice množenja elemenata pravilo ovaj element (označen N (x) (\displaystyle N(x))); trag matrice - sljedeći element(označeno Tr (x) (\displaystyle (\text(Tr))(x))).

Trag elementa je linearni funkcional na F:

Tr (x + y) = Tr (x) + Tr (y) (\displaystyle (\text(Tr))(x+y)=(\text(Tr))(x)+(\text(Tr)) (y)) I Tr (λ x) = λ Tr (x) , λ ∈ Q (\displaystyle (\text(Tr))(\lambda x)=\lambda (\text(Tr))(x),\lambda \in \mathbb (Q) ).

Norma je multiplikativna i homogena funkcija:

N (x y) = N (x) ⋅ N (y) (\displaystyle N(xy)=N(x)\cdot N(y)) I N (λ x) = λ n N (x) , λ ∈ Q (\displaystyle N(\lambda x)=\lambda ^(n)N(x),\lambda \in \mathbb (Q) ).

Kao početnu bazu možete odabrati cjelobrojnu bazu; množenje cjelobrojnim algebarskim brojem (to jest, elementom prstena cijelih brojeva) u ovoj će bazi odgovarati matrici s cjelobrojnim elementima. Prema tome, trag i norma bilo kojeg elementa prstena cijelih brojeva su cijeli brojevi.

Primjer korištenja norme

Neka d (\displaystyle d)- - cjelobrojni element, budući da je korijen reduciranog polinoma x 2 − d (\displaystyle x^(2)-d)). U ovoj osnovi, množenje sa a + b d (\displaystyle a+b(\sqrt (d))) odgovara matrici

(a d b b a) (\displaystyle (\begin(pmatrix)a&db\\b&a\end(pmatrix)))

Stoga, N (a + b d) = a 2 − d b 2 (\displaystyle N(a+b(\sqrt (d)))=a^(2)-db^(2)). Na elementima prstena ova norma ima cjelobrojne vrijednosti. Norma je homomorfizam multiplikativne grupe Z [ d ] (\displaystyle \mathbb (Z) [(\sqrt (d))]) po multiplikativnoj grupi Z (\displaystyle \mathbb (Z) ), stoga norma invertibilnih elemenata prstena može biti jednaka samo 1 (\displaystyle 1) ili − 1 (\displaystyle -1). Za rješavanje Pellove jednadžbe a 2 − d b 2 = 1 (\displaystyle a^(2)-db^(2)=1), dovoljno je pronaći sve invertibilne elemente prstena cijelih brojeva (koji se također naziva prstenaste jedinice) i među njima prepoznajte one koji imaju normu 1 (\displaystyle 1). Prema Dirichletovom teoremu jedinstva, svi invertibilni elementi danog prstena su potencije jednog elementa (do množenja s − 1 (\displaystyle -1)), stoga je za pronalaženje svih rješenja Pellove jednadžbe dovoljno pronaći jedno temeljno rješenje.

vidi također

Književnost

• H. Koch. Algebarska teorija brojeva. - M.: VINITI, 1990. - T. 62. - 301 str. - (Rezultati znanosti i tehnologije. Serija “Suvremeni problemi matematike. Temeljni pravci.”).
• Chebotarev N.G. Osnove Galoisove teorije. Dio 2. - M.: Editorial URSS, 2004.
• Weil G. Algebarska teorija brojeva. Po. s engleskog - M.: Editorial URSS, 2011.
• Serge Lang, Algebarska teorija brojeva, drugo izdanje, Springer, 2000

U raznim granama matematike, kao iu primjeni matematike u tehnici, često se događa situacija da se algebarske operacije ne izvode na brojevima, već na objektima druge prirode. Na primjer, zbrajanje matrica, množenje matrica, zbrajanje vektora, operacije na polinomima, operacije na linearnim transformacijama itd.

Definicija 1. Prsten je skup matematičkih objekata u kojem su definirane dvije akcije - “zbrajanje” i “množenje”, koje povezuju uređene parove elemenata s njihovim “zbrojem” i “proizvodom”, koji su elementi istog skupa. Ove radnje zadovoljavaju sljedeće zahtjeve:

1.a+b=b+a(komutativnost zbrajanja).

2.(a+b)+c=a+(b+c)(asocijativnost zbrajanja).

3. Postoji nulti element 0 takav da a+0=a, za bilo koji a.

4. Za bilo koga a postoji suprotni element − a takav da a+(−a)=0.

5. (a+b)c=ac+bc(lijeva distributivnost).

5".c(a+b)=ca+cb(desna distributivnost).

Zahtjevi 2, 3, 4 znače da skup matematičkih objekata čini skupinu, a zajedno s točkom 1 radi se o komutativnoj (Abelovoj) grupi s obzirom na zbrajanje.

Kao što se vidi iz definicije, u općoj definiciji prstena nema ograničenja na množenje, osim distributivnosti s zbrajanjem. Međutim, u različitim situacijama postaje potrebno razmotriti prstenove s dodatnim zahtjevima.

6. (ab)c=a(bc)(asocijativnost množenja).

7.ab=ba(komutativnost množenja).

8. Postojanje jednog elementa 1, tj. takav a·1=1· a=a, za bilo koji element a.

9. Za bilo koji element stavke a postoji inverzni element a−1 takav da aa −1 =a −1 a= 1.

U raznim prstenovima 6, 7, 8, 9 mogu se izvoditi zasebno ili u raznim kombinacijama.

Prsten se naziva asocijativnim ako je zadovoljen uvjet 6, komutativnim ako je zadovoljen uvjet 7, komutativnim i asocijativnim ako su zadovoljeni uvjeti 6 i 7. Prsten se naziva prstenom s identitetom ako je zadovoljen uvjet 8.

Primjeri prstenova:

1. Skup kvadratnih matrica.

Stvarno. Ispunjenje točaka 1-5, 5" je očito. Nulti element je nulta matrica. Osim toga, točka 6 (asocijativnost množenja), ispunjena je točka 8 (jedinički element je jedinična matrica). Točke 7 i 9 nisu ispunjeni jer je u općem slučaju množenje kvadratnih matrica nekomutativno, a također ne postoji uvijek inverz kvadratne matrice.

2. Skup svih kompleksnih brojeva.

3. Skup svih realnih brojeva.

4. Skup svih racionalnih brojeva.

5. Skup svih cijelih brojeva.

Definicija 2. Svaki sustav brojeva koji sadrži zbroj, razliku i umnožak bilo koja dva njegova broja naziva se prsten s brojevima.

Primjeri 2-5 su prstenovi s brojevima. Brojevni prstenovi su također svi parni brojevi, kao i svi cijeli brojevi djeljivi bez ostatka nekim prirodnim brojem n. Imajte na umu da skup neparnih brojeva nije prsten jer zbroj dva neparna broja je paran broj.

Definicija:

Zbroj i umnožak p-adičnih cijelih brojeva definiranih nizovima i nazivaju se p-adični cijeli brojevi definirani redom nizovima i.

Da bismo bili sigurni u točnost ove definicije, moramo dokazati da nizovi definiraju neke cijele brojeve - adične brojeve i da ti brojevi ovise samo o, a ne o izboru nizova koji ih definiraju. Oba ova svojstva mogu se dokazati očitom provjerom.

Očito je da uz zadanu definiciju operacija nad adičkim cijelim brojevima one tvore komunikacijski prsten koji sadrži prsten racionalnih cijelih brojeva kao podprsten.

Djeljivost cijelih adičnih brojeva definirana je na isti način kao u bilo kojem drugom prstenu: ako postoji cijeli adički broj takav da

Za proučavanje svojstava dijeljenja važno je znati koji su to cijeli brojevi - adički brojevi za koje postoje inverzni cijeli brojevi - adički brojevi. Takvi se brojevi nazivaju jediničnim faktorima ili jedinicama. Zvat ćemo ih adične jedinice.

Teorem 1:

Cijeli broj je adički broj definiran nizom ako i samo ako je jedinica kada.

Dokaz:

Dopustiti biti jedan, tada postoji cijeli broj - adic broj takav da. Ako je određen nizom, tada uvjet znači da. Osobito, i stoga, Obrnuto, neka Lako slijedi iz uvjeta da, tako da. Stoga se za bilo koji n može naći takav da je usporedba valjana. Od i, tada. To znači da niz definira neki cijeli broj - adički broj. Usporedbe pokazuju da, tj. koji je jedinica.

Iz dokazanog teorema slijedi da je cijeli broj racionalan broj. Smatrati se elementom prstena ako i samo ako je jedinica kada. Ako je ovaj uvjet ispunjen, onda je sadržano u. Slijedi da je svaki racionalni cijeli broj b djeljiv s takvim in, tj. da je svaki racionalni broj oblika b/a, gdje su a i b cijeli brojevi i, sadržan u Racionalni brojevi ovog oblika nazivaju se -cijeli brojevi. Oni čine očigledan prsten. Naš rezultat se sada može formulirati na sljedeći način:

Posljedica:

Prsten adičnih cijelih brojeva sadrži potprsten izomorfan prstenu racionalnih cijelih brojeva.

Razlomački p-adični brojevi

Definicija:

Razlomak oblika, k >= 0 definira frakcijski p-adički broj ili jednostavno p-adični broj. Dva razlomka, i, definiraju isti p-adički broj ako c.

Skup svih p-adičnih brojeva označava se s p. Lako je provjeriti da se operacije zbrajanja i množenja nastavljaju od p do p i pretvaraju p u polje.

2.9. Teorema. Svaki p-adički broj može se jedinstveno prikazati u obliku

gdje je m cijeli broj i jedinica prstena p.

2.10. Teorema. Svaki p-adički broj različit od nule može se jedinstveno prikazati u obliku

Svojstva: Polje p-adičnih brojeva sadrži polje racionalnih brojeva. Nije teško dokazati da je svaki cjelobrojni p-adički broj koji nije višekratnik p invertibilan u prstenu p, a višekratnik p je jedinstveno zapisan u obliku gdje x nije višekratnik p i stoga je invertibilan, a . Stoga se bilo koji element polja p koji nije nula može zapisati u obliku gdje x nije višekratnik p, a m je proizvoljan; ako je m negativan, tada na temelju reprezentacije cjelobrojnih p-adičnih brojeva kao niza znamenki u p-arnom brojevnom sustavu možemo takav p-adični broj napisati kao niz, odnosno formalno ga prikazati kao p-arni razlomak s konačnim brojem znamenki iza decimalne točke i, moguće, beskonačnim brojem znamenki različitih od nule prije decimalne točke. Dijeljenje takvih brojeva također se može izvesti slično "školskom" pravilu, ali počevši od nižih, a ne viših znamenki broja.