Teoreemid suurimate ja väiksemate täisarvude kohta. Matemaatika kõrvalerialaga

Eriala riigieksamile

1. Lineaarne (vektori)ruum üle välja. Näited. Alamruumid, lihtsamad omadused. Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus.

2. Vektorruumi alus ja mõõde. Vektorsüsteemi koordinaatmaatriks. Üleminek ühelt aluselt teisele. Vektorruumide isomorfism.

3. Kompleksarvude välja algebraline suletus.

4. Täisarvude ring. Täisarvude järjestamine. Teoreemid "suurimate" ja "väiksemate" täisarvude kohta.

5. Rühm, rühmade näited. Rühmade lihtsamad omadused. Alarühmad. Rühmade homomorfism ja isomorfism.

6. Täisarvude jaguvuse põhiomadused. Algarvud. Algarvude hulga lõpmatus. Liitarvu kanooniline lagunemine ja selle kordumatus.

7. Kronecker-Capelli teoreem (lineaarvõrrandisüsteemi järjepidevuse kriteerium).

8. Võrdluste põhiomadused. Täielikud ja vähendatud mooduli mahaarvamiste süsteemid. Modulo jäägiklassi rõngas. Euleri ja Fermat' teoreemid.

9. Võrdluste teooria rakendamine jaguvuskriteeriumide tuletamisel. Murru teisendamine kümnendkohaks ja selle perioodi pikkuse määramine.

10. Polünoomi imaginaarsete juurte konjugaatsus reaalsete koefitsientidega. Redutseerimata polünoomid reaalarvude väljal.

11. Lineaarsed võrdlused ühe muutujaga (lahendatavuse kriteerium, lahendusmeetodid).

12. Lineaarvõrrandisüsteemid. Tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetod.

13. Sõrmus. Sõrmuste näited. Sõrmuste lihtsaimad omadused. Alamrõngas. Rõngaste homomorfismid ja isomorfismid. Väli. Näited väljadest. Kõige lihtsamad omadused. Ratsionaalarvude välja minimaalsus.

14. Naturaalarvud (naturaalarvude aksiomaatilise teooria alused). Teoreemid “suurimate” ja “väiksemate” naturaalarvude kohta.

15. Polünoomid üle välja. Teoreem jäägiga jagamise kohta. Kahe polünoomi suurim ühisjagaja, selle omadused ja leidmismeetodid.

16. Binaarsed seosed. Samaväärsuse seos. Ekvivalentsusklassid, faktorite hulk.

17. Naturaal- ja täisarvude matemaatiline induktsioon.

18. Suhteliselt algarvude omadused. Täisarvude vähim ühiskordne, selle omadused ja leidmismeetodid.

19. Kompleksarvude väli, arvuväljad. Kompleksarvu geomeetriline esitus ja trigonomeetriline kuju.

20. Täisarvude jäägiga jagamise teoreem. Täisarvude suurim ühisjagaja, selle omadused ja leidmismeetodid.

21. Vektorruumi lineaarsed operaatorid. Lineaaroperaatori tuum ja kujutis. Lineaaroperaatorite algebra vektorruumis. Lineaaroperaatori omaväärtused ja omavektorid.

22. Tasapinna afiinsed teisendused, nende omadused ja täpsustamismeetodid. Tasapinna ja selle alarühmade afiinsete teisenduste rühm.

23. Hulknurgad. Hulknurga pindala. Olemasolu ja kordumatuse teoreem.

24. Hulknurkade võrdne suurus ja võrdne koostis.

25. Lobatševski geomeetria. Lobatševski geomeetria aksioomide süsteemi järjepidevus.

26. Paralleelsuse mõiste Lobatševski geomeetrias. Joonte suhteline asukoht Lobatševski tasapinnal.

27. Liikumisvalemid. Tasapinnaliste liikumiste klassifikatsioon. Rakendused probleemide lahendamiseks.

28. Kahe tasandi, sirge ja tasapinna, kahe sirge suhteline asend ruumis (analüütilises esitluses).

29. Projektiivsed teisendused. Olemasolu ja kordumatuse teoreem. Projektiivsete teisenduste valemid.

30. Vektorite skalaar-, vektor- ja segakorrutis, nende rakendamine ülesannete lahendamisel.

31. Kolmemõõtmelise eukleidilise ruumi Weyli aksioomisüsteem ja selle sisu järjepidevus.

32. Tasapinna liikumised ja nende omadused. Tasapinnaliste liikumiste rühm. Liikumise olemasolu ja kordumatuse teoreem.

33. Projektiivtasand ja selle mudelid. Projektiivsed teisendused, nende omadused. Projektiivsete teisenduste rühm.

34. Tasapinnalise sarnasuse teisendused, nende omadused. Tasapinnaliste sarnasuste teisenduste rühm ja selle alamrühmad.

35. Siledad pinnad. Pinna esimene ruutvorm ja selle rakendused.

36. Paralleeldisain ja selle omadused. Kujutis lame- ja ruumikujudest paralleelprojektsioonis.

37. Siledad jooned. Ruumikõvera kõverus ja selle arvutamine.

38. Ellips, hüperbool ja parabool koonuselõikena. Kanoonilised võrrandid.

39. Ellipsi, hüperbooli ja parabooli direktoriomadus. Polaarvõrrandid.

40. Sirge nelja punkti topeltsuhe, selle omadused ja arvutus. Punktipaaride harmooniline eraldamine. Terviklik nelinurk ja selle omadused. Rakendus ehitusprobleemide lahendamiseks.

41. Pascali ja Brianchoni teoreemid. Poolused ja poolused.

Näidisküsimused matemaatilise analüüsi kohta

Nagu teate, saab naturaalarvude komplekti järjestada, kasutades seost "vähem kui". Kuid aksiomaatilise teooria konstrueerimise reeglid nõuavad, et see seos ei oleks mitte ainult määratletud, vaid ka tehtud selles teoorias juba määratletud mõistete põhjal. Seda saab teha seose "vähem kui" määratlemisega liitmise kaudu.

Definitsioon. Arv a on väiksem kui arv b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.

Nendel tingimustel öeldakse ka, et number b rohkem A ja kirjutada b > a.

12. teoreem. Mis tahes naturaalarvude jaoks A Ja büks ja ainult üks kolmest seosest kehtib: a = b, a > b, A < b.

Jätame selle teoreemi tõestuse välja.. Sellest teoreemist järeldub, et kui

a¹ b, kas A< b, või a > b, need. seosel "vähem" on seotuse omadus.

13. teoreem. Kui A< b Ja b< с. See A< с.

Tõestus. See teoreem väljendab seose "vähem kui" transitiivsuse omadust.

Sest A< b Ja b< с. siis on seose "vähem kui" definitsiooni järgi naturaalarvud To Mis siis b = a + k ja c = b + I. Kuid siis c = (a + k)+ / ja liitmise assotsiatiivsuse omaduse põhjal saame: c = a + (k +/). Kuna k + I - naturaalarv, siis vastavalt "vähem" määratlusele A< с.

14. teoreem. Kui A< b, see pole tõsi b< а. Tõestus. See teoreem väljendab omadust antisümmeetria"vähem" suhe.

Tõestame kõigepealt seda mitte ühegi naturaalarvu puhul A mitte sina-!>! ■ )tema suhtumine A< A. Oletame vastupidist, s.t. Mida A< а esineb. Siis on seose "vähem kui" definitsiooni järgi naturaalarv koos, Mida A+ Koos= A, ja see on vastuolus teoreemiga 6.

Tõestame nüüd, et kui A< b, siis see pole tõsi b < A. Oletame vastupidist, s.t. mis siis kui A< b , See b< а sooritatud. Kuid nendest võrdsustest saame teoreemi 12 järgi A< а, mis on võimatu.

Kuna meie määratletud seos "vähem kui" on antisümmeetriline ja transitiivne ning sellel on seose omadus, on see lineaarse järjekorra seos ja naturaalarvude hulk lineaarselt järjestatud komplekt.

"Vähem kui" definitsioonist ja selle omadustest saame tuletada naturaalarvude hulga teadaolevad omadused.

15. teoreem. Kõigist naturaalarvudest on üks kõige väiksem arv, s.o. I< а для любого натурального числа a¹1.

Tõestus. Lase A - mis tahes naturaalarv. Siis on võimalikud kaks juhtumit: a = 1 ja a¹ 1. Kui a = 1, siis on naturaalarv b, järgneb a: a = b " = b + I = 1 + b, st seose "vähem kui" definitsiooni järgi 1< A. Seetõttu on iga naturaalarv võrdne 1-ga või suurem kui 1. Või üks on väikseim naturaalarv.

Seos "vähem kui" on seotud arvude liitmise ja korrutamisega monotoonsuse omadustega.

16. teoreem.

a = b => a + c = b + c ja a c = b c;

A< b =>a + c< b + с и ас < bс;

a > b => a + c > b + c ja ac > bc.

Tõestus. 1) Selle väite kehtivus tuleneb liitmise ja korrutamise kordumatusest.

2) Kui A< b, siis on selline naturaalarv k, Mida A + k = b.
Siis b+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ Saaja)= (a + c) + k. Võrdsus b+ c = (a + c) + k tähendab seda a + c< b + Koos.

Samamoodi on tõestatud, et A< b =>ac< bс.

3) Tõestus on sarnane.

17. teoreem(teoreemi 16 vastupidine).

1) A+ c = b + c või ac ~ bc-Þ a = b

2) a + c< Ь + с või ac< eKrÞ A< Ь:

3) a + c > b+ või ac > eKrÞ a > b.

Tõestus. Tõestame näiteks, et alates ac< bс peaks A< b Oletame vastupidist, s.t. et teoreemi järeldus ei pea paika. Siis ei saa see nii olla a = b. sellest ajast oleks võrdsus täidetud ac = bс(16. teoreem); see ei saa olla A> b, sest siis oleks ac > bс(Teoreem!6). Seetõttu, vastavalt teoreemile 12, A< b.

Teoreemidest 16 ja 17 saame tuletada üldtuntud reeglid võrratuste liitmise ja korrutamise kohta. Jätame need välja.

18. teoreem. Mis tahes naturaalarvude jaoks A Ja b; on naturaalarv n selline, et p b> a.

Tõestus. Kellelegi A selline number on olemas P, Mida n > a. Selleks piisab, kui võtta n = a + 1. Ebavõrdsuse korrutamine termini kaupa P> A Ja b> 1, saame pb > A.

Seose “vähem kui” vaadeldavatest omadustest tulenevad naturaalarvude hulga olulised tunnused, mida esitame ilma tõestuseta.

1. Mitte ühegi naturaalarvu puhul A sellist naturaalarvu pole olemas P, Mida A< п < а + 1. Seda omadust nimetatakse vara
diskreetsus naturaalarvude ja arvude komplektid A Ja a + 1 kutsutakse naaber.

2. Iga naturaalarvude mittetühi alamhulk sisaldab
väikseim number.

3. Kui M- naturaalarvude hulga mittetühi alamhulk
ja seal on selline number b, et kõikidele numbritele x alates M ei hukatud
võrdsus x< b, siis külluses M on suurim arv.

Illustreerime omadusi 2 ja 3 näitega. Lase M- kahekohaliste numbrite komplekt. Sest M on naturaalarvude alamhulk ja kõigi selle hulga arvude jaoks ebavõrdsus x< 100, то в множестве M on suurim arv 99. Antud hulga väikseim arv M, - number 10.

Seega võimaldas seos “vähem kui” arvestada (ja mõnel juhul tõestada) märkimisväärset hulka naturaalarvude hulga omadusi. Eelkõige on see lineaarselt järjestatud, diskreetne ja väikseima numbriga 1.

Algkooliõpilastele tutvustatakse naturaalarvude seost „vähem kui” (“suurem kui”) juba nende haridustee alguses. Ja sageli kasutatakse koos selle hulgateoreetilise tõlgendusega kaudselt meie poolt aksiomaatilise teooria raames antud definitsiooni. Näiteks saavad õpilased selgitada, et 9 > 7, sest 9 on 7+2. Levinud on ka liitmise ja korrutamise monotoonsusomaduste kaudne kasutamine. Näiteks selgitavad lapsed, et “6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».

Harjutused

1, Miks ei saa naturaalarvude komplekti järjestada, kasutades seost "kohe järgneda"?

Defineeri suhtumine a > b ja tõestada, et see on transitiivne ja antisümmeetriline.

3. Tõesta, et kui a, b, c on naturaalarvud, siis:

A) A< b Þ ас < bс;

b) A+ Koos< b + сÞ> A< Ь.

4. Milliseid teoreeme liitmise ja korrutamise monotoonsuse kohta suudavad
kasutavad nooremad kooliõpilased ülesande “Võrdle ilma arvutusi tegemata” täitmisel:

a) 27 + 8 ... 27 + 18;

b) 27-8 ... 27-18.

5. Milliseid naturaalarvude hulga omadusi kasutavad algkooliõpilased kaudselt järgmiste ülesannete täitmisel:

A) Kirjutage üles arvud, mis on suuremad kui 65 ja väiksemad kui 75.

B) Nimetage eelnevad ja järgnevad numbrid seoses arvuga 300(800,609,999).

C) Nimeta väikseim ja suurim kolmekohaline arv.

Lahutamine

Naturaalarvude teooria aksiomaatilises konstruktsioonis defineeritakse lahutamist tavaliselt liitmise pöördtehetena.

Definitsioon. Naturaalarvude a ja b lahutamine on tehe, mis rahuldab tingimust: a - b = c siis ja ainult siis, kui b + c = a.

Number a - b nimetatakse erinevuseks arvude a ja vahel b, number A– minuend, number b- omavastutus.

19. teoreem. Naturaalarvude erinevus A- b eksisteerib siis ja ainult siis b< а.

Tõestus. Las vahe on A- b on olemas. Siis on erinevuse definitsiooni järgi naturaalarv koos, Mida b + c = a, mis tähendab, et b< а.

Kui b< а, siis on seose "vähem kui" definitsiooni järgi olemas naturaalarv c, mis b + c = a. Siis erinevuse määratluse järgi c = a - b, need. erinevus a - b on olemas.

Teoreem 20. Kui naturaalarvude vahe A Ja b on olemas, siis on see ainulaadne.

Tõestus. Oletame, et arvudevahelisel erinevusel on kaks erinevat väärtust A Ja b;: a – b= s₁ Ja a - b= s₂ ja s₁ ¹ s2 . Seejärel on meil erinevuse määratluse järgi: a = b + c₁, Ja a = b + c₂ : . Sellest järeldub b+ c₁ = b + c₂ : ja 17. teoreemi põhjal järeldame, с₁ = с₂.. Jõudsime eeldusega vastuoluni, mis tähendab, et see on vale, kuid see teoreem on õige.

Naturaalarvude erinevuse definitsiooni ja selle olemasolu tingimuste põhjal on võimalik põhjendada üldtuntud reegleid summast arvu ja arvust summa lahutamiseks.

21. teoreem. Lase A. b Ja Koos- täisarvud.

ja kui a > c, siis (a + b) - c = (a - c) + b.

b) Kui b > c. siis (a + b) - c - a + (b - c).

c) Kui a > c ja b > c. siis võite kasutada mõnda neist valemitest.
Tõestus. Juhul a) arvude erinevus A Ja c eksisteerib, sest a > s. Tähistagem seda tähega x: a - c = x. kus a = c + x. Kui (A+ b) - c = y. siis erinevuse määratluse järgi A+ b = Koos+ juures. Asendagem selle asemel selle võrdsusega A väljendus c + x:(c + x) + b = c + y. Kasutame liitmise assotsiatiivsuse omadust: c + (x + b) = c+ juures. Teisendame selle võrdsuse liitmise monotoonsuse omaduse põhjal ja saame:

x + b = u..Asendades x selles võrdsuses avaldisega a-c, saab (A - G) + b = y. Seega oleme tõestanud, et kui a > c, siis (a + b) - c = (a - c) + b

Tõestus viiakse läbi sarnaselt juhul b).

Tõestatud teoreemi saab sõnastada reegli kujul, mida on mugav meeles pidada: summast arvu lahutamiseks piisab, kui lahutada see arv summa ühest liikmest ja lisada saadud tulemusele veel üks liige.

22. teoreem. Lase a, b ja c - täisarvud. Kui a > b+ s, siis A- (b + c) = (a - b) - c või a - (b + c) = (a - c) - b.

Selle teooria tõestus on sarnane teoreemi 21 tõestusega.

Teoreemi 22 saab sõnastada reeglina: arvust arvude summa lahutamiseks piisab, kui lahutada sellest arvust iga liige ükshaaval.

Matemaatika algõpetuses lahutamise kui liitmise pöördväärtuse definitsiooni reeglina üldkujul ei anta, vaid seda kasutatakse pidevalt, alustades tehte tegemisest ühekohaliste arvudega. Õpilased peaksid selgelt aru saama, et lahutamine on seotud liitmisega ja kasutama seda seost arvutustes. Lahutades näiteks arvust 40 arvu 16, arutlevad õpilased nii: „Arvu 16 lahutamine 40-st tähendab arvu leidmist, mis arvule 16 liites annab 40; see arv on 24, kuna 24 + 16 = 40. Niisiis. 40-16 = 24."

Matemaatika algkursuse reeglid summast arvu ja arvust summa lahutamise reeglid on erinevate arvutustehnikate teoreetiliseks aluseks. Näiteks avaldise (40 + 16) - 10 väärtust saab leida mitte ainult sulgudes olevat summat arvutades ja seejärel sellest arvu 10 lahutades, vaid ka sel viisil;

a) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:

b) (40 + 16) - 10 = 40 + (16-10) = 40 + 6 = 46.

Harjutused

1. Kas vastab tõele, et iga naturaalarv saadakse kohe järgmisest, lahutades ühe?

2. Mille poolest on teoreemi 19 loogiline struktuur eriline? Kas seda saab sõnastada sõnadega “vajalik ja piisav”?

3. Tõesta, et:

ja kui b > c, See (a + b) - c = a + (b - c);

b) kui a > b + c, See a - (b+ c) = (a - b) - c.

4. Kas on võimalik ilma arvutusi tegemata öelda, millistel avaldistel on samad väärtused?

a) (50 + 16) - 14; d) 50 + (16-14 ),

b) (50–14) + 16; e) 50- (16-14);
c) (50–14) – 16, f) (50 + 14) – 16.

a) 50 - (16 + 14); d) (50–14) + 16;

b) (50–16) + 14; e) (50–14)–16;

c) (50 - 16) - 14; e) 50–16–14.

5. Millised lahutamise omadused on teoreetiliseks aluseks järgmistele matemaatika algkursusel õpitud arvutustehnikatele:

12 - 2-3 12 -5 = 7

b) 16-7 = 16-6 - P;

c) 48 - 30 = (40 + 8) - 30 = 40 + 8 = 18;

d) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.

6. Kirjeldage võimalikke viise vormi avaldise väärtuse hindamiseks. a - b- Koos ja illustreerige neid konkreetsete näidetega.

7. Tõesta, et millal b< а ja iga loomulik c võrdsus on tõene (a – b) c = ac – bc.

Märge. Tõestus põhineb aksioomil 4.

8. Määrake avaldise väärtus ilma kirjalikke arvutusi tegemata. Põhjendage oma vastuseid.

a) 7865 × 6 – 7865 × 5: b) 957 × 11 – 957; c) 12 × 36 – 7 × 36.

Jaoskond

Naturaalarvude teooria aksiomaatilises konstruktsioonis defineeritakse jagamist tavaliselt kui korrutamise pöördtehet.

Definitsioon. Naturaalarvude a ja b jagamine on tehe, mis vastab tingimusele: a: b = c siis ja ainult siis, kui To kui b× c = a.

Number a:b helistas privaatne numbrid A Ja b, number A jagatav, arv b- jagaja.

Nagu teada, jagamist naturaalarvude hulgal ei eksisteeri alati ja jagatise olemasolu kohta pole sellist mugavat märki, nagu oleks erinevuse korral. Üksiku olemasoluks on vaid vajalik tingimus.

23. teoreem. Selleks, et oleks kahe naturaalarvu jagatis A Ja b, see on vajalik b< а.

Tõestus. Olgu naturaalarvude jagatis A Ja b eksisteerib, s.t. on selline naturaalarv c, et bc = a. Kuna iga naturaalarvu 1 korral on ebavõrdsus 1 £ koos, seejärel korrutades selle mõlemad osad naturaalarvuga b, saame b£ eKr. Aga bc = a, seega, b£ A.

24. teoreem. Kui naturaalarvude jagatis A Ja b on olemas, siis on see ainulaadne.

Selle teoreemi tõestus on sarnane naturaalarvude erinevuse kordumatuse teoreemi tõestusega.

Naturaalarvude jagatise definitsiooni ja selle olemasolu tingimuste põhjal on võimalik põhjendada üldtuntud reegleid summa (erinevuse, korrutise) arvuga jagamisel.

25. teoreem. Kui numbrid A Ja b jagub arvuga koos, siis nende summa a + b jagatud c-ga ja jagatis, mis saadakse summa jagamisel A+ b numbri kohta koos, võrdne jagamisel saadud jagatiste summaga A peal Koos Ja b peal Koos, st. (a + b):c = a:c + b:Koos.

Tõestus. Alates numbrist A jagatuna koos, siis on naturaalarv x = A; s see a = cx. Samamoodi on selline naturaalarv y = b:koos, Mida

b= su. Kuid siis a + b = cx+ cy = - c(x + y). See tähendab et a + b jagatakse c-ga ja jagatis, mis saadakse summa jagamisel A+ b arvu c järgi, mis on võrdne x + y, need. ax + b: c.

Tõestatud teoreemi saab sõnastada summa arvuga jagamise reeglina: summa jagamiseks arvuga piisab, kui jagada iga liige selle arvuga ja liita saadud tulemused.

26. teoreem. Kui naturaalarvud A Ja b jagub arvuga Koos Ja a > b, siis vahe a - b jagatakse c-ga ja jagatis, mis saadakse erinevuse jagamisel arvuga c on võrdne jagamisel saadud jagatistega A peal Koos Ja b c peal, st. (a - b):c = a:c - b:c.

Selle teoreemi tõestus on sarnane eelmise teoreemi tõestusega.

Selle teoreemi saab sõnastada reeglina erinevuse arvuga jagamiseks: Sest Erinevuse jagamiseks arvuga piisab, kui jagada selle arvuga minuend ja lahutus ning lahutada esimene jagatis teine.

27. teoreem. Kui naturaalarv A jagub naturaalarvuga c, siis mis tahes naturaalarvuga b tööd ab jagatud s-ga. Sel juhul korrutise jagamisel saadud jagatis ab numbrile s , võrdne jagamisel saadud jagatise korrutisega A peal koos, ja numbrid b: (a × b):c - (a:c) × b.

Tõestus. Sest A jagatuna koos, siis on naturaalarv x selline, et a:c= x, kus a = cx. Võrdsuse mõlema poole korrutamine b, saame ab = (cx)b. Kuna korrutamine on assotsiatiivne, siis (cx) b = c(x b). Siit (a b):c = x b= (a:c) b. Teoreemi saab sõnastada korrutise arvuga jagamise reeglina: korrutise arvuga jagamiseks piisab, kui jagada üks teguritest selle arvuga ja korrutada saadud tulemus teise teguriga.

Matemaatika algõpetuses ei anta jagamise kui korrutamise pöördtehte määratlust reeglina üldkujul, vaid seda kasutatakse pidevalt, alustades jagamisega tutvumise esimestest tundidest. Õpilased peaksid selgelt aru saama, et jagamine on seotud korrutamisega, ning kasutama seda seost arvutuste tegemisel. Jagades näiteks 48 16-ga, arutlevad õpilased järgmiselt: „Jaga 48 16-ga tähendab sellise arvu leidmist, mille 16-ga korrutamisel saadakse 48; selline arv oleks 3, kuna 16×3 = 48. Seega 48: 16 = 3.

Harjutused

1. Tõesta, et:

a) kui naturaalarvude jagatis a ja b on olemas, siis on see ainulaadne;

b) kui numbrid a ja b jagunevad Koos Ja a > b, See (a - b): c = a: c - b: c.
2. Kas on võimalik väita, et kõik need võrdsused on tõesed:
a) 48:(2×4) = 48:2:4; b) 56:(2×7) = 56:7:2;

c) 850:170 =850:10:17.

Milline reegel neid juhtumeid üldistab? Sõnastage see ja tõestage seda.

3. Millistele jagunemisomadustele on teoreetiline alus
järgmiste põhikooliõpilastele pakutavate ülesannete täitmine:

Kas on võimalik ilma jagamiseta öelda, millistel väljenditel on sama tähendus:

a) (40+8):2; c) 48:3; e) (20+ 28):2;

b) (30 + 16):3; g)(21+27):3; f) 48:2;

Kas võrdsused on tõesed:

a) 48:6:2 = 48:(6:2); b) 96:4:2 = 96:(4-2);

c) (40-28): 4 = 10-7?

4. Kirjeldage võimalikke viise avaldise väärtuse arvutamiseks
tüüp:

A) (A+ b):c; b) A:b: Koos; V) ( a × b): Koos .

Illustreerige pakutud meetodeid konkreetsete näidetega.

5. Leia väljendi tähendus ratsionaalsel viisil; nende
õigustage oma tegevust:

a) (7 × 63):7; c) (15 × 18):(5× 6);

b) (3 × 4× 5): 15; d) (12 × 21): 14.

6. Põhjendage järgmisi kahekohalise arvuga jagamise meetodeid:

a) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 =50 + 3 = 53;

b) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 =49;

c) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:

d) (560 × 32): 16 = 560 (32:16) = 560 × 2 = 1120.

7. Ilma nurgaga jagamata leia kõige ratsionaalsem
jagatises; Põhjendage valitud meetodit:

a) 495:15; c) 455:7; e) 275:55;

6) 425:85; d) 225:9; e) 455:65.

Loeng 34. Mittenegatiivsete täisarvude hulga omadused

1. Mittenegatiivsete täisarvude hulk. Mittenegatiivsete täisarvude hulga omadused.

2. Arvude loomuliku jada segmendi mõiste ja lõpliku hulga elementide loendamine. Ordinaal- ja kardinaalnaturaalarvud.

Teoreemid "suurimate" ja "väiksemate" täisarvude kohta

Teoreem 4 ("väikseima" täisarvu kohta). Iga mittetühi altpoolt piiratud täisarvude hulk sisaldab väikseimat arvu. (Siin, nagu naturaalarvude puhul, kasutatakse sõna "alahulk" asemel sõna "hulk" E

Tõestus. Olgu O A C Z ja A allpool piiratud, st. 36? ZVa? A(b< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.

Olgu nüüd b A.

Siis Ua e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >ABOUT).

Moodustame kõikidest arvudest kujuga a - b hulga M, kus a läbib hulka A, s.t. M = (c [ c = a - b, a E A)

Ilmselgelt pole hulk M tühi, kuna A 74 0

Nagu eespool märgitud, on MCN. Järelikult on hulga M naturaalarvude teoreemi (54, Ch.III) järgi väikseim naturaalarv m Siis m = a1 - b mõne arvu a1 korral? A ja kuna m on M-is väikseim, siis Ua? A(t< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.

Teoreem 5 ("suurima" täisarvu kohta). Iga mittetühi piiratud täisarvude hulk sisaldab suurimat arvu.

Tõestus. Olgu O 74 A C Z ja A piiratud ülalt arvuga b, st. ? ZVa e A(a< Ь). Тогда -а >b kõigi numbrite a jaoks? A.

Järelikult ei ole hulk M (millega r = -a, a? A) tühi ja on allpool piiratud arvuga (-6). Sellest tulenevalt esineb eelmise teoreemi kohaselt hulgas M väikseim arv, s.o. äss? MUd? Prl< с).

Kas see tähendab Wah? A(c)< -а), откуда Уа? А(-с >A)

H. Täisarvude matemaatilise induktsiooni meetodi erinevad vormid. Jagamisteoreem jäägiga

Teoreem 1 (matemaatilise induktsiooni meetodi esimene vorm). Olgu P(c) täisarvude hulgal Z defineeritud ühekohaline predikaat, 4. Siis kui mõne ARVU a Z korral järgneb lause P(o) ja suvalisele täisarvule K > a väärtusest P(K) P(K -4- 1), siis väide P(r) kehtib kõigi täisarvude puhul, mille > a (st järgmine predikaatarvutuse valem kehtib hulgal Z:

Р(а) vibu > + 1)) Ус > аР(с)

mis tahes fikseeritud täisarvu jaoks a

Tõestus. Olgu lause P (c) puhul tõene kõik, mis on öeldud teoreemi tingimustes, s.t.

1) P(a) – tõene;

2) UK Shch k + on samuti tõsi.

Vastupidiselt. Oletame, et selline arv on olemas

b > a, et RF) on vale. Ilmselgelt b a, kuna P(a) on tõene. Moodustame hulga M = (z ? > a, P(z) on väär).

Siis hulk M 0, kuna b? M ja M- on altpoolt piiratud numbriga a. Järelikult on vähima täisarvu teoreemi järgi (Teoreem 4, 2) hulgas M vähim täisarv c. Seega c > a, mis omakorda tähendab c - 1 > a.

Tõestame, et P(c-1) on tõene. Kui c-1 = a, siis P (c-1) on tingimuse tõttu tõene.

Olgu c-1 > a. Siis eeldab, et P(c-1) on väär, kuulub 1 hulka? M, mis ei saa olla, kuna arv c on hulga M väikseim.

Seega c - 1 > a ja P(c - 1) on tõesed.

Seega on selle teoreemi tingimuste kohaselt lause P((c- 1) + 1) tõene, s.o. R(s) – tõsi. See on vastuolus arvu c valikuga, kuna c? M Teoreem on tõestatud.

Pange tähele, et see teoreem üldistab Peano aksioomide 1. järelduse.

2. teoreem (täisarvude matemaatilise induktsiooni meetodi teine ​​vorm). Olgu P(c) mingi täisarvude hulgal Z defineeritud ühekohaline predikaat. Siis kui väide P(c) kehtib mõne täisarvu K ja suvalise täisarvu s K korral lause P(c) kehtivusest kõigi täisarvude puhul, mis rahuldavad ebavõrdsust K< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >TO.

Selle teoreemi tõestus kordab suures osas sarnase teoreemi tõestust naturaalarvude kohta (Teoreem 1, 55, III peatükk).

Teoreem 3 (matemaatilise induktsiooni meetodi kolmas vorm). Olgu P(c) täisarvude hulgal Z määratletud ühekohaline predikaat. Siis kui P(c) on tõene naturaalarvude hulga mõne lõpmatu alamhulga M kõikide arvude ja suvalise täisarvu a korral, eeldab P(a) tõesus P(a - 1), siis väide P(c) kehtib kõikide täisarvude puhul.

Tõestus sarnaneb naturaalarvude vastava teoreemi tõestusega.

Pakume seda huvitava harjutusena.

Pange tähele, et praktikas on matemaatilise induktsiooni kolmas vorm vähem levinud kui teised. Seda seletatakse sellega, et selle rakendamiseks on vaja teada naturaalarvude hulga lõpmatut alamhulka M, millest on juttu teoreemis. Sellise komplekti leidmine ei pruugi olla lihtne ülesanne.

Kolmanda vormi eeliseks teiste ees on aga see, et selle abil saab väidet P(c) tõestada kõikide täisarvude puhul.

Allpool toome huvitava näite kolmanda vormi rakendamisest." Kuid kõigepealt anname ühe väga olulise kontseptsiooni.

Definitsioon. Täisarvu a absoluutväärtus on reegliga määratud arv

0, kui a O a, kui a > O

Ja kui a< 0.

Seega, kui 0, siis ? N.

Kutsume lugejat harjutusena tõestama järgmisi absoluutväärtuse omadusi:

Teoreem (jäägiga jagamise kohta). Mis tahes täisarvude a ja b korral, kus b 0, on olemas ja pealegi on ainult üks arvupaar q U m, nii et a r: bq + T L D.

Tõestus.

1. Paari (q, m) olemasolu.

Olgu a, b? Z ja 0. Näitame, et on olemas arvupaar q ja, mis vastab tingimustele

Tõestuse teostame induktsiooniga kolmandal kujul arvul a kindla arvu b korral.

M = (mlm = n lbl, n = N).

On ilmne, et M C on vastendus f: N M, mis on defineeritud reegliga f(n) = nlbl mis tahes n? N on bijektsioon. See tähendab, et M N, s.o. M- lõputult.

Tõestame, et suvalise arvu a korral? Teoreemi M (ja b-fikseeritud) väide arvupaari q ja m olemasolu kohta on tõene.

Tõepoolest, olgu a (- M. Siis a pf! mõne n? N jaoks.

Kui b > 0, siis a = n + O. Seades nüüd q = n ja m O, saame vajaliku arvupaari q ja m Kui b< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q

Teeme nüüd induktiivse eelduse. Oletame, et suvalise täisarvu c (ja suvalise fikseeritud b 0) korral on teoreemi väide tõene, s.t. on selline arvupaar (q, m), et

Tõestame, et see kehtib ka arvu kohta (1-ga). Võrdusest c = bq -4- järeldub, et bq + (m - 1). (1)

Võib esineda juhtumeid.

1) m > 0. Siis 7" - 1 > 0. Sel juhul - m - 1 panemisel saame c - 1 - bq + Tl, kus paar (q, 7"1,) ilmselgelt täidab tingimust

0. Seejärel c - 1 bq1 + 711 , kus q1

Saame kergesti tõestada, et 0< < Д.

Seega kehtib väide ka arvupaari kohta

Teoreemi esimene osa on tõestatud.

P. Paari q unikaalsus jne.

Oletame, et arvude a ja b 0 jaoks on kaks arvupaari (q, m) ja (q1, siis, mis vastavad tingimustele (*)

Tõestame, et need langevad kokku. Nii et las

ja bq1 L O< Д.

See tähendab, et b(q1 -q) m- 7 1 1. Sellest võrdsusest järeldub, et

Kui nüüd eeldada, et q ql, siis q - q1 0, kust lq - q1l 1. Korrutades need võrratused liikme kaupa arvuga lbl, saame φ! - q11 D. (3)

Samal ajal ebavõrdsustest 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.

Harjutused:

1. Täitke teoreemide 2 ja 3 tõestused 5 1-st.

2. Tõesta 3., 1. teoreemi järeldus 2.

3. Tõesta, et alamhulk H C Z, mis koosneb vormi kõigist arvudest< п + 1, 1 >(n? N), suletud liitmise ja korrutamise all.

4. Tähendagu H sama hulka, mis ülesandes 3. Tõesta, et vastendus ј : M vastab tingimustele:

1) ј - bijektsioon;

2) ј(n + m) = ј(n) + j(m) ja j(nm) = ј(n) j(m) mis tahes arvude n, m korral (st ј teostab algebra (N) isomorfismi , 4 ja (H, +,).

5. Täitke teoreemi 1/2 tõestus.

6. Tõesta, et mis tahes täisarvude a, b, c korral kehtivad järgmised implikatsioonid:

7. Tõesta Z teine ​​ja kolmas teoreem.

8. Tõesta, et täisarvude ring Z ei sisalda nulljagajaid.

Kirjandus

1. Bourbaki N. Hulgateooria. M.: Mir, 1965.

2. Vinogradov I. M. Arvuteooria alused. M.: Nauka, 1972. Z. DemiDov I. T. Aritmeetika alused. M.: Uchpedgiz, 1963.

4. Kargapolov M.I., Merzljakov Yu.I. Grupiteooria alused.

M.: Nauka, 1972.

5. Kostrikin A.I. Sissejuhatus algebrasse. M.: Nauka, 1994.

b. Kulikov L. Ya. Algebra ja arvuteooria. M.: Kõrgem. kool, 1979.

7. Kurosh A.G. Kõrgem algebra kursus. M.: Nauka, 1971.

8. Lyubetsky V. A. Koolimatemaatika põhimõisted. M.: Haridus, 1987.

9. Lyapin EL. ja teised rühmateooria harjutused. M.: Nauka, 1967.

10. Maltsev A.I. Algebralised süsteemid. M.: Nauka, 1970.

11. MenDelson E. Sissejuhatus matemaatilisesse loogikasse. M.: Nauka, 1971.

12. Nechaev V.I. Numbrisüsteemid. M.: Haridus, 1975.

13. Novikov P.S. Matemaatilise loogika elemendid. M.. Teadus, 1973.

14. Petrova V. T. Algebra ja geomeetria loengud.: Kell 2 tundi.

CHL. M.: Vlados, 1999.

15. Koolimatemaatika kursuse tänapäevased alused Auth. Kol.: Vilenkin N.Ya., Dunichev K.I., Kalltzhnin LA Stolyar A.A. M.: Haridus, 1980.

16. Skornjakov L. A. Algebra elemendid. M.: Nauka, 1980.

17. Stom R.R. Hulga-, loogika-, aksiomaatilised teooriad. M.; Valgustus, 1968.

18. Stolyar A. A. Loogiline sissejuhatus matemaatikasse. Minsk: KÕRGEIM. kool, 1971.

19. Filippov V. P. Algebra ja arvuteooria. Volgograd: VGPI, 1975.

20. Frenkel A., Bar-Hilel I. Hulgateooria alused. M.: Mir, 1966.

21. Fuchs L. Osaliselt järjestatud süsteemid. M.: Mir, 1965.

ÕppeväljaanneVäljaanne

Vladimir Konstantinovitš Kartašov

SISSEJUHATAVA MATEMAATIKA KURSUS

Õpetus

Toimetuse ettevalmistaja O. I. Molokanova Algse küljenduse koostas A. P. Boštšenko

“PR 020048 20.12.96

Allkirjastatud avaldamiseks 28. augustil 1999. Formaat 60x84/16. Kontori trükkimine Buum. tüüp. M 2. Uel. ahju l. 8.2. Akadeemiline toim. l. 8.3. Tiraaž 500 eksemplari. Tellimus 2

Kirjastus "Peremena"