Töö tühja ruumiga: miks tühjus disaini nii palju mõjutab. Ruumi täitmine polüeedriga

→ Tühja ruumi täitmine. Käekiri ja segadus.

Viimati rääkisin täiskasvanutele mõeldud värviraamatutest, selle blogi teemaks on lehe tühja koha täitmine ja sellised joonistamistehnikad (tehnikad) nagu Zentangle, Doodling ja nende sordid.

Esimene Zentangle'i tehnika. Esiteks määratleme, mis on Zentangle. Zentangle on registreeritud (või kaubamärgiga) mõiste, mis tähistab meditatiivset joonistustehnikat. Tehnika lõid enam kui kümme aastat tagasi Ameerika tüüpi kunstnik Maria Thomas ja Rick Roberts, kes oli pikka aega munk. Sõnastikus pole selle sõna määratlust. Kuid see koosneb kahest osast - "zen" ja "tangle". "Zen" on "zen" (nagu "Zen-budismis") - valgustumise täielik vorm. Ja "samult" on tõlgitud kui "põimik", "sassipall", "häire". Selgub, et Zentangle on korduvate mustrite põhjal loodud abstraktne kujundus. Samal ajal saavutab inimene joonistades maksimaalse lõdvestuse, sarnaselt meditatsiooniga. Zentangle'i nimetatakse ka zen-graafikaks või meditatiivseks joonistamiseks. Tegelikult on Zentangle ennekõike süvenemine joonistusprotsessi endasse. Keskendumine igale reale. Joonistus on ühtaegu planeeritud ja spontaanne. Planeeritud, kuna kasutatakse spetsiaalseid puntra mustreid (nii üksikmustreid kui ka valmiskavandeid nimetatakse puntrateks), mis on tõmmatud samm-sammult tuntud skeemi järgi, mis koosnevad piiratud arvust elementidest. Spontaanne – sest sasipuntra kombinatsioon ja konkreetne teostus pole ette planeeritud. Üldiselt on Zentangle'is peamine, et protsess on olulisem kui tulemus.

Kui soovid Zentangle’i õppida, siis jällegi soovitan Rita Nikolajeva täiesti ainulaadset saiti: http://dotslinespatterns.com/category/zentangle-%D0%BB%D0%B8%D0%BA%D0%B1%D0% B5%D0% B7/

Ja siin on see imeline sait. Teave on väga ulatuslik ja üksikasjalik: http://ru.wikihow.com/%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%B0 %D1 %82%D1%8C-%D0%97%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%BB

Meie teine ​​tehnika on Doodling (või Zendudling). Või Doodle. Erinevalt Zentangle'ist on see alateadlik joonistus, planeerimata ja spontaanselt arenev. Doodling tekib siis, kui keskendume millelegi muule, mis on tavaliselt seotud kuulamisega. Joonis koosneb lihtsatest elementidest - ringid, squiggles, rombid, täpid, pulgad ja muud. Kuid need lihtsad elemendid võivad luua keerulisi kompositsioone, mis hämmastavad kujutlusvõimet. Neid saab pesta väikeste kritseldustega või need võivad olla väga keerulised ja kunstiliselt täidetud.

Dudlingil on kaks positiivset külge:

- Doodling kui alateadlik joonistus, mis võimaldab "aju välja lülitada", mis avab tee puhtale loovusele, mida reeglid ei piira.

- Doodling paradoksaalsel kombel ei hajuta tähelepanu, vaid aitab hoida sahtli tähelepanu.

Doodlingu põhjal on isegi terve suund - need on kunstiraamatud, aga neist räägin järgmisel korral.

Kolmas tehnika on Zenart (või ZIA)– Zenartiks loetakse igasugust kõrvalekallet joonistamise reeglitest - värviliste viltpliiatsidega joonistamine või pildi värvimine värviga või suureformaadilise või paksu paberi, näiteks albumi, kasutamine. Zenartiks peetakse ka seda, kui sassipuntraga joonistad midagi konkreetset: roosi, siili, öökulli. Või joonistage seinte või riidest koti kujundus üldse mitte paberile.

Autorilt: Veebikujunduses viitab tühimik aladele, kus pole teksti ega pilte. Võime öelda, et see on "visuaalne vaikus". Meie disaini toimimiseks on vaja tühja ruumi korralikult kombineerida kasutatud ruumiga.

Enne alustamist vaadake allolevat videot. Rowan Atkinson: Tere tulemast põrgusse!

Mida sa märkasid? Muidugi, Rowani uskumatu vaimukus. Kuid kas olete märganud, kuidas ta kasutab vaikust inimeste naerma ajamiseks? Seda tehnikat nimetatakse koomiliseks ajastuks, mis on üks olulisemaid oskusi, mis edukal koomikul peab olema.

Kujutage ette Rowan Atkinsoni esitust ilma nende pausideta. Mitte eriti naljakas, sest vaikus teeb nalja naljakaks. Sellel vaikusel on väga oluline ülesanne.

Sama võib öelda ka muusika kohta. Kuigi seal võib olla vaid tuulevaikus enne järsku rütmitõusu, mitte täielik vaikus.

Pange tähele, kuidas ülaltoodud näites bitt "langeb" tasemele 0,45 ja 1,29? Vaikus lisab tulevastele sündmustele draamat. Võtsin tantsuraja, aga oleksin võinud vabalt võtta ka Beethoveni viienda sümfoonia.

Mõlemas näites on vaikus tähelepanu tõmbamisel kriitiline tegur. Valge ruum toimib samamoodi. Veebikujunduses viitab tühimik aladele, kus pole teksti ega pilte. Võime öelda, et see on "visuaalne vaikus". Meie disaini toimimiseks on vaja tühja ruumi korralikult kombineerida kasutatud ruumiga.

Kuigi Google pole alati olnud tuntud oma disainioskuste poolest, on nad alati olnud suured tühiku uskujad, nagu on näha nende kodulehelt. Google käivitas oma ümberkujundamise, kui nende konkurentide lehed nagu Yahoo! olid tihedalt täis ilmaennustusi, uudiseid ja kirju. Mugav liides võimaldas kasutajatel keskenduda peamisele ülesandele – Internetist otsimisele, ilma et neid segaks asjad, mida nad ei vaja.

Raske on tõeliselt hinnata, kui radikaalseid disainiotsuseid on viimase 20 aasta jooksul tehtud, kuid me teame, keda sellega seoses otsida.

Kaks tüüpi tühja ruumi

Aktiivne valge ruum: kujunduselementide vaheline ruum, mida kasutatakse sageli visuaalseks rõhutamiseks ja ülesehituseks. See on asümmeetriline ruum, mis muudab disaini dünaamilisemaks ja aktiivsemaks.

Passiivne tühi ruum: sõnade vaheline ruum real või ruum logode ja muude graafiliste elementide ümber.

Vaadake 500 piksli avalehte ja seda, kuidas see kasutab aktiivset ja passiivset valget ruumi.

Ruumiga töötades vaatleme enamasti aktiivset valget ruumi, kuid ka passiivne ruum vajab piisavalt tähelepanu ja seda, kuidas see disainiga toimib.

Kahes suuruses tühja ruumi

Mikrovalge ruum: see termin viitab väikestele tühja aladele tähtede ja sõnade vahel, samuti mitme graafilise elemendi vahel. Tühja mikroruumi õige seadistamine määrab kogu disaini üldise tooni, muutmata selle põhikomponenti. Midagi sarnast rütmiga tantsulauludes. Laul on sama, aga kuidagi unine.

Ülaltoodud ekraanipildil on näha tühi mikroruum nuppude Logi sisse ja Registreeru vahel, samuti pealkirja ja lõigu vahel.

Makro tühi ruum: see termin kirjeldab suurt hulka tühja ruumi. Näiteks veergude või lõikude vaheline ruum. Makroruumi optimeerimine võib sageli teie kujundust dramaatiliselt muuta, parandades potentsiaalselt tähelepanu ja rütmi veebilehel.

Tumblri kujunduses on tühi makroruum tühjas jaluses ja külgedel selgelt nähtav.

Valge tühi ruum?

Mõiste valge ruum tähendab värvi või tooni puudumist, mis võib segadust tekitada. Valge ruum võib tegelikult olla mis tahes värv, mis tähistab teie kujunduses tühjust – kollane, sinine, roheline või isegi tekstuur (nagu allpool toodud Todoisti näide).

Teie värvivalik ei oma tähtsust, kuid ärge unustage, et värve ja tekstuure on palju meeldivam vaadata kui karmi valget. Põhimõte jääb samaks isegi siis, kui valite teise värvi või tekstuuri.

Kus ja kuidas tühja ruumi kasutada

Tühik ja kutse tegevusele (CTA) elemendid

Kujutage alati ette, et kasutaja ei tea, kuhu edasi minna, ja kujundage tühi ruum sobivalt. Idee on lihtne – kui lehel nupu kõrval pole midagi, siis tuleb sellel klõpsata. Ja vastupidi, kui leht on elementidest pungil, ei pane kasutaja segaduse tõttu nuppu isegi tähele.

Kaasaegsed trendid ja lähenemised veebiarenduses

Õppige veebisaidi loomisel algusest peale kiire kasvu algoritmi

Nagu ülaltoodud pildilt näha, on teine ​​CTA element palju atraktiivsem kui esimene, kuna see ei ole teiste elementidega risustatud.

Valge ruumi kasutamine emotsionaalseks reageerimiseks

Kujunduses emotsioonide esilekutsumiseks on palju viise, sealhulgas fonte, värve ja kujutisi. Kõik need tehnikad aitavad lisada draamat, kuid valge ruum on kõige tugevam komponent ja kõige odavam. Mõned nimetavad seda heaks investeeringuks.

Ülaltoodud ekraanipildil näete, kuidas Todoist kasutab pealkirja ümber olevat valget ruumi, pannes taustapildi särama ja andma edasi positiivset meeleolu. Samuti võtsid nad pildi õnnelikust mehest, mitte rakendusest, mis on samuti suur pluss.

Kuidas saada üle soovist täita tühimikud

Disainerite ja inimestena on meil loomulik soov tühja ruumi täita. Kui ostame suure kapi, garaaži või maja, ei võta meil selle uue ruumi täitmine kaua aega.

See harjumus kandub sageli üle ka disaini. Kui märkame oma disainis tühja ala, hakkame mõtlema: "Millega peaksime selle täitma?" Selline mõtlemine võib disaineritele probleeme tekitada.

Ärge täitke oma kujundust elementidega, proovige asetada üks CTA nupp keskele ja luua selle ümber "turvatsoon" (valge ruum). Pidage meeles, et tühi ruum ei ole raisatud ruum.

Kes kasutab valget ruumi hästi?

Volkswagen on läbi ajaloo olnud meister ajakirjade reklaamides tühiku kasutamises. Nende lihtsad, kuid dünaamilised küljendused paistsid algusest peale staatilise ajakirjareklaami seas silma.

Makroruum on selgelt nähtav auto kohal ja all, mis seab auto tähelepanu keskpunkti. Tühja ruumi asümmeetria sunnib meid liigutama silmi auto ümber, alla tekstini ja tagasi üles. Silmad ei seisa paigal. Mis siis, kui me VW reklaami pisut kärpime?

auto tundub vähem muljetavaldav;

pilk ei libise enam nii kergelt üle paigutuse;

Raskem on esitada lugu mehest, kes minestas.

Nagu näete allolevatel piltidel, on Volkswagen 1960. aastatest tänapäevani kasutanud valget ruumi suurepäraselt.

Võrreldes Volkswageniga on Apple uustulnuk, kuid juba tõestanud end suure valge ruumi disaini pooldajana – alates nende veebisaidist, toodetest ja lõpetades Apple'i poe kuulsa disaini ja arhitektuuriga.

Järeldus

Saime teada, et valge ruum ei ole valge, ja ka seda, et see on koht disainis, kus midagi ei juhtu. Äärmiselt oluline põhimõte disainis, mida disainerid ei tohiks unustada. See on tühi ruum, mis otsustab, kas lehega saab töötada või mitte ja kas mõni element vajab täiendavat tähelepanu.

Saime teada, et valget ruumi on kahte tüüpi (aktiivne ja passiivne) ja kahes suuruses (mikro- ja makro). Vaatasime näidet valge ruumi ekvivalendist komöödias (koomiline ajastus), kuidas see inimesi naerma ajab, ja vaatasime ka näidet valgest ruumist muusikas.

Lõpetuseks tahaksin disainerina lisada "vähem on rohkem". Alustage sellest oma töös. Valge ruum võib kujundada või rikkuda. Loodan, et need ideed aitavad teid järgmise kujunduse loomisel.

Algul tahtsin artikli pealkirjaks panna “Humanoidide vegetatiivne paljunemine”, kuid mõtlesin ümber. Seda on natuke liiga palju. 🙂

Niisiis, me räägime ebatavalisest ja harva kasutatavast kompositsiooni koostamise meetodist. Minu praktikas laoinspektorina on seda juhtunud vaid paar korda, kuid see on muljetavaldav. Eriti kui seda õigesti teha.

Vaadake avaekraani. Nagu näha, ajavad kaks kaksikõde kohvikus laua taga istudes toredat juttu. Ja selle foto saladus on see Pildil sama mudel! Kuidas seda teha, on teoreetiliselt selge: kaamera asetatakse statiivile, pildistatakse tüdrukut, kes istub ühel toolil, seejärel liigub ta teisele toolile ja tehakse teine ​​pilt. Ja siis need kaks kaadrit õmmeldakse fotoredaktoris kokku.

Näib, et kõik on lihtne. Aga kui proovite, siis olen kindel, et raskused võivad tekkida. Piltide kokkuõmblemine peab ju toimuma nii, et vähimadki töötluse märgid ei oleks märgatavad.

Võin öelda, et mul õnnestus sellelt autorilt märgata terve rida sarnaseid teoseid. See tüdruk esines tema fotodel erinevates kleitides (see tähendab, et kahe pildi vahelisel ajal pidi ta riideid vahetama), erinevates rollides, näiteks ülemuse ja tema sekretärina (ta pidi mitte ainult riideid vahetama, vaid ka vahetama tema soeng!), ja kuidas -Seda. Ühesõnaga, autori loovus töötab täiel rinnal! Ja pange tähele, et ta tegi kõik need pildid mittevalgel taustal, mis oleks olnud ülilihtne, aga looduses, tänaval, kohvikus, täpselt nagu siin ekraanisäästjal... See on raske, aga see on ka huvitav!

Kuidas seda kasutada saab? Jah, lihtsalt raami täitmiseks! Kuskil juba kirjutasin, et üksi saab aktsiaärilugusid filmida. Tean mitmeid edukaid kauplejaid, kes just seda teevad – lihtsalt pildistavad ennast. Tõsi, nad teevad seda isolatsiooni all ja siis liimivad enda taha mingisuguse tausta. Kuid kui valdate kõnealust tehnikat, saate teha palju rohkem! Näiteks see, mis mulle peast pähe tuli:

Seda kõike saab eemaldada, kasutades kirjeldatud mudeli "reproduktsiooni" tehnikat. Ja kuna kaadris olev modell on sama, saab seda rolli täita ka autor ise! Kui palju ruumi loovusele! 🙂

Interjööri kaunistamisel jäetakse sageli kõige rohkem tähelepanuta aknad, vahetatakse kardinad või vahetatakse aknad ise. Kuid ruumi nende ümber saab kasutada ka võimalikult praktiliselt. Siin on tõesti palju ringi rännata, ideede ampluaa on nii lai, et me ei saanud peatuda vaid ühe asja juures ja otsustasime kohe pakkuda 25 imelist ideed teie interjööri ümberkujundamiseks.

Ideid lastetoa jaoks

“Lastetoa akna lähedal asuv ruum.


Lastetoa akna lähedal asuv ruum.

Lasteaias pole kunagi liiga palju hoiusüsteeme, mis täidavad kogu ruumi ja nende arv ainult suureneb. Kui te ei tea, kuhu neid panna, on see toode teie jaoks. Tehke akna ümber avatud või kinnised kapid, beebi jaoks olgu pehme nurk, aknalaua alla peidetud hoiusüsteemid. See kompleks näeb stiilne välja ja kindlasti meeldib lapsele.

Korralik panipaik lastetoas


Kodu raamatukogu.

Paberraamatud võtavad igas interjööris palju ruumi ja tavaliselt nende arv ei vähene, vaid ainult suureneb. Ja raamatusõbrad hakkavad nuputama, kuhu oma lemmikkirjandust panna, kuhu koduraamatukogule koht leida. Siin tuleb kasuks aknaruum. Võite kasutada ülemist osa lae all või korraldada raamatute hoidmist aknalaua all ja kui ruumis on kaks akent, siis võtke kogu nendevaheline ruum ja tehke sellest eksprompt raamaturiiul. Teine idee on teha akna mõlemale küljele avatud riiulid ja laduda neile raamatud.

Korralik raamatute hoidla.

Raamatute hoidmine aknalaua all.

Korteris stiilne raamatute panipaik.

Raamatute hoidmine kahe akna vahel.

Stiilne salvestusruum teie koduraamatukogu jaoks.

Lugemisnurk

Mugav koht lugemiseks.

Kuna me räägime raamatutest, ei saa me tähelepanuta jätta ka lugemisnurga kujundust. Nendel eesmärkidel sobib aken ideaalselt. Kasutage selleks pehmeid põrandapatju, need toimivad istmena ja nende dekoratiivsed kaaslased lähevad ka teie selja alla. Looge oma hubane nurk, kus saate oma vabal päeval meeldivalt aega veeta. Juhul, kui jääte lugemisega vahele ja väljas läheb pimedaks, veenduge, et läheduses oleks täiendav kunstlik valgustusallikas.

Lugemiskoht akna ääres.

Puhkamise koht

Stiilne koht lõõgastumiseks.

Kui aknast avaneb ilus vaade, on lihtsalt patt mitte teha aknalauale lõõgastumiseks ja mõtisklemiseks kohta. Laske siin valitseda rahulik värvilahendus, varustage iste kindlasti pehmega, ärge unustage seda kohta kaunistada mitme dekoratiivse padjaga ja asetage lähedale tekk. Selline interjööri kompositsioon rõõmustab silma ja täidab ruumi erilise atmosfääriga. Lisaks saate pärast pingelist tööpäeva alati lõõgastuda ja saada esteetilist naudingut.

Koht lõõgastumiseks.

Kõige mugavam koht majas.

Ilus koht lõõgastumiseks.


Korralik ja stiilne.

Kodukontor

Kodukontor akna ääres.

Hea lahendus on korraldada tööala akna lähedal. Kasutage aknalauda lauaplaadina või asetage sellele abilaud, tehke mugavad riiulid paberite ja kontoritarvete hoidmiseks. Ärge unustage valida mugava kõrgusega tooli ja ärge riputage aknale kardinaid, need takistavad loomuliku valguse sisenemist tuppa.

Söögituba

Sööginurk akna ääres.

Söögikohale koha leidmisel pööra tähelepanu aknale ja seda ümbritsevale ruumile, eriti kui selle kõrval on vaba nurk. Siia sobiks ideaalselt nurganurk või mitu mugavat tooli/tugitooli. Valige sellesse piirkonda lakooniline ja ülilihtne heledates toonides mööbel. See muudab söögitoa hubasemaks.

Nurgasöögituba akna juures.

Hubane mini-söögituba.

Aken köögis

Akna praktiline kasutus köögis.

Köögis olev aken on perenaise jaoks taeva kingitus, mitte ainult ei saa aknalauda kasutada tööalana, vaid ka aknaäärset ruumi. Korraldage lahtised riiulid ja asetage sinna purkidesse nõud, potid, teraviljad ja maitseained.

Vannitoas

Panipaik vannitoa aknal.

Kui vannitoas on aken, on see suurepärane edu. Kasutage seda maksimaalselt, näiteks hoidke siin puhtaid vannirätikuid. Ja kui teete mitu riiulit, saate siin hõlpsasti paigutada isiklikud hügieenitarbed või tualettpaberi.

Riietusruumis

Garderoobis akna lähedal oleva ruumi kasutamine.

Riietusruumi akent saab ka hästi ära kasutada. Asetage mõlemale küljele mugavad avatud nišid ja asetage sinna oma lemmikkotid või -jalatsid, mis peaksid olema alati mõne minuti kaugusel. Ärge unustage neid perioodiliselt tolmust pühkida, et need ei kaotaks oma esinduslikku välimust.

Panipaigasüsteemid magamistoas

Panipaigasüsteemid magamistoas.

Avatud hoiusüsteemid tulevad kasuks ka magamistoas. Siin on mugav hoida koduriideid, voodipesu, käterätte, isikliku hügieeni tarbeid, raamatuid. Korralikuks hoiustamiseks kasutage abitarvikuid - karpe, plastkarpe, vitstest korve.
Esteetilise naudingu saamiseks
Akna lähedal asuvat ruumi saab kasutada mitte ainult praktilistel eesmärkidel, vaid ka kauni sisustuse kuvamiseks. Need võiksid olla reisidelt kaasa võetud suveniirid, portselanist kujukeste kollektsioon, portselan, vaasid ja kõik muu, mis silma rõõmustab. Peaasi, et riiuleid üle ei koormata, jätke õhulise interjööri efekti jaoks veidi vaba ruumi.

Juba iidsete kreeklaste aegadest on teada viis platoonilist tahkist – korrapärased hulktahukad, mida iseloomustab kõrgeim sümmeetriaaste. Need on tetraeeder, kuup, oktaeedr, ikosaeedr ja dodekaeedr, need on näidatud joonisel fig. 1.

Lihtne on täita kogu ruum identsete kuubikutega ilma tühimike ja kattumisteta, nii et mis tahes kaks kõrvuti asetsevat kuupi lõikuvad kas ühes tipus või piki serva või piki tahku (joonis 2).

Ülesanne

A) Tõesta et teised platoonilised tahked ained ei võimalda sellist ruumitäitmist.

b) Tule välja, kuidas ruumi täita, kui saab kasutada erinevaid platoonilisi tahkeid aineid.

Vihje 1

Oletame, et ruum on täidetud platooniliste tahkete ainetega (mitte tingimata identsed). Vaatleme ühe neist servadest. Siis on selle servaga külgneva hulktahuka kahetahuliste nurkade summa 360°.

Vihje 2

Näidake, et tetraeedri, oktaeedri, ikosaeedri ja dodekaeedri kahetahulised nurgad on võrdsed , , ja vastavalt.

Vihje 3

Näidake, et ruumi saab täita tetraeedrite ja oktaeedritega.

Lahendus

Vaatame kõigepealt ruumi täitmist kuubikutega, et mõista, kuidas see saavutatakse. Lase AB- ühe kuubiku serv (joon. 3.). Siis on see veel kolme kuubi serv. Selleks, et ruum oleks täidetud ilma tühimiketa, kahetahuliste nurkade summa, mille serv on AB, peaks olema 2 π . Kuna kuubi kahetahuline nurk on π /2, siis on nelja sellise nurga summa täpselt see, mida me vajame.

Seega selleks, et mis tahes platooniline tahkis saaks ruumi plaadistada ülesande püstituses määratletud viisil, on vajalik, et selle platoonilise tahkise kahetahuline nurk oleks kujuga 2 π /n, Kus n- mõni naturaalarv, mis on suurem kui kaks.

Nüüd leiame kõigi teiste platoni tahkete ainete kahetahulised nurgad. Veenduge, et ühtki neist ei saaks esitada kui 2 π /n, tõestame punkti a). Alustame tetraeedrist.

Eeldame, et tetraeedri kõik küljed ABCD on võrdsed 1. Olgu M- külje keskel B.C., D.H.- kõrgus (joonis 4). Siis on punkt H näo keskpunkt ABC, mis tähendab, et see asub segmendil OLEN. ja jagab selle punktist lugedes suhtega 2:1 A. Võttes arvesse, et OLEN. = DM, järeldub, et cos . See tähendab, et tetraeedri kahetahuline nurk on võrdne .

Järgmisena kaaluge oktaeedrit ABCDEF(joonis 5). Nagu tetraeedri puhul, eeldame, et oktaeedri mõlema külje pikkus on 1. Olgu M külje keskpunkt B.F., A.H.- risti kukkunud tasapinnale BCF punktist A, H 1 ja H 2 - nägude keskpunktid BCF Ja ADE vastavalt. Siis OLEN. = C.M., AHH 1 H 2 on ristkülik ja . Pealegi, . Seega Ja . Seega on oktaeedri kahetahuline nurk võrdne .

Enne ikosaeedri ja dodekaeedri juurde liikumist peaksime lähemalt uurima tavalist viisnurka. Laske sisse tavaline viisnurk PQRST diagonaalid PS Ja QT ristuvad punktis K(joonis 6). Kuna tavalise viisnurga iga nurk on 3 π /5, siis võrdhaarsete kolmnurkade alustel olevad nurgad PST Ja QTP võrdne π /5. See tähendab, et nurgad võrdhaarsete kolmnurkade alustel KPQ Ja KTS võrdne 2 π /5; täpsemalt tähendab see, et korrapärase viisnurga iga diagonaal jagab selle võrdhaarseks kolmnurgaks ja trapetsiks.

Joonistame kolmnurga KPQ poolitaja P.M.. Siis on seda lihtne näha KPM = π /5 ja PKM = PMK = 2π /5 . Sellest järeldame, et võrdhaarsed kolmnurgad KTS Ja KPM sarnased. See asjaolu võimaldab meil väljendada kõiki viisnurga elemente PQRST läbi selle külje pikkuse.

Tõepoolest, lihtsuse huvides eeldame seda PQ= 1. Siis ST = KQ= 1. Tähistame KT läbi x. Siis PK = P.M. = MQ = x, K.M. = 1 – x. Seega,. Seda võrdsust teisendades saame seose x 2 + x– 1 = 0, kust leiame .

Nüüd on erinevaid elemente lihtne leida. Seega on meie jaoks oluline, et tavalise viisnurga küljega 1 diagonaali pikkus oleks . Teine oluline punkt on trigonomeetriliste funktsioonide väärtused punktides π /5 ja 2 π /5. Näiteks,

Pealegi, - see on tavalise viisnurga külg, mis lõigatakse välja, kui joonistame viisnurga sisse PQRST kõik diagonaalid.

Liigume lõpuks edasi ikosaeedri juurde. Selle kahetahulise nurga leidmiseks piisab, kui arvestada ikosaeedri "korki" - tavalise viisnurkse püramiidiga ABCDEF. Lase M- külje keskel A.C.(Joonis 7). Siis, eeldades, et püramiidi kõik küljed on võrdsed 1-ga, saame hõlpsasti selle tulemuse , . Koosinusteoreemi järgi BD 2 = B.M. 2 + DM 2–2 · B.M. · DM cos BMD. Tähendab,

Seega on ikosaeedri kahetahuline nurk võrdne .

Liigume edasi dodekaeedri juurde. Nagu kõigi teiste platooniliste tahkete kehade puhul, eeldame, et selle iga serva pikkus on 1. Tutvustame tähistust, nagu näidatud joonisel fig. 8. Olgu M külje keskpunkt B.C.. Seejärel soovitud nurk EMG võib leida, rakendades võrdhaarse kolmnurga koosinusteoreemi EMG. Jääb üle vaid leida selle kolmnurga küljed.

EMG kolmnurga külgi on lihtne leida. Tõesti,

Selleks, et leida E.G., arvestame dodekaeedri läbilõiget tasapinnaga DEG(joonis 9). See lennuk nikerdab dodekaeedrist kuusnurga DEKLGH, milline DE = KL = G.H.= 1 ja HD = E.K. = G.L.= (tavalise viisnurga diagonaalina, mille külg on 1). Sümmeetria kaalutlustest on selge, et kuusnurk DEKLGH ringi sisse kirjutatud ja DEG = EGH = KHG = π /3. Sellest järeldub, et sirged jooned DE Ja H.K. on paralleelsed ja kolmnurk H.G.I., Kus I- ristumispunkt E.G. Ja KH, võrdkülgne. Tähendab, G.I. = G.H.= 1, a EI = D.H.= . Seega saame E.G. = G.I. + EI = .

Pöördume tagasi dodekaeedri kahetahulise nurga juurde. Nagu järeldub kolmnurga koosinusteoreemist EMG, EG 2 = EM 2 + GM 2– 2 · E.M. · GM cos EMG. Tähendab,

Seega on dodekaeedri kahetahuline nurk .

Nüüd saame hakata analüüsima saadud tulemusi. Nagu me juba alguses ütlesime, selleks, et teatud platoonilise tahkise koopiad täidaksid kogu ruumi jäljetult, on vaja, et selle platoonilise tahkise kahetahuline nurk oleks kujul 2 π /n. Seda tüüpi nurkade koosinuste väärtused, mis vastavad väärtustele n= 2, 3, 4, 5, 6 on:

Kuna intervallil on funktsioon cos x väheneb monotoonselt, siis nurkade võrdlemiseks piisab nende koosinuste väärtuste võrdlemisest üksteisega. Teeme seda.

Tetraeedri kahetahuline nurk on . Koosinuste puhul kehtivad järgmised ebavõrdsused:< 1/3 < 1/2. Значит, 2π /5 > > 2π /6.

Oktaeedri kahetahuline nurk on . Koosinuste puhul kehtivad järgmised ebavõrdsused: –1/2< –1/3 < 0. Значит, 2π /3 > > 2π /4.

Ikosaeedri kahetahuline nurk on võrdne . Koosinuste puhul kehtivad järgmised ebavõrdsused: –1< –√5/3 < –1/2. Значит, 2π /2 > > 2π /3.

Dodekaeedri kahetahuline nurk on . Koosinuste puhul kehtivad järgmised ebavõrdsused: –1/2< –1/√5 < 0. Значит, 2π /3 > > 2π /4.

Seega ei ole ühegi platoonilise keha, välja arvatud kuubik, kahetahulised nurgad 2. tüüpi nurgad π /n. Punkt a) on tõestatud.

Liigume edasi probleemi punkti b) juurde. Mõelge võrdsetele oktaeedritele ABCDEF Ja PQRCBS, millel on ühine serv eKr. Siis kui ribid B.C., DE Ja QR asuvad samal tasapinnal, siis tippude vaheline kaugus A Ja P võrdne oktaeedri keskpunktide vahelise kaugusega (joon. 10). Viimane on aga võrdne oktaeedri serva pikkusega. Niisiis, tetraeedris ABCP kõik pooled on võrdsed ja tal on õigus.

See kaalutlus võimaldab meil täita ruumi vajalikul viisil tetraeedrite ja oktaeedritega. Esiteks voldime need tetraeedriliseks toruks (joonis 11). See toru ristlõikes annab rombi. Küll aga saame tasapinna katta mistahes nelinurga (ja veelgi enam rombi) koopiatega ilma tühikute ja kattumisteta (vt “Plaadimise” ülesannet). Seetõttu on ka kogu ruum selliste torudega hõlpsasti täidetud.

“Ringid ringis”) ja pallid ruumis. Hoolimata asjaolust, et peaaegu kõik formulatsioonid kõlavad väga loomulikult, on sellised probleemid üsna keerulised ja enamasti ootavad need vaid lahendamist.

Teiste teaduste seisukohalt on vaadeldav probleem huvitav ennekõike seetõttu, et vastus sellele võimaldab ennustada, milline on konkreetse aine kristallide struktuur, kuidas erinevad aatomid ja molekulid ühinevad, et moodustavad need kristallid. Selgub, et kristallid on enamasti korrapäraselt paigutatud, mis võimaldab neid diskreetselt ühtlaselt kirjeldada. liigutuste alarühmad ruumi. Kristallide ja liikumiste alarühmade vahelist seost selgitatakse järgmiselt: iga ruumi liikumise diskreetse alarühma jaoks saab valida suurima ühendatud ruumitüki, mille kahte punkti ei saa selle alarühma ühegi liikumisega üksteiseks tõlkida. Üldiselt võib selliseid tükke olla palju; mõnda neist nimetatakse põhivaldkond liigutuste alarühmad. Juhul, kui põhipiirkond on piiratud, kutsutakse liikumiste diskreetne alamrühm kristallograafiline. See nimi selgitab sideme olemust: korrapäraselt asetsevate kristallide molekule ja aatomeid võib sageli pidada teatud kristallograafiliste liikumisrühmade põhipiirkonnaks.

Lamedate kristallograafiliste rühmade arv on 17. Kolmemõõtmelises ruumis on juba 219 kristallograafilist rühma. 4. mõõtmega ruumis on rühmade arv veelgi suurem: 4783. Iga selline rühm genereerib tasapinna või ruumi teatud jaotuse identseteks tükkideks. Näiteks tasapinna jagamine võrdseteks ruutudeks, mille küljed on võrdsed 1-ga (ruuduline paber), genereeritakse kristallograafilise rühma abil, mis koosneb paralleelsetest ülekannetest vormi kõikidesse võimalikesse vektoritesse ( m, n), Kus m Ja n— täisarvud, samuti pöörded nurkade kaupa π /4, π /2 ja 3 π /4 ruutude keskpunktide ja tippude suhtes. Sarnane kristallograafiline rühm tekitab ruumi täitmise kuubikutega. Ruumi korrapärane täitmine tetraeedrite ja oktaeedritega vastab samuti kristallograafilisele rühmale - see koosneb kõigist sellistest liikumistest, mis kannavad täidise endasse. Kuid ei oktaeedr ega tetraeeder ei ole selle põhipiirkond.