Sõrmuse mõiste, sõrmuste lihtsamad omadused. Sõrmused

Matemaatika erinevates harudes, aga ka matemaatika rakendamisel tehnoloogias, tuleb sageli ette olukord, kus algebralisi tehteid sooritatakse mitte arvude, vaid erineva iseloomuga objektidega. Näiteks maatriksi liitmine, maatriksi korrutamine, vektorite liitmine, polünoomide operatsioonid, lineaarteisenduste operatsioonid jne.

Definitsioon 1. Rõngas on matemaatiliste objektide kogum, milles on määratletud kaks tegevust – “liitmine” ja “korrutamine”, mis seovad järjestatud elementide paarid nende “summa” ja “korrutisega”, mis on sama hulga elemendid. Need toimingud vastavad järgmistele nõuetele:

1.a+b=b+a(liitmise kommutatiivsus).

2.(a+b)+c=a+(b+c)(liitumise assotsiatiivsus).

3. Leidub nullelement 0 selline, et a+0=a, iga a.

4. Kellelegi a on vastandelement − a selline, et a+(−a)=0.

5. (a+b)c=ac+bc(vasakpoolne distributiivsus).

5".c(a+b)=ca+cb(õige jaotus).

Nõuded 2, 3, 4 tähendavad, et matemaatiliste objektide hulk moodustab rühma ja koos punktiga 1 on tegemist liitmise suhtes kommutatiivse (Abeli) rühmaga.

Nagu definitsioonist näha, siis rõnga ülddefinitsioonis korrutamisele piiranguid ei sea, välja arvatud liitmisega jaotus. Erinevates olukordades on aga vaja kaaluda lisanõuetega rõngaid.

6. (ab)c=a(bc)(korrutamise assotsiatiivsus).

7.ab=ba(korrutamise kommutatiivsus).

8. Üksiku elemendi 1 olemasolu, s.o. selline a·1=1· a=a, mis tahes elemendi jaoks a.

9. Iga elemendi elemendi jaoks a on pöördelement a−1 selline aa −1 =a −1 a= 1.

Erinevates ringides saab 6, 7, 8, 9 sooritada kas eraldi või erinevates kombinatsioonides.

Ringi nimetatakse assotsiatiivseks, kui tingimus 6 on täidetud, kommutatiivseks, kui tingimus 7 on täidetud, kommutatiivseks ja assotsiatiivseks, kui tingimus 8 on täidetud.

Sõrmuste näited:

1. Ruutmaatriksite komplekt.

Tõesti. Punktide 1-5, 5" täitmine on ilmne. Nullelement on nullmaatriks. Lisaks on täidetud punkt 6 (korrutamise assotsiatiivsus), punkt 8 (ühikelement on ühikmaatriks). Punktid 7 ja 9 ei ole täidetud, sest üldjuhul on ruutmaatriksite korrutamine mittekommutatiivne ja ka ruutmaatriksi pöördväärtus ei ole alati olemas.

2. Kõikide kompleksarvude hulk.

3. Kõigi reaalarvude hulk.

4. Kõigi ratsionaalarvude hulk.

5. Kõikide täisarvude hulk.

Definitsioon 2. Iga arvusüsteemi, mis sisaldab mis tahes kahe arvu summat, erinevust ja korrutist, nimetatakse numbrirõngas.

Näited 2-5 on numbrirõngad. Arvurõngad on ka kõik paarisarvud, samuti kõik täisarvud, mis jaguvad ilma jäägita mõne naturaalarvuga n. Pange tähele, et paaritute arvude komplekt ei ole ring, sest kahe paaritu arvu summa on paarisarv.

Mittetühi komplekt TO, millele on määratud kaks kahendtehtet - liitmine (+) ja korrutamine ( ), mis vastavad tingimustele:

1) liitmise toimimise kohta TO- kommutatiivne rühm;

2) korrutustehte kohta TO- poolrühm;

3) liitmise ja korrutamise tehted on omavahel seotud jaotusseadusega, s.o. . (a+b)с=ас+bс, с(a+b) =ca+cb kõigi jaoks a, b, c K, kutsus ring (K,+, ).

Struktuur (TO,+) kutsutakse lisaainete rühm rõngad. Kui korrutustehte on kommutatiivne, st. ab=ba. kõigi jaoks A, b, siis kutsutakse sõrmust kommutatiivne.

Kui korrutustehte suhtes on ühikelement, mida ringis tähistatakse tavaliselt ühikuga 1,. siis nad ütlevad seda TO Seal on sõrmus ühega.

Nimetatakse ringi alamhulka L sõrmuse all, Kui L on rõnga ja aditiivse rühma alamrühm L on korrutustehte all suletud, st kõigi jaoks a, b L hukatakse a+b L Ja ab L.

Alamrõngaste ristumiskoht on alamring. Seejärel, nagu rühmade puhul, allalandamise teel, loodud palju S K, nimetatakse kõigi alamrõngaste ristumiskohaks TO, mis sisaldab S.

1. Täisarvude hulk korrutamise ja liitmise operatsioonide suhtes on (Z, +, )-kommutatiivne ring. Komplektid nZ täisarvud jaguvad arvuga P, on alamring ilma ühtsuseta n>1.

Samamoodi on ratsionaal- ja reaalarvude hulk ühtsusega kommutatiivsed rõngad.

2. Ruutmaatriksite järjekord P maatriksite liitmise ja korrutamise operatsioonide suhtes on ühtsusega ring E- ühikmaatriks. Kell n>1 see on mittekommutatiivne.

3. Olgu K suvaline kommutatiivne ring. Vaatleme kõiki võimalikke polünoome

muutujaga X ja koefitsiendid a 0, a 1, a 2,..., ja n, alates TO. Polünoomide liitmise ja korrutamise algebraliste operatsioonide puhul on see kommutatiivne ring. Seda nimetatakse polünoomide ring K muutujast X rõnga kohal TO(näiteks täisarvude, ratsionaalide, reaalarvude rõnga kohal). Polünoomide ring on defineeritud sarnaselt K alates T muutujad polünoomide ringina ühes muutujas x t rõnga kohal K.

4. Lase X- suvaline komplekt, TO- suvaline ring. Vaatleme kõigi funktsioonide komplekti f: X K, määratletud komplektil X väärtustega sees TO Määratleme funktsioonide summa ja korrutise, nagu tavaliselt, võrdustega

(f+g)(x)=f(x)+g(x); (fg)(x)=f(x)g(x),

kus + ja - toimingud ringis TO.

Lihtne on kontrollida, kas kõik rõnga definitsioonis sisalduvad tingimused on täidetud ja konstrueeritud rõngas on kommutatiivne, kui algne rõngas on kommutatiivne K. Seda nimetatakse funktsioonide ring komplektil X väärtustega ringis TO.

Paljud rõngaste omadused on rühmade ja poolrühmade vastavate omaduste ümbersõnastused, näiteks: a m a n =a m + n, (a t) p =a tp kõigi jaoks m, n ja kõik a.

Muud rõngaste spetsiifilised omadused modelleerivad numbrite omadusi:

1) kõigile a a 0 = 0 a = 0;

2) .(-а)b=а(-b)=-(ab);

3) - a=(-1)a.

Tõesti:

2) 0=a(sarnane (-a)b=-(ab));

3) kasutades teist omadust, on meil- a= (-a)1 =a(-1) = (-1)a.

Väli

Täisarvude, ratsionaalarvude ja reaalarvude ringides sellest, et korrutis ab=0, sellest järeldub kas A=0 või b=0. Aga järjekorras ruutmaatriksite ringis n>1 see omadus ei ole enam täidetud, kuna näiteks = .

Kui ringis K ab=0 juures A 0, b, See A nimetatakse vasakule ja b-õige null jagaja. Kui sisse TO nulljagajaid pole (v.a element 0, mis on triviaalne nulljagaja), siis K nimetatakse sõrmuseks ilma nulljagajateta.

1. Funktsioonirõngas f: R R reaalarvude hulgal R, vaatleme funktsioone f 1 (x)=|x|+x; f 2 (x) =|x|-x. Neile f 1 (x)=0 at x Ja f 2(x)=0 juures x ja seega ka toode f 1 (x) f 2 (x)- nullfunktsioon siiski f 1 (x) Ja f 2(x) . Seetõttu on sellel ringil null jagajat.

2. Vaatleme täisarvude paaride hulka ( a, b), milles on ette nähtud liitmise ja korrutamise toimingud:

(a1, b1)+(a2, b2)=(a1 +a2, b1 +b2);

(a 1, b 1) (a 2, b 2) = (a 1 a 2, b 1 b 2).

See hulk moodustab ühtsuse (1,1) ja nulljagajatega kommutatiivse rõnga, kuna (1,0)(0,1)=(0,0).

Kui ringis nulljagajaid pole, siis on selles täidetud tühistamise seadus, s.t. ab=ac, a=c. Tõesti, ab-ac=0 a(b-c)=0 (b-c)=0 b=c.

Lase TO- rõngas, koos ühikuga. Element A helistas pöörduv, kui selline element on olemas a -1, mille jaoks aa -1 =a -1 a = 1.

Pööratav element ei saa olla nulljagaja, sest. Kui ab=0 , See a -1 (ab) = 0 (a -1 a) b = 0 1 b = 0 b = 0(sarnane ba = 0 ).

Teoreem. Kõik ringi K ümberpööratavad elemendid, millel on identsus, moodustavad korrutatava rühma.

Tõepoolest, korrutamine TO assotsiatiivselt sisaldub ühik pööratavate elementide hulgas ja korrutis ei tulene pööratavate elementide hulgast, kuna kui A Ja b on siis pöörduvad
(ab) -1 = b -1 a -1.

Olulise algebralise struktuuri moodustavad kommutatiivsed rõngad TO, milles iga nullist erinev element on ümberpööratav, st korrutustehte suhtes on hulk K\(0) moodustab rühma. Sellistes rõngastes on määratletud kolm tehet: liitmine, korrutamine ja jagamine.

kommutatiivne rõngas Rühikuga 1 0, milles iga nullist erinev element on inverteeritav, kutsutakse valdkonnas.

Korrutamise osas moodustavad kõik välja nullist erinevad elemendid rühma nimega multiplikatiivne rühm väljad.

Töö ab -1 on kirjutatud murruna ja sellel on mõte ainult siis, kui b 0. Element on võrrandi ainus lahendus bx=a. Murdudega toimingud järgivad meile tuttavaid reegleid:

Tõestame näiteks teist neist. Lase x= Ja y=- võrrandite lahendid bx=a, dy=c. Nendest võrranditest järeldub dbx=da, bdy=bc bd(x+y)=da+bc t=- võrrandi ainus lahendus bdt=da+bc.

1. Täisarvude ring ei moodusta välja. Väli on ratsionaalarvude hulk ja reaalarvude hulk.

8.7. Iseseisva töö ülesanded 8. peatükis

8.1. Tehke kindlaks, kas vektorite skalaarkorrutise leidmine n-mõõtmelises eukleidilises ruumis on kommutatiivne ja assotsiatiivne. Põhjenda oma vastust.

8.2. Määrake, kas maatriksikorrutamise operatsiooni järgu n ruutmaatriksite hulk on rühm või monoid.

8.3. Märkige, milline järgmistest kogumitest moodustab korrutamistoimingu suhtes rühma:

a) täisarvude hulk;

b) ratsionaalarvude hulk;

c) nullist erinevate reaalarvude hulk.

8.4. Määrake, milline järgmistest struktuuridest moodustab ruutmaatriksite komplekti, mille suurusjärk on n, mille determinant on võrdne ühega: tavaliste maatriksi liitmise ja korrutamise operatsioonide suhtes:

a) rühm;

b) ring;

8.5. Märkige, millise struktuuri moodustab täisarvude hulk seoses korrutamise ja liitmise operatsiooniga:

a) mittekommutatiivne ring;

b) kommutatiivne ring;

8.6. Millise järgmistest struktuuridest moodustab reaal a ja b kujuga maatriksite hulk tavaliste maatriksi liitmise ja korrutamise operatsioonide suhtes:

sõrmus;

8.7. Milline arv tuleb reaalarvude hulgast välja jätta, et ülejäänud arvud moodustaksid tavapärase korrutamistoimingu suhtes rühma:

8.8. Uurige, milline järgmistest struktuuridest moodustab kahest elemendist a ja e koosneva hulga, mille binaartehte on defineeritud järgmiselt:

ee=e, ea=a, ae=a, aa=e.

a) rühm;

b) Abeli ​​rühm.

8.9. Kas paarisarvud on tavaliste liitmise ja korrutamise operatsioonide suhtes ringid? Põhjenda oma vastust.

8.10. Kas rõngas on arvude hulk kujul a+b, kus a ja b on liitmise ja korrutamise tehte suhtes mistahes ratsionaalarvud? Põhjenda vastust.

RÜHMA MÄÄRATLUS JA NÄITED.

Odr1.Olgu G suvalise iseloomuga elementide mittetühi hulk. G kutsutakse Grupp

1) Bao ° on antud komplektis G.

2) bao ° on assotsiatiivne.

3) On neutraalne element nÎG.

4) G iga elemendi jaoks on tema suhtes sümmeetriline element alati olemas ja kuulub ka G-sse.

Näide. Z – arvude komplekt koos + operatsiooniga.

Odr2.Rühma kutsutakse Abeli, kui see on kommutatiivne antud bao° suhtes.

Rühmade näited:

1) Z,R,Q „+” (Z+)

Rühmade lihtsamad omadused

Rühmas on ainult üks neutraalne element

Rühmas on iga elemendi jaoks üks element, mis on selle suhtes sümmeetriline

Olgu G rühm bao °, siis võrrandid kujul:

a°x=b ja x°a=b (1) on lahendatavad ja neil on ainulaadne lahendus.

Tõestus. Vaatleme võrrandeid (1) x jaoks. Ilmselgelt $ eest! a". Kuna tehe ° on assotsiatiivne, siis ilmselgelt on x=b°a" ainus lahendus.

34. ASENDUSE PARITEET*

Definitsioon 1. Asendust nimetatakse isegi, kui see lagundatakse paarisarvu transpositsioonide korrutiseks ja muidu paarituks.

1. lause.Asendamine

On ühtlane<=>- isegi permutatsioon. Seetõttu paarisasenduste arv

n arvust võrdub n!\2.

2. lause. Asendustel f ja f - 1 on sama paarsusmärk.

> Piisab kontrollimisest, et if on transpositsioonide korrutis, siis<

Näide:

ALAGRUPP. ALAGRÜHMA KRITEERIUM.

Def. Olgu G rühm bao°-ga ja HÌG mittetühja alamhulgaga, siis nimetatakse H-d G ​​alamrühmaks, kui H on alamrühm bao° suhtes (st ° on H bao. Ja H selle toiminguga on rühm).

Teoreem (alarühma kriteerium). Olgu G rühm tehte°, ƹHÎG suhtes. H on alarühm<=>"h 1 ,h 2 ОH tingimus h 1 °h 2 "ОH on täidetud (kus h 2 " on h 2 sümmeetriline element).

Doc. =>: Olgu H alamrühm (peate tõestama, et h 1 °h 2 "ОH). Võtke h 1 ,h 2 ОH, siis h 2 "ОH ja h 1 °h" 2 ОH (kuna h" 2 on sümmeetriline element kuni h 2).

<=: (peate tõestama, et H on alarühm).

Kuna H¹Æ , siis on seal vähemalt üks element. Võtame hÎH, n=h°h"ОH, st neutraalne element nОH. H 1 jaoks võtame n ja h 2 jaoks h siis h"ОH Þ " hОH sümmeetriline element h-le kuulub samuti H-le.

Tõestame, et mis tahes H elementide koostis kuulub H-le.

Võtame h 1 ja kui h 2 võtame h" 2 Þ h 1 °(h 2 ") " ÎH, Þ h 1 °h 2 ÎH.

Näide. G=S n , n>2, α - mõni element X=(1,…,n). Kuna H võtame mittetühja hulga H= S α n =(fО S n ,f(α)=α), jääb S α-st lähtuva kaardistuse toimel n α paigale. Kontrollime vastavalt kriteeriumidele. Võtame mis tahes h 1 ,h 2 ОH. Toode h 1. h 2 "ОH, st H on alamrühm, mida nimetatakse elemendi α statsionaarseks alamrühmaks.

RING, VÄLJA. NÄITED.

Def. Lase TO mittetühi hulk kahe algebralise tehtega: liitmine ja korrutamine. TO helistas ring, kui on täidetud järgmised tingimused:

1) TO - Abeli ​​rühm (kommutatiivne antud bao ° suhtes) liitmise suhtes;

2) korrutamine on assotsiatiivne;

3) korrutamine on liitmise() suhtes distributiivne.

Kui korrutamine on kommutatiivne, siis TO helistas kommutatiivne ring. Kui korrutamise suhtes on neutraalne element, siis TO helistas sõrmus ühega.

Näited.

1) Täisarvude hulk Z moodustab tavaliste liitmise ja korrutamise operatsioonide suhtes rõnga. See ring on kommutatiivne, assotsiatiivne ja omab identiteeti.

2) Ratsionaalarvude hulgad Q ja reaalarvude R on väljad

tavaliste arvude liitmise ja korrutamise operatsioonide suhtes.

Sõrmuste lihtsamad omadused.

1. Alates TO on Abeli ​​rühm lisamisel, siis TO kantakse üle rühmade lihtsamad omadused.

2. Korrutamine on distributiivne erinevuse suhtes: a(b-c)=ab-ac.

Tõestus. Sest ab-ac+ac=ab ja a(b-c)+ac=a((b-c)+c)=a(b-c+c)=ab, siis a(b-c)=ab-ac.

3. Sõrmusel võib olla nulli jagajaid, s.t. ab=0, kuid sellest ei järeldu, et a=0 b=0.

Näiteks maatriksite ringis, mille suurus on 2´2, on elemente, mis ei ole võrdsed nulliga, nii et nende korrutis on null: , kus - mängib nullelemendi rolli.

4. a·0=0·а=0.

Tõestus. Olgu 0=b-b. Siis a(b-b)=ab-ab=0. Samamoodi 0·a=0.

5. a(-b)=(-a) b=-ab.

Tõestus: a(-b)+ab=a((-b)+b)=a·0=0.

6. Kui ringis TO on ühik ja see koosneb rohkem kui ühest elemendist, siis ühik ei võrdu nulliga, kus 1─ on korrutamisel neutraalne element; 0 ─ neutraalne element lisamisel.

7. Lase TO identiteediga ring, siis moodustab ringi ümberpööratavate elementide hulk korrutamise suhtes rühma, mida nimetatakse ringi multiplikatiivseks rühmaks K ja tähistada K*.

Def. Nimetatakse identiteediga kommutatiivset rõngast, mis sisaldab vähemalt kahte elementi ja milles iga nullist erinev element on pööratav. valdkonnas.

Välja lihtsaimad omadused

1. Sest väli on ring, siis kanduvad kõik rõngaste omadused väljale.

2. Väljal puuduvad nulljagajad, s.t. kui ab=0, siis a=0 või b=0.

Tõestus.

Kui a¹0, siis $ a -1. Vaatleme a -1 (ab)=(a -1 a)b=0 ja kui a¹0, siis b=0, samamoodi kui b¹0

3. Võrrandil kujul a´x=b, a¹0, b – suvaline, väljal on kordumatu lahend x= a -1 b või x=b/a.

Selle võrrandi lahendust nimetatakse osaliseks lahendiks.

Näited. 1)PÌC, P - numbriväli. 2) P=(0;1);

Lisamise kohta;

$\backslash forall\; a\; \backslash in\; R\backslash ;\; \backslash existsists\; b\; \backslash in\; R\; \backslash left(a\; +\; b\; =\; b\; +\; a\; =\; 0\backslash right)$- liitmise suhtes vastandelemendi olemasolu;

$(a\; \backslash \; korda\; b)\; \backslash \; korda\; c=a\; \backslash \; korda\; (b\; \backslash \; korda\; c)$- korrutamise assotsiatiivsus;

$\backslash left\backslash (\backslash begin(maatriks)\; a\; \backslash \; korda\; (b\; +\; c)\; =\; (a\; \backslash \; korda\; b)\; +\; (a\; \backslash \; korda\; c)\; \backslash \backslash \; (b\; +\; c)\; \backslash \; korda\; a\; =\; (b\; \backslash \; korda\; a)\; +\; (\; c\; \backslash \; korda\; a)\; \backslash end(maatriks)\backslash right.$- jaotus.

Sümboli asemel $\backslash \; korda$ sümbolit kasutatakse sageli $\backslash cdot$ või jäta see üldse ära.

Kõige lihtsamad omadused

Ringi aksioomidest saab otse tuletada järgmised omadused:

Põhimõisted

Rõngaelementide tüübid

Olgu rõngas nullist erinevad elemendid (rõngas ei ole triviaalne). Siis on vasak nulli jagaja nullist erinev element $a$ rõngad $R,$ mille jaoks on nullist erinev element $b$ rõngad $R,$ selline, et $ab=0.$ Parempoolne nulljagaja määratakse sarnaselt. Kommutatiivsetes rõngastes langevad need mõisted kokku. Näide: kaaluge intervalli pidevate funktsioonide ringi $(-1,\; 1).$ Paneme $f(x)=\backslash max(0,\; x),$ $g(x)=\backslash max(0,\; -x).$ Siis $f\backslash ne0,\; g\backslash ne0,\; fg=0,$ see on $f,\; g$ on null jagajad. Siin on tingimus $f\backslash ne0$ tähendab seda $f$ on nullist erinev funktsioon, kuid ei tähenda seda $f$ pole kuskil vahet $0.$

Kui $a$– ühtsusega sõrmuse suvaline element $R,$ seejärel vasakpoolne pöördelement $a$ helistas $a^(-1)\_(l)$ selline, et $a^(-1)\_(l)a=1.$ Parempoolne pöördelement on defineeritud sarnaselt. Kui element $a$ on nii vasak kui ka parem pöördväärtus, siis viimane langeb kokku ja me ütleme seda $a$ omab pöördelementi, mis on üheselt määratud ja tähistatud $a^(-1).$ Elementi ennast nimetatakse ümberpööratavaks elemendiks.

Subring

Alamhulk $A\backslash \; alamhulk\; R$ helistas alamring $R,$ Kui $A$ on ise rõngas punktis määratletud operatsioonide suhtes $R.$ Samal ajal nad ütlevad seda $R$- rõnga laiendamine $A.$ Teisisõnu, mittetühi alamhulk $A\backslash \; alamhulk\; R$ on alamring kui

• $A$ on rõnga aditiivne alarühm $R,$ see tähendab mis tahes $x,\; y\; \backslash in\; A:\; x+y,\; -x\; \backslash in\; A,$
• $A$ on korrutamise all suletud, st mis tahes jaoks $x,\; y\; \backslash in\; A:\; xy\; \backslash in\; A.$

Alamring pärib kommutatiivsuse omaduse.

Mittetühi alamhulk $I$ rõngad $R$ helistas vasakpoolne ideaal, Kui:

• $I$ on rõnga aditiivne alamrühm, st mis tahes kahe elemendi summa alates $I$ kuulub $mina,$ ja $a\backslash in\; I\backslash Rightarrow\; -a\backslash in\; I.$

• I suletakse vasakpoolse korrutamise all rõnga suvalise elemendiga, see tähendab mis tahes jaoks $a\backslash in\; mina,$ $r\backslash in\; R$õige $ra\backslash in\; I.$

Esimene omadus viitab ka sellele, et I on enda sees korrutamise all suletud, nii et I on alamring.

Sarnaselt määratletakse ka õige ideaal, mis suletakse korrutamisel parempoolse rõnga elemendiga.
Kahepoolne ideaal(või lihtsalt ideaalne) rõngad $R$- mis tahes mittetühi alamhulk, mis on nii vasak kui ka parem ideaal.

Ideaalne ka sõrmus $R$ võib defineerida mõne homomorfismi tuumana $f:\; R\; \backslash \; kuni\; R".$

Kui $x$- rõnga element $R,$ siis vormi elementide hulk $Rx$(vastavalt, $xR$) nimetatakse vasakpoolseks (vastavalt paremale) põhiideaaliks, mille genereerib $x.$ Kui sõrmus $R$ Kommutatiivselt langevad need määratlused kokku ja luuakse peamine ideaal $x,$ tähistatud $(x).$ Näiteks kõigi paarisarvude hulk moodustab täisarvude ringis ideaali, selle ideaali genereerib element 2. Võib tõestada, et kõik ideaalid täisarvude ringis on põhilised.

Ideaali rõngast, mis ei lange kokku kogu rõngaga, nimetatakse lihtsaks, kui selle ideaali jagatisringil pole nulljagajaid.
Maksimaalseks nimetatakse rõnga ideaali, mis ei lange kokku kogu rõngaga ja ei sisaldu üheski suuremas ideaalis, mis ei ole rõngaga võrdne.

Homomorfism

Rõnga homomorfism (rõnga homomorfism) on vastendus, mis säilitab liitmise ja korrutamise operatsioonid. Nimelt homomorfism sõrmust $R$ ringis $S$ on funktsioon $f:\; R\backslash \; to\; S,$ selline, et

1. $f(a\; +\; b)\; =\; f(a)\; +\; f(b),$
2. $f(a\; \backslash cdot\; b)\; =\; f(a)\; \backslash cdot\; f(b),\; ~\backslash forall\; a,\; b\; \backslash in\; ~R.$

Ühtsusega rõngaste puhul on mõnikord ka tingimused nõutavad $f(1)\; =\; 1$ .

Rõngaste homomorfismi nimetatakse isomorfism, kui rõngaste homomorfism on pöördvõrdeline. Igasugune rõngaste bijektiivne homomorfism on isomorfism. Automorfism on homomorfism rõngast iseendale, mis on isomorfism. Näide: rõnga identiteedi kaardistamine iseendaga on automorfism.

Kui $f:R\backslash to\; S$- rõngaste homomorfism, elementide hulk $R,$ nulli minekut nimetatakse kerneliks $f$(tähistatud $\backslash mathrm(ker)f$). Iga homomorfismi tuum on kahepoolne ideaal. Teisest küljest pilt $f$ ei ole alati ideaal, vaid on alamring $S$(tähistatud $\backslash mathrm(im)f$).

Faktor ring

Jagatisringi definitsioon ideaali järgi on sarnane jagatisrühma määratlusega. Täpsemalt sõrmuse faktoriring $R$ kahepoolse ideaali järgi $I$ on lisandite rühma kosettide kogum $R$ aditiivsete alarühmade kaupa $I$ järgmiste toimingutega:

• $(a\; +\; I)\; +\; (b\; +\; I)\; =\; (a\; +\; b)\; +\; I,$
• $(a\; +\; I)\; (b\; +\; I)\; =\; (ab)\; +\; I.$

Sarnaselt rühmade puhul on olemas kanooniline homomorfism $p:\; R\backslash \; to\; R/I,$ antud kui $x\; \backslash mapsto\; x\; +\; I.$ Tuum on ideaalne $I.$

Sarnaselt rühmade homomorfismi teoreemiga on olemas teoreem rõngaste homomorfismi kohta: olgu $f:\; R\backslash \; to\; R",$ Siis $\backslash mathrm(Im)\; f$ isomorfne jagatisringiga homomorfismi tuuma suhtes $\backslash mathrm(Im)\; f\; \backslash simeq\; A/\backslash mathrm(Ker)\; f.$

Mõned sõrmuste eriklassid

Näited

• $\backslash \{\; 0\backslash \}$- triviaalne ring, mis koosneb ühest nullist. See on ainus ring, milles null on kordamisühik. Seda triviaalset näidet on kasulik käsitleda kategooriateooria seisukohalt rõngana, kuna sel juhul tekib rõngaste kategooriates terminaalne objekt.
• $\backslash mathbb(Z)$- täisarvud (tavalise liitmise ja korrutamisega). See on rõnga kõige olulisem näide, kuna iga rõngast võib pidada algebraks $\backslash Z$. See on ka kategooria lähteobjekt Sõrmus rõngad ühikuga.
• $\backslash mathbb(Z)\_n$- jääkide ring modulo a naturaalarv n. Need on klassikalised rõngaste näited arvuteooriast. Jääkrõngas on väli siis ja ainult siis, kui arv n on algarv. Vastavad väljad on lähtepunktiks lõplike väljade teooria koostamisel. Jääkrõngad on olulised ka lõplikult genereeritud Abeli ​​rühmade struktuuri uurimisel ning neid saab kasutada ka p-adic arvude konstrueerimiseks.
• $\backslash mathbb(Q)$- ratsionaalarvude ring, mis on väli. See on tunnuse 0 lihtsaim väli. See on arvuteooria peamine uurimisobjekt. Selle täitmine erinevate mitteekvivalentsete normide järgi annab reaalarvude väljad $\backslash R$ ja p-adic numbrid $\backslash Q\_p,$ kus p on suvaline algarv.
• Suvalise kommutatiivse rõnga jaoks $R$ saab konstrueerida n muutujaga polünoomide ringi $R$ koefitsientidega $R.$ Eriti, $R[x][y]=R.$ Täisarvu koefitsientidega polünoomirõngas on universaalne polünoomiring selles mõttes, et kõiki polünoomirõngaid väljendatakse tensorikorrutises: $R\; =\; R\backslash otimes\backslash left(\backslash Z\backslash right).$
• Hulga alamhulkade ring $X$ on ring, mille elemendid on alamhulgad $X$. Liitmise tehe on sümmeetriline erinevus ja korrutamine on hulkade ristumiskoht:

$A\; +\; B\; =\; A\; \backslash Delta\; B\; =\; (A\backslash setmiinus\; B)\; \backslash tass\; (B\; \backslash seadmiinus\; A),$ $A\backslash cdot\; B\; =\; A\backslash cap\; B.$ Rõnga aksioome on lihtne kontrollida. Nullelement on tühi hulk, identiteedielement on kõik. $X.$ Kõik rõnga elemendid on idempotentsed, see tähendab $A\backslash cdot\; A\; =\; A.$ Iga element on selle pöördväärtus liitmise teel: $A+A=0.$ Alamhulkade ring on oluline Boole'i ​​algebrateoorias ja mõõtmisteoorias, eriti tõenäosusteooria koostamisel.

Konstruktsioonid

Otsene toode

Olgu R ja S rõngad. Siis toode $R\backslash \; korda\; S$ võib olla varustatud loomuliku rõngastruktuuriga. Toimingud on määratletud järgmiselt: mis tahes $r\_1,r\_2\backslash in\; R$, $s\_1,s\_2\backslash in\; S:$

• $(r\_1,s\_1)+(r\_2,s\_2)=(r\_1+r\_2,s\_1+s\_2),$
• $(r\_1,s\_1)\backslash cdot\; (r\_2,s\_2)=(r\_1r\_2,s\_1s\_2).$

Sarnane konstruktsioon on olemas suvalise rõngaste perekonna korrutisega (liitmine ja korrutamine on määratletud komponentide kaupa).

Endomorfismi rõngas

Olgu A Abeli ​​rühm (grupitehte kirjutatakse järgnevas aditiivselt). Siis moodustab selle rühma homomorfismide hulk iseendasse (st endomorfismid) ringi, mida tähistab End( A) . Kahe homomorfismi summa määratakse komponentide kaupa: $(f+g)(x)=f(x)+g(x),$ ja toode on nagu homomorfismide koostis: $(fg)(x)=f(g(x)).$ Kui A on rühm, mis ei ole Abeli, siis $f+g,$üldiselt pole see sama $g+f,$ samas kui rõngas liitmine peab olema kommutatiivne.

Jagatiste väli ja jagatisring

Olgu R integraalrõngas, siis järgnev konstruktsioon võimaldab konstrueerida väikseima seda sisaldava välja. Ringi jagatisväli on formaalsete murdude ekvivalentsusklasside kogum $p/q,\backslash ;\; p,q\backslash in\; R$ järgmise samaväärsuse suhtega:

$(p\_1\; \backslash üle\; q\_1)\backslash sim\; (p\_2\; \backslash üle\; q\_2)$ siis ja ainult siis $(p\_1q\_2)=\; (p\_2q\_1),$

tavaliste toimingutega: $\backslash scriptstyle(a\; \backslash over\; b)+(c\; \backslash over\; d)=(ad+bc\; \backslash over\; bd),\backslash quad\; (a\; \backslash over\; b)\backslash cdot\; (c\; \backslash over\; d)=(ac\; \backslash over\; bd).$

Ei ole täiesti ilmne, et antud seos on tõesti ekvivalentsuhe: selle tõestamiseks tuleb kasutada rõnga terviklikkust. Seda konstruktsiooni on üldistatud suvaliste kommutatiivsete rõngastega. Nimelt olgu S multiplikatiivselt suletud süsteem kommutatiivses ringis R (ehk alamhulk, mis sisaldab ühte ja ei sisalda nulli; sinna kuulub jällegi alamhulga mis tahes kahe elemendi korrutis). Siis jagatisring $S^(-1)R$ on formaalsete murdude ekvivalentsusklasside kogum $r/s,\backslash ;\; r\backslash in\; R,\; s\backslash in\; S$ samaväärsuse suhte järgi:

$(r\_1\; \backslash üle\; s\_1)\backslash sim\; (r\_2\; \backslash üle\; s\_2)$ siis ja ainult siis, kui see on olemas $s"\backslash in\; S$, selline, et $s"(r\_1s\_2-r\_2s\_1)\; =\; 0.$

Seda disaini nimetatakse ka rõnga lokaliseerimine(kuna algebralises geomeetrias võimaldab see uurida sordi kohalikke omadusi selle üksikus punktis). Näide: kümnendmurdude ring on täisarvude ringi lokaliseerimine korrutussüsteemi järgi $S=\backslash (10^n|n\backslash geqslant\; 0\backslash ).$

Seal on loomulik kaardistamine $R\; \backslash to\; S^(-1)R,\; \backslash ,\; r\; \backslash mapstor\; /\; 1.$ Selle tuum koosneb järgmistest elementidest r, mille jaoks on olemas s ∈ S, selline, et $rs\; =\; 0.$ Eelkõige integraalse rõnga puhul on see kaardistamine süstiv.

Kategooriline kirjeldus

Sõrmused koos rõngaste homomorfismidega moodustavad kategooria, mida tavaliselt tähistatakse Sõrmus(mõnikord tähistatakse nii ühikuga sõrmuste kategooriat ja tavaliste rõngaste kategooriat Rng). Identiteediga sõrmuste kategoorial on palju kasulikke omadusi: eelkõige on see terviklik ja terviklik. See tähendab, et selles on olemas kõik väikesed piirangud ja kolimiidid (näiteks tooted, kaasproduktid, tuumad ja kokernelid). Ühega sõrmuste kategoorias on esialgne objekt (sõrmus $\backslash mathbb\; Z$) ja lõppobjekt (null ring).

Rõngale saame anda järgmise kategoorilise definitsiooni: identiteediga assotsiatiivne ring on monoid Abeli ​​rühmade kategoorias (Abeli ​​rühmad moodustavad tensorkorrutise tehte suhtes monoidse kategooria). Helina tegevus R Abeli ​​rühmal (korrutamisel monoidiks peetav ring) muudab Abeli ​​rühma R- moodul Mooduli mõiste üldistab vektorruumi mõistet: jämedalt öeldes on moodul "vektoriruum rõnga kohal".

Sõrmuste eriklassid

Konstruktsioonid rõngaste kohal

Kirjutage ülevaade artiklist "Ring (matemaatika)"

Märkmed

1. , Koos. 17-19.
2. Belsky A., Sadovski L. Kvant nr 2, 1974.
3. Erich Reck// Stanfordi filosoofiaentsüklopeedia / Edward N. Zalta. - 2012-01-01.
4. , Koos. 9.
5. , Koos. 18-19.
6. , Koos. 273-275.
7. , Koos. 51-53.
8. , Koos. üksteist.
9. , Koos. 359.
10. , Koos. 407.
11. , Koos. 110-111.
12. , Koos. 21.
13. , Koos. 437.
14. , Koos. 64.
15. , Koos. 153.
16. , Koos. 430-431.
17. , Koos. 406.
18. , Koos. 10.
19. , Koos. 388.
20. , Koos. 107-108.
21. , Koos. 432.
22. , Koos. 387-390.
23. , Koos. 523.
24. , Koos. 152.
25. , Koos. 430.
26. , Koos. 118.
27. .
28. , Koos. 266.
29. , Koos. 28-34.
30. , Koos. 509-512.
31. , Koos. 33.
32. , Koos. 173.
33. , Koos. 450-452.
34. , Koos. 305-311.

Kirjandus

• M. Atiyah, I. McDonald. Sissejuhatus kommutatiivsesse algebrasse. - M.: Mir, 1972. - 160 lk.
• Belsky A., Sadovski L. Kvant nr 2, 1974.
• Van der Waerden B.L. Algebra. - M.: Mir, 1975. - 623 lk.
• Vinberg E. B. Algebra kursus. - Uus väljaanne, muudetud. ja täiendavad.. - M.: MTsNMO, 2011. - 592 lk.
• Glazer G.I. Matemaatika ajalugu koolis: IX-X klass. Käsiraamat õpetajatele – uus väljaanne, muudetud. ja lisa.. - M.: Haridus, 1983. - 351 lk.
• Kolmogorov A. N., Juškevitš A. P. (toim.). 19. sajandi matemaatika. Matemaatiline loogika. Algebra. Arvuteooria. Tõenäosusteooria. - M.: Nauka, 1978. - 255 lk.
• Kulikov L. Ya. Algebra ja arvuteooria: õpik. käsiraamat pedagoogiliste instituutide jaoks. - M.: Kõrgem. kool, 1979. - 559 lk.
• Kurosh A.G. Kõrgema algebra kursus.. - M.: Nauka, 1968. - 431 lk.
• Nägu K. Algebra. Sõrmused, moodulid, kategooriad.. - M.: Mir, 1977. - T. 1. - 688 lk.
• Nägu K. Algebra. Sõrmused, moodulid, kategooriad.. - M.: Mir, 1979. - T. 2. - 464 lk.
• Herstein I. Mittekommutatiivsed rõngad. - M.: Mir, 1972. - 190 lk.

Sõrmust iseloomustav väljavõte (matemaatika)

X
Pärast isa matuseid lukustas printsess Marya end oma tuppa ega lasknud kedagi sisse. Uksele tuli tüdruk, kes ütles, et Alpatõch tuli lahkumiskäsku küsima. (See oli isegi enne Alpatychi vestlust Droniga.) Printsess Marya tõusis diivanilt, millel ta lamas, ja ütles läbi suletud ukse, et ta ei lähe kunagi kuhugi ja palus end rahule jätta.
Toa aknad, kus printsess Marya lamas, olid lääne poole. Ta lamas diivanil näoga seina poole ja nahkpadja nuppe näppides nägi ainult seda patja ning tema ebamäärased mõtted olid keskendunud ühele asjale: ta mõtles surma pöördumatusest ja tema vaimsest jäledusest, ta ei teadnud siiani ja mis ilmnes isa haiguse ajal. Ta tahtis, kuid ei julgenud palvetada, ei julgenud sellises meeleseisundis, nagu ta oli, pöörduda Jumala poole. Ta lamas selles asendis pikka aega.
Päike loojus teisele poole maja ja viltused õhtukiired läbi avatud akende valgustasid tuba ja osa maroko padjast, mida printsess Marya vaatas. Tema mõttekäik peatus ootamatult. Ta tõusis alateadlikult püsti, ajas juuksed sirgu, tõusis püsti ja läks akna juurde, hingates tahtmatult sisse selge, kuid tuulise õhtu jahedust.
"Jah, nüüd on teil mugav õhtul imetleda! Ta on juba läinud ja keegi ei sega sind, ”ütles ta endale ja vajus toolile, kukkus pea ees aknalauale.
Keegi kutsus teda õrna ja vaikse häälega aia äärest ja suudles teda pähe. Ta vaatas tagasi. See oli M lle Bourienne, mustas kleidis ja pleredes. Ta lähenes vaikselt printsess Maryale, suudles teda ohates ja hakkas kohe nutma. Printsess Marya vaatas talle tagasi. Printsess Marya mäletas kõiki varasemaid kokkupõrkeid temaga, armukadedust tema vastu; Samuti meenus mulle, kuidas ta oli hiljuti m lle Bourienne'i suhtes muutunud, ei näinud teda, ja seetõttu, kui ebaõiglased olid printsess Marya etteheited talle oma hinges. „Ja kas mina, kes tahtsin tema surma, peaksin kedagi hukka mõistma? - ta arvas.
Printsess Marya kujutas elavalt ette m lle Bourienne'i olukorda, kes oli hiljuti oma ühiskonnast eemal olnud, kuid samal ajal temast sõltuv ja elas kellegi teise majas. Ja tal oli temast kahju. Ta vaatas talle alandlikult küsivalt otsa ja ulatas käe. M lle Bourienne hakkas kohe nutma, hakkas talle kätt suudlema ja rääkima leinast, mis printsessi tabas, muutes end selle leina osaliseks. Ta ütles, et ainsaks lohutuseks tema leinas oli see, et printsess lubas tal seda endaga jagada. Ta ütles, et kõik varasemad arusaamatused tuleks enne suurt leina hävitada, et ta tunneb end kõigi ees puhtana ja sealt näeb ta armastust ja tänulikkust. Printsess kuulas teda, mõistmata tema sõnu, kuid vaatas talle aeg-ajalt otsa ja kuulas tema hääle hääli.
"Teie olukord on kahekordselt kohutav, kallis printsess," ütles m lle Bourienne pärast pausi. – Ma saan aru, et sa ei saanud ega saagi enda peale mõelda; aga ma olen kohustatud seda tegema oma armastusega sinu vastu... Kas Alpatych oli sinuga? Kas ta rääkis sinuga lahkumisest? - ta küsis.
Printsess Marya ei vastanud. Ta ei saanud aru, kuhu ja kes pidi minema. “Kas nüüd oli võimalik midagi teha, millestki mõelda? Kas see ei loe? Ta ei vastanud.
„Kas sa tead, chere Marie,” ütles m lle Bourienne, „kas sa tead, et me oleme ohus, et meid ümbritsevad prantslased; Praegu on ohtlik reisida. Kui me läheme, jääme peaaegu kindlasti kinni ja jumal teab...
Printsess Marya vaatas oma sõbrale otsa, mõistmata, mida ta ütles.
"Oh, kui keegi teaks, kui väga ma nüüd ei hooli," ütles ta. - Muidugi, ma ei tahaks teda kunagi maha jätta... Alpatych rääkis mulle midagi lahkumisest... Räägi temaga, ma ei saa midagi teha, ma ei taha midagi...
— Ma rääkisin temaga. Ta loodab, et meil on homme aega lahkuda; aga ma arvan, et nüüd oleks parem siia jääda,” ütles m lle Bourienne. - Sest näete, olge Marie, sõdurite kätte sattumine või teel märatsevate meeste kätte sattumine oleks kohutav. - M lle Bourienne võttis oma võrgust välja Prantsuse kindral Rameau mitte-Venemaa erakorralise paberi kuulutuse, et elanikud ei peaks oma kodust lahkuma, et Prantsuse võimud tagavad neile nõuetekohase kaitse, ja ulatas selle printsessile.
"Ma arvan, et parem on selle kindraliga ühendust võtta," ütles m lle Bourienne, "ja ma olen kindel, et teid austatakse."
Printsess Marya luges lehte ja kuiv nutt raputas ta nägu.
- Kelle kaudu sa selle said? - ta ütles.
"Nad said ilmselt teada, et olen nime poolest prantslane," ütles m lle Bourienne punastades.
Printsess Marya, paber käes, tõusis aknast püsti ja lahkus kahvatu näoga toast ning läks prints Andrei endisesse kabinetti.
"Dunyaša, helistage mulle Alpatõtšile, Dronuškale," ütles printsess Marya, "ja öelge Amalya Karlovnale, et ta minu juurde ei tule," lisas ta, kuuldes m lle Bourienne'i häält. - Kiirusta ja mine! Mine ruttu! - ütles printsess Marya, olles hirmunud mõttest, et ta võib jääda prantslaste võimu alla.
“Et prints Andrei teaks, et ta on prantslaste võimuses! Nii et tema, vürst Nikolai Andreich Bolkonski tütar, palub härra kindral Rameau'l talle kaitset pakkuda ja tema hüvesid nautida! "See mõte hirmutas teda, pani ta värisema, punastama ja tundma viha ja uhkuse rünnakuid, mida ta polnud veel kogenud. Kõik, mis tema positsioonil oli raske ja mis kõige tähtsam, solvav, oli talle elavalt ette kujutatud. „Nemad, prantslased, seavad end sellesse majja elama; Härra kindral Rameau asub prints Andrei ametikohale; Tema kirju ja pabereid on tore sorteerida ja lugeda. M lle Bourienne lui fera les honneurs de Bogucharovo. [Mademoiselle Bourien võtab ta Bogucharovos kiitusega vastu.] Nad annavad mulle halastusest toa; sõdurid hävitavad oma isa värske haua, et eemaldada temalt ristid ja tähed; nad räägivad mulle võitudest venelaste üle, nad teesklevad kaastunnet mu leina vastu... - mõtles printsess Marya mitte oma mõtetega, vaid tundis kohustust mõelda ise oma isa ja venna mõtetega. Tema jaoks isiklikult ei olnud vahet, kus ta viibis ja mis temaga juhtus; kuid samas tundis ta end oma varalahkunud isa ja prints Andrei esindajana. Ta mõtles tahtmatult nende mõtetega ja tundis neid nende tunnetega. Mida iganes nad ka ei ütleks, mida iganes nad praegu teeksid, just seda tundis ta vajalikuks teha. Ta läks prints Andrei kabinetti ja mõtiskles oma olukorra üle, püüdes tema mõtetesse tungida.
Elunõuded, mida ta pidas isa surmaga hävinenuks, kerkisid printsess Marya ees ootamatult uue, seni tundmatu jõuga ja valdasid teda. Põnevil, punase näoga kõndis ta mööda tuba ringi, nõudes kõigepealt Alpatõtšit, siis Mihhail Ivanovitšit, siis Tihhonit ja siis Dronit. Dunyasha, lapsehoidja ja kõik tüdrukud ei osanud midagi öelda selle kohta, kuivõrd oli M lle Bourienne'i kuulutus õiglane. Alpatychit polnud kodus: ta oli läinud ülemuste juurde. Uniste silmadega printsess Marya juurde tulnud arhitekt Mihhail Ivanovitš ei osanud talle midagi öelda. Täpselt sama nõustuva naeratusega, millega ta oli viisteist aastat harjunud vana printsi üleskutstele vastama oma arvamust avaldamata, vastas ta printsess Marya küsimustele, nii et tema vastustest ei saanud midagi kindlat järeldada. Sisse kutsutud vana toapoiss Tikhon, vajunud ja räsitud näoga, millel oli ravimatu leina jälg, vastas kõigile printsess Marya küsimustele "Kuulan kaasa" ja suutis vaevu tagasi hoida, et teda nutmas käia.
Lõpuks astus vanem Dron tuppa ja printsessi ees madalalt kummardades peatus silluse juures.
Printsess Marya kõndis toas ringi ja peatus tema vastas.
"Dronushka," ütles printsess Marya, kes nägi temas kahtlemata sõpra, sedasama Dronuškat, kes oma iga-aastaselt Vyazma messireisilt talle iga kord oma erilisi piparkooke tõi ja naeratades serveeris. "Dronushka, nüüd, pärast meie ebaõnne," alustas ta ja vaikis, suutmata enam rääkida.
"Me kõik käime Jumala all," ütles ta ohates. Nad vaikisid.
- Dronushka, Alpatych on kuhugi läinud, mul pole kellegi poole pöörduda. Kas on tõsi, et nad ütlevad mulle, et ma ei saa lahkuda?
"Miks te ei lähe, teie Ekstsellents, võite minna," ütles Dron.
"Nad ütlesid mulle, et see on vaenlase poolt ohtlik." Kallis, ma ei saa midagi teha, ma ei saa millestki aru, minuga pole kedagi. Kindlasti tahan minna õhtul või homme varahommikul. – Droon vaikis. Ta heitis kulmude alt pilgu printsess Maryale.
"Hobuseid pole," ütles ta, "ma ütlesin ka Yakov Alpatychile."
- Miks mitte? - ütles printsess.
"See kõik on tingitud Jumala karistusest," ütles Dron. "Millised hobused seal vägede kasutamiseks lahti võeti ja millised surid, mis aasta täna on." See pole nagu hobuste toitmine, vaid selle tagamine, et me ise nälga ei sureks! Ja istuvad nii kolm päeva söömata. Pole midagi, need on täiesti rikutud.
Printsess Marya kuulas tähelepanelikult, mida ta talle rääkis.
- Kas mehed on rikutud? Kas neil pole leiba? - ta küsis.
"Nad surevad nälga," ütles Dron, "mitte nagu kärud..."
- Miks sa mulle ei öelnud, Dronushka? Kas sa ei saa aidata? Ma teen kõik, mis suudan... - Printsess Marya jaoks oli kummaline mõelda, et nüüd, sellisel hetkel, kui selline lein täitis ta hinge, võib olla rikkaid ja vaeseid ning et rikkad ei saa vaeseid aidata. Ta teadis ja kuulis ähmaselt, et seal on isandaleib ja seda antakse talupoegadele. Ta teadis ka, et tema vend ega isa ei keeldu talupoegade vajadustest; ta kartis ainult seda, et ta võib oma sõnades selle talupoegadele leiva jagamise kohta kuidagi eksida, millest ta tahtis vabaneda. Tal oli hea meel, et talle esitati ettekääne muretsemiseks, mille pärast ta ei häbenenud oma leina unustada. Ta hakkas Dronuškalt küsima üksikasju meeste vajaduste ja selle kohta, mis Bogucharovos valitseb.
– Lõppude lõpuks on meil peremehe leib, vend? - ta küsis.
"Meistri leib on terve," ütles Dron uhkelt, "meie prints ei käskinud seda müüa."
"Andke ta talupoegadele, andke talle kõik, mida nad vajavad: ma annan teile oma venna nimel loa," ütles printsess Marya.
Droon ei öelnud midagi ja hingas sügavalt.
"Andke neile seda leiba, kui sellest neile piisab." Andke kõik ära. Ma käsin teid oma venna nimel ja ütlen neile: mis on meie, on ka nende oma. Me ei säästa nende jaoks midagi. Ütle mulle.
Droon vaatas rääkimise ajal printsessi tähelepanelikult otsa.
"Laske mind lahti, ema, jumala pärast, öelge, et võtaksin võtmed vastu," ütles ta. “Ma teenisin kakskümmend kolm aastat, ma ei teinud midagi halba; jäta mind rahule, jumala eest.
Printsess Marya ei saanud aru, mida ta temalt tahtis ja miks ta palus end vallandada. Ta vastas talle, et ta ei kahtle kunagi tema pühendumises ja et on valmis tegema kõik tema ja meeste heaks.

Tund pärast seda tuli Dunyasha printsessi juurde uudisega, et Dron on saabunud ja kõik mehed kogunesid printsessi käsul lauta, soovides armukesega rääkida.
"Jah, ma ei helistanud neile kunagi," ütles printsess Marya, "ma ainult käskisin Dronushkal neile leiba anda."
"Ainult jumala pärast, printsess-ema, käske nad minema ja ärge minge nende juurde." See kõik on lihtsalt vale," ütles Dunyasha, "ja Yakov Alpatych tuleb ja me läheme... ja kui te palun...
- Missugune pettus? – küsis printsess üllatunult
- Jah, ma tean, lihtsalt kuulake mind, jumala pärast. Küsi lihtsalt lapsehoidjalt. Nad ütlevad, et ei nõustu teie käsul lahkuma.
- Sa räägid midagi valesti. Jah, ma ei käskinud kunagi lahkuda... - ütles printsess Marya. - Helista Dronushkale.
Saabunud dron kinnitas Dunyasha sõnu: mehed tulid printsessi käsul.
"Jah, ma pole neile kunagi helistanud," ütles printsess. "Tõenäoliselt ei edastanud te seda neile õigesti." Ma lihtsalt ütlesin, et anna neile leiba.
Droon ohkas vastamata.
"Kui tellite, lahkuvad nad," ütles ta.
"Ei, ei, ma lähen nende juurde," ütles printsess Marya
Vaatamata Dunyasha ja lapsehoidja heidutamisele läks printsess Marya verandale. Dron, Dunyasha, lapsehoidja ja Mihhail Ivanovitš järgnesid talle. "Tõenäoliselt arvavad nad, et pakun neile leiba, et nad oma kohtadele jääksid, ja ma lahkun ise, jättes nad prantslaste meelevalda," arvas printsess Marya. – Ma luban neile kuu aega Moskva lähedal asuvas korteris; Olen kindel, et Andre oleks minu asemel teinud veelgi rohkem,” mõtles ta õhtuhämaruses aida lähedal karjamaal seisvale rahvahulgale lähenedes.
Rahvast täis rahvas hakkas segama ja mütsid tulid kiiresti peast. Printsess Marya, silmad maas ja jalad kleidis sassis, tuli neile lähedale. Temale oli nii palju erinevaid vanu ja noori silmi ja nii palju erinevaid nägusid, et printsess Marya ei näinud ainsatki nägu ja tundes vajadust järsku kõigiga rääkida, ei teadnud, mida teha. Kuid taas andis jõudu teadvus, et ta on oma isa ja venna esindaja, ning ta alustas julgelt oma kõnet.
"Mul on väga hea meel, et tulite," alustas printsess Marya silmi tõstmata ja tundmata, kui kiiresti ja tugevalt ta süda peksab. "Dronushka ütles mulle, et sõda hävitas teid." See on meie ühine lein ja ma ei säästa midagi, et teid aidata. Ma lähen ise, sest siin on juba ohtlik ja vaenlane on lähedal... sest... ma annan teile kõik, mu sõbrad, ja palun teil võtta kõik, kogu meie leib, et teil ei oleks igasugune vajadus. Ja kui nad ütlesid sulle, et ma annan sulle leiba, et sa siia jääksid, siis see pole tõsi. Vastupidi, ma palun teil lahkuda kogu oma varaga meie Moskva piirkonda ja seal ma võtan selle enda peale ja luban teile, et te ei vaja abi. Nad annavad sulle maju ja leiba. - Printsess peatus. Rahva hulgast oli kuulda vaid ohkeid.
"Ma ei tee seda üksinda," jätkas printsess, "teen seda oma varalahkunud isa nimel, kes oli teile hea peremees, aga ka oma venna ja tema poja nimel."
Ta peatus uuesti. Keegi ei katkestanud tema vaikust.
-Meie lein on ühine ja me jagame kõik pooleks. "Kõik, mis on minu oma, on sinu," ütles ta ja vaatas enda ees seisvaid nägusid.
Kõik silmad vaatasid teda sama ilmega, mille tähendusest ta aru ei saanud. Oli see uudishimu, pühendumus, tänulikkus või hirm ja umbusaldus, väljendus kõigil nägudel oli sama.
"Paljud on teie halastusest rahul, aga me ei pea isanda leiba võtma," kostis hääl selja tagant.
- Miks mitte? - ütles printsess.
Keegi ei vastanud ja printsess Marya märkas rahvahulgas ringi vaadates, et nüüd langesid kõik silmad, mida ta kohtas.
- Miks sa ei taha? — küsis ta uuesti.
Keegi ei vastanud.
Printsess Marya tundis end sellest vaikusest raskelt; ta püüdis kellegi pilku püüda.
- Miks sa ei räägi? - pöördus printsess vanamehe poole, kes pulgale toetudes tema ees seisis. - Öelge mulle, kui arvate, et on veel midagi vaja. "Ma teen kõik," ütles naine mehe pilku püüdes. Kuid ta, nagu oleks selle peale vihane, langetas pea täielikult ja ütles:
- Miks nõustuda, me ei vaja leiba.
- Kas me peaksime sellest kõigest loobuma? Ei nõustu. Me ei nõustu... Me ei nõustu. Meil on teist kahju, kuid me ei nõustu. Mine omapäi, üksi...” kõlas rahvamassis eri suundadest. Ja jälle ilmus seesama ilme kõigile selle rahvahulga nägudele ja nüüd polnud see ilmselt enam uudishimu ja tänu, vaid kibestunud otsustavuse väljendus.
"Sa ei saanud aru, eks," ütles printsess Marya kurva naeratusega. - Miks sa ei taha minna? Ma luban sind majutada ja toita. Ja siin rikub vaenlane teid ...
Kuid tema hääle summutasid rahvahulgad.
"Meil pole nõusolekut, las ta rikub selle ära!" Me ei võta teie leiba, meil pole nõusolekut!
Printsess Marya püüdis taas rahva hulgast kellegi pilku püüda, kuid temale ei suunatud ainsatki pilku; silmad vältisid teda ilmselgelt. Ta tundis end imelikult ja kohmetuna.
- Näete, ta õpetas mind nutikalt, järgige teda kindlusesse! Hävitage oma kodu ja minge orjusesse ja minge. Miks! Ma annan sulle leiba, öeldakse! – kostis rahva hulgast hääli.
Pea langetanud printsess Marya lahkus ringist ja läks majja. Korranud Dronale käsku, et homme oleks väljasõiduks hobused, läks ta oma tuppa ja jäi oma mõtetega üksi.

Printsess Marya istus tol õhtul pikka aega oma toa avatud aknal ja kuulas külast kostvaid meeste hääli, kuid ta ei mõelnud neile. Ta tundis, et ükskõik kui palju ta neile mõtles, ei saa ta neist aru. Ta mõtles pidevalt ühele asjale – oma leinale, mis nüüd, pärast oleviku pärast muretsemisest tingitud pausi, oli tema jaoks juba minevik. Ta mäletas nüüd, võis nutta ja palvetada. Päikese loojudes tuul vaibus. Öö oli vaikne ja värske. Kell kaksteist hakkasid hääled vaibuma, kukk laulis, pärnade tagant hakkas paistma täiskuu, tõusis värske valge kasteudu ning küla ja maja kohal valitses vaikus.
Üksteise järel ilmusid talle pildid lähiminevikust - haigusest ja isa viimastest minutitest. Ja kurva rõõmuga peatus ta nüüd nendel piltidel, ajades enda juurest õudusega eemale vaid viimase pildi tema surmast, mida ta tundis, et ta ei suutnud sel vaiksel ja salapärasel öötunnil isegi oma kujutluses mõtiskleda. Ja need pildid ilmusid talle nii selgelt ja nii detailselt, et need tundusid talle praegu nagu reaalsus, nüüd minevik, nüüd tulevik.
Siis kujutas ta elavalt ette seda hetke, mil teda tabas insult ja ta kiilasmägede aiast käte vahelt välja tiriti ning ta pomises midagi jõuetu keelega, tõmbles oma halle kulme ning vaatas teda rahutult ja arglikult.
"Isegi siis tahtis ta mulle rääkida, mida ta mulle oma surmapäeval rääkis," arvas naine. "Ta mõtles alati seda, mida mulle ütles." Ja nii meenus talle kõigis üksikasjades see öö Kiilasmägedes temaga juhtunud löögi eelõhtul, kui printsess Marya, tundes probleeme, jäi tema tahte vastaselt tema juurde. Ta ei maganud ja öösel kikitas alla korrusele ning läks üles lillepoe ukse juurde, kus isa sel ööl ööbis, ning kuulas tema häält. Ta ütles midagi Tihhonile kurnatud ja väsinud häälega. Ilmselgelt tahtis ta rääkida. „Ja miks ta mulle ei helistanud? Miks ta ei lubanud mul siin Tihhoni asemel olla? - mõtles printsess Marya siis ja praegu. "Ta ei räägi kunagi kellelegi kõike, mis tal hingel oli." See hetk ei naase tema ja minu jaoks kunagi, kui ta ütleks kõik, mida ta öelda tahtis, ja mina, mitte Tikhon, kuulaks ja mõistaks teda. Miks ma siis tuppa ei sisenenud? - ta arvas. "Võib-olla oleks ta mulle siis öelnud, mida ta oma surmapäeval ütles." Isegi siis, vesteldes Tikhoniga, küsis ta minu kohta kaks korda. Ta tahtis mind näha, aga ma seisin siin, ukse taga. Ta oli kurb, Tihhoniga oli raske rääkida, kes teda ei mõistnud. Mäletan, kuidas ta rääkis talle Lisast, nagu oleks ta elus - ta unustas, et ta suri, ja Tikhon tuletas talle meelde, et teda pole enam seal, ja ta karjus: "Loll." See oli talle raske. Ukse tagant kuulsin, kuidas ta oigates voodile pikali heitis ja valjult hüüdis: "Issand, miks ma siis üles ei tõusnud?" Mida ta minuga teeks? Mida ma kaotama peaksin? Ja võib-olla oleks ta siis lohutanud, oleks mulle selle sõna öelnud. Ja printsess Marya ütles valjusti lahke sõna, mis ta talle surmapäeval ütles. “Kallis! – Printsess Marya kordas seda sõna ja hakkas hinge kergendavate pisaratega nutma. Ta nägi nüüd tema nägu enda ees. Ja mitte nägu, mida ta teadis sellest ajast, kui ta mäletas, ja mida ta oli alati kaugelt näinud; ja see nägu - arglik ja nõrk, mida viimasel päeval, kummardus tema suu juurde, et kuulda, mida ta ütles, uuris ta esimest korda lähedalt kõigi selle kortsude ja detailidega.
"Kallis," kordas ta.
„Mida ta mõtles, kui ta seda sõna ütles? Mida ta praegu mõtleb? - järsku tuli talle küsimus ja vastuseks sellele nägi ta teda enda ees samasuguse näoilmega, mis tal oli kirstus valge salliga seotud näos. Ja õudus, mis teda haaras, kui ta teda puudutas ja veendus, et see polnud mitte ainult tema, vaid midagi salapärast ja eemaletõukavat, haaras teda nüüd. Ta tahtis mõelda muudele asjadele, tahtis palvetada, kuid ei saanud midagi teha. Ta vaatas suurte avatud silmadega kuuvalgust ja varje, iga sekund lootis ta näha tema surnud nägu ja tundis, et vaikus, mis valitses maja kohal ja majas, köidib teda.
- Dunyasha! – sosistas ta. - Dunyasha! – karjus ta metsiku häälega ja vaikusest välja murdes jooksis tüdrukute tuppa lapsehoidja poole ja tüdrukud jooksid tema poole.

17. augustil läksid Rostov ja Iljin koos äsja vangistusest naasnud Lavrushka ja juhtiva husaariga oma Jankovo ​​laagrist viieteistkümne versta kaugusel Bogucharovost ratsutama – proovima uut Iljini ostetud hobust ja uurige, kas külades oli heina.
Bogucharovo asus viimased kolm päeva kahe vaenlase armee vahel, nii et Vene tagalaväelased võinuks sinna siseneda sama lihtsalt kui Prantsuse avangard ja seetõttu tahtis Rostov hooliva eskadrilliülemana ära kasutada allesjäänud sätteid. Bogucharovos enne prantslasi.
Rostov ja Iljin olid kõige rõõmsamas tujus. Teel Bogucharovosse, mõisaga vürsti mõisasse, kust loodeti leida suuri teenijaid ja ilusaid tüdrukuid, küsisid nad Lavrushkalt Napoleoni kohta ja naersid tema juttude üle või sõitsid ringi, proovides Iljini hobust.
Rostov ei teadnud ega arvanud, et see küla, kuhu ta reisis, on selle sama Bolkonski pärand, kes oli tema õe kihlatu.
Rostov ja Iljin lasid hobused viimast korda välja, et hobused Bogutšarovi ette lohisesse ajada, ning Iljinist mööda sõitnud Rostov kihutas esimesena Bogutšarovi küla tänavale.
"Sa võtsid juhtrolli," ütles punetav Iljin.
"Jah, heinamaal on kõik edasi, edasi ja siin," vastas Rostov ja silitas käega oma tõusvat põhja.
"Ja prantsuse keeles, teie Ekstsellents," ütles Lavrushka selja tagant, kutsudes oma kelku prantslaseks, "oleksin küll mööda sõitnud, aga ma lihtsalt ei tahtnud teda häbistada."
Nad kõndisid küüni juurde, mille lähedal seisis suur hulk mehi.

Definitsioon 2.5. Sõrmus helistas algebra

R = (R, +, ⋅, 0 , 1 ),

mille allkiri koosneb kahest kahend- ja kahest nulltehtest ning mis tahes a, b, c ∈ R korral kehtivad järgmised võrdsused:

1. a+(b+c) = (a+b)+c;
2. a+b = b+a;
3. a + 0 = a;
4. iga a ∈ R jaoks on element a" nii, et a+a" = 0
5. a-(b-c) = (a-b)-c;
6. a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a;
7. a⋅(b + c) = a⋅b + a⋅c, (b + c) ⋅ a = b⋅ a + c⋅a.

Tehe + kutsutakse sõrmuse lisamine , operatsioon rõnga korrutamine , element 0 - rõnga null , element 1 - rõngasüksus .

Nimetatakse definitsioonis määratud võrrandeid 1-7 rõnga aksioomid . Vaatleme neid võrdusi mõiste vaatenurgast rühmad Ja monoidne.

Ringi aksioomid 1-4 tähendavad, et algebra (R, +, 0 ), mille signatuur koosneb ainult rõnga + ja rõnga nulli liitmise operatsioonidest 0 , on abeli rühm. Seda rühma nimetatakse rõnga R lisarühm ja nad ütlevad ka, et liitmise järgi on rõngas kommutatiivne (Abeli) rühm.

Ringi aksioomid 5 ja 6 näitavad, et algebra (R, ⋅, 1), mille signatuur sisaldab ainult rõnga ⋅ korrutamist ja rõnga 1 identiteeti, on monoid. Seda monoidi nimetatakse ringi R multiplikatiivne monoid ja nad ütlevad, et korrutamise teel on ring monoid.

Seos ringi liitmise ja rõnga korrutamise vahel luuakse aksioomiga 7, mille kohaselt on korrutustehte liitmistehte suhtes distributiivne.

Eeltoodut arvesse võttes märgime, et rõngas on algebra, millel on kaks kahend- ja kaks nulltehtet R =(R, +, ⋅, 0 , 1 ), selline, et:

1. algebra (R, +, 0 ) - kommutatiivne rühm;
2. algebra (R, ⋅, 1 ) - monoid;
3. tehe ⋅ (rõnga korrutamine) on distributiivne tehte + (rõnga liitmine) suhtes.

Märkus 2.2. Kirjanduses on korrutamisega seotud ringiaksioomide erinev koostis. Seega võib aksioom 6 puududa (ei ole 1 ) ja aksioom 5 (korrutamine ei ole assotsiatiivne). Sel juhul eristatakse assotsiatiivseid rõngaid (rõnga aksioomidele lisandub assotsiatiivse korrutamise nõue) ja ühtsusega rõngaid. Viimasel juhul lisanduvad korrutamise assotsiatiivsuse ja ühiku olemasolu nõuded.

Definitsioon 2.6. Sõrmust kutsutakse kommutatiivne , kui selle korrutustehe on kommutatiivne.

Näide 2.12. A. Algebra (ℤ, +, ⋅, 0, 1) on kommutatiivne ring. Pange tähele, et algebra (ℕ 0, +, ⋅, 0, 1) ei ole rõngas, kuna (ℕ 0, +) on kommutatiivne monoid, kuid mitte rühm.

b. Vaatleme algebrat ℤ k = ((0,1,..., k - 1), ⊕ k , ⨀ k , 0,1) (k>1) tehtega ⊕ k liitmismooduli l ja ⨀ k (korrutamine) moodul l). Viimane on sarnane liitmismooduli l tehtega: m ⨀ k n võrdub arvu m ⋅ n-ga jagamise jäägiga. See algebra on kommutatiivne ring, mida nimetatakse jääkide ring modulo k.

V. Algebra (2 A, Δ, ∩, ∅, A) on kommutatiivne ring, mis tuleneb hulkade lõike ja sümmeetrilise erinevuse omadustest.

G. Mittekommutatiivse rõnga näide annab kõigi fikseeritud järku ruutmaatriksite komplekti maatriksi liitmise ja korrutamise operatsioonidega. Selle rõnga ühik on identiteedimaatriks ja null on nullmaatriks.

d. Lase L- lineaarne ruum. Vaatleme kõigi selles ruumis toimivate lineaarsete operaatorite hulka.

Tuletagem seda meelde summa kaks lineaarsed operaatorid A Ja IN kutsutakse operaatoriks A + B, selline, et ( A + IN) X = Oh +sisse, X∈ L.

Lineaaroperaatorite toode A Ja IN nimetatakse lineaar-lineaarseks operaatoriks AB, selline, et ( AB)X = A(sisse) kellelegi X ∈ L.

Kasutades näidatud tehte omadusi lineaaroperaatoritel, saame näidata, et kõigi ruumis tegutsevate lineaaroperaatorite hulk L, koos operaatorite liitmise ja korrutamise operatsioonidega moodustab rõnga. Selle rõnga null on null operaator, ja ühiku järgi - identiteedi operaator.

Seda sõrmust nimetatakse lineaarsete operaatorite ring lineaarruumis L. #

Ringi aksioome nimetatakse ka sõrmuse põhiidentiteedid . Ringi identiteet on võrdsus, mille kehtivus säilib, kui selles esinevad muutujad asendatakse rõnga mis tahes elemendiga. Põhiidentiteedid on postuleeritud ja nendest saab siis järeldada teisi identiteete. Vaatame mõnda neist.

Tuletame meelde, et rõnga aditiivne rühm on kommutatiivne ja tehe on selles defineeritud lahutamine.

Teoreem 2.8. Mis tahes ringis kehtivad järgmised identiteedid:

1. 0 ⋅ a = a ⋅ 0 = 0 ;
2. (-a) ⋅ b = -(a ⋅ b) = a ⋅ (-b);
3. (a-b) ⋅ c = a ⋅ c - b ⋅ c, c ⋅ (a-b) = c ⋅ a - c ⋅ b.

◀Tõestame isikut 0 ⋅ a = 0 . Kirjutame suvalise a jaoks:

a+ 0 ⋅ a = 1 ⋅ a + 0 ⋅ a = ( 1 +0 ) ⋅ a = 1 ⋅ a = a

Niisiis, + 0 ⋅ a = a. Viimast võrdsust võib vaadelda kui võrrandit ringi aditiivses rühmas tundmatu elemendi suhtes 0 ⋅ a. Kuna aditiivses rühmas on igal võrrandil kujul a + x = b kordumatu lahend x = b - a, siis 0 ⋅ a = a - a = 0 . Identiteet a⋅ 0 = 0 on tõestatud sarnasel viisil.

Tõestame nüüd samasust - (a ⋅ b) = a ⋅ (-b). Meil on

a ⋅ (-b)+a ⋅ b = a ⋅ ((-b) + b) = a ⋅ 0 = 0 ,

kust a ⋅ (-b) = -(a ⋅ b). Samamoodi saab tõestada, et (-a) ⋅ b = -(a ⋅ b).

Tõestame kolmandat identiteetide paari. Vaatleme neist esimest. Võttes arvesse ülaltoodut, on meil

a ⋅ (b - c) = a ⋅ (b+(-c)) = a ⋅ b + a ⋅ (-c) =a ⋅ b - a ⋅ c,

need. identiteet on tõsi. Selle paari teine ​​identiteet on tõestatud sarnasel viisil.

Järeldus 2.1. Igas ringis identiteet ( -1 ) ⋅ x = x ⋅ ( -1 ) = -x.

◀ Näidatud järeldus tuleneb teoreemi 2.8 teisest identiteedist a = korral 1 ja b = x.

Lauses 2.8 tõestatud kaks esimest identiteeti väljendavad omadust nimega nulli tühistav omadus ringis. Selle teoreemi kolmas identiteedipaar väljendab rõnga korrutamise operatsiooni distributiivset omadust lahutamise operatsiooni suhtes. Seega saab suvalises ringis arvutusi sooritades avada sulud ja muuta märke samamoodi nagu reaalarvude liitmisel, lahutamisel ja korrutamisel.

Rõnga nullist erinevad elemendid a ja b R helistas jagajad null , kui a ⋅ b = 0 või b ⋅ a = 0 . Nulljagajaga rõnga näide annab suvalise modulo jäägirõngas k kui k on liitarv. Sel juhul on mis tahes tüüpi korrutismoodul k, mis annab tavalise korrutamise käigus k kordse, võrdne nulliga. Näiteks jääkringi moodulis 6 on elemendid 2 ja 3 nulljagajad, kuna 2 ⨀ 6 3 = 0. Veel üks näide on fikseeritud järku (vähemalt kaks) ruutmaatriksite ring. Näiteks teist järku maatriksite jaoks on meil olemas

Kui a ja b on nullist erinevad, on antud maatriksid nulljagajad.

Korrutamise teel on ring ainult monoid. Esitame küsimuse: millistel juhtudel on korrutusrõngas rühm? 0 ≠ 1 Kõigepealt pange tähele, et rõnga kõigi elementide komplekt, milles 0" , ei saa moodustada korrutusrühmi, kuna nullil ei saa olla pöördväärtust. Tõepoolest, kui eeldame, et selline element 0 ⋅ 0" = 0" ⋅ 0 = 1 siis on ühelt poolt 0 ⋅ 0" = 0" ⋅ 0 = 0 , ja teiselt poolt - 0 ≠ 1 , millest 0 = 1. See on tingimusega vastuolus

. Seega saab eelpool püstitatud küsimust täpsustada järgmiselt: millistel juhtudel moodustab tsükli kõigi nullist erinevate elementide hulk korrutatava rühma?

Kui rõngas on nulljagajatega, siis ei moodusta rõnga kõigi nullist mittevastavate elementide alamhulk korrutamisrühma, kasvõi juba sellepärast, et see alamhulk pole korrutustehte all suletud, s.t. On nullist erinevaid elemente, mille korrutis on võrdne nulliga. Nimetatakse rõngast, milles kõigi nullist erineva elementide hulk korrutamise teel moodustab rühma keha valdkonnas , kommutatiivne keha - multiplikatiivne rühm , ja keha (välja) nullist erinevate elementide rühm korrutamise teel - see (keha väljad ). Definitsiooni järgi on väli rõnga erijuhtum, milles tehtetel on lisaomadusi. Paneme kirja kõik omadused, mis on vajalikud välioperatsioonideks. Neid nimetatakse ka .

Väljaks on algebra F = (F, +, ⋅, 0, 1), mille signatuur koosneb kahest kahend- ja kahest nulltehtest ning identiteedid on kehtivad:

1. a+(b+c) = (a+b)+c;
2. a+b = b+a;
3. a+0 = a;
4. iga a ∈ F jaoks on element -a, mille puhul a+ (-a) = 0;
5. a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c;
6. a ⋅ b = b ⋅ a
7. a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a
8. iga a ∈ F jaoks, mis erineb 0-st, on element a -1, nii et a ⋅ a -1 = 1;
9. a ⋅ (b+c) = a ⋅ b + a ⋅ c.

Näide 2.13. A. Algebra (ℚ, +, ⋅, 0, 1) on väli nimega ratsionaalarvude väli .

b. Algebrad (ℝ, +, ⋅, 0, 1) ja (ℂ, +, ⋅, 0, 1) on väljad, mida nimetatakse reaal- ja kompleksarvude väljad vastavalt.

V. Näiteks kehast, mis ei ole väli, on algebra kvaternoonid . #

Seega näeme, et väljaaksioomid vastavad teadaolevatele arvude liitmise ja korrutamise seadustele. Arvarvutuste tegemisel “töötame väljadel”, nimelt tegeleme eelkõige ratsionaal- ja reaalarvude väljadega, vahel “liigume” kompleksarvude valdkonda.