Vahelduvate seeriate määratlus. Vahelduvad read

Definitsioon 1. Numbriseeria,
kuhu kutsutakse läheduses vahelduv märk.

Selliste ridade konvergentsi tuvastamiseks piisab

konvergentsi test, mida nimetatakse Leibnizi testiks.

1. teoreem (Leibnizi test). Las numbriseeria vastab järgmistele tingimustele:
1), st. see seeria on vahelduv;
2) selle rea liikmed vähenevad monotoonselt absoluutväärtuses: s.o. ;
3) seeria üldnimetus kipub 0-ni, s.o. .
Siis seeria läheneb ja selle summa on .

Tõestus. 1) Esmalt kaaluge paarisjärjestuse osasummat ja kirjutage see kujul: . Teoreemi 1 tingimuse 2) kohaselt on kõik sulgudes olevad avaldised positiivsed, siis summa ja jada suurenevad monotoonselt: .

Nüüd kirjutame selle summa teisiti: .
Viimases avaldises on kõik sulgudes olevad avaldised positiivsed, seega , mis tähendab, et jada on piiratud ja kuna see suureneb monotoonselt, siis see koondub. Teisisõnu on olemas , ja .

2) Vaatleme paaritu järjekorra osalist summat, mis on positiivne. Võib näidata, et jada suureneb monotoonselt, kuna jada ja . Kirjutame avaldise for kujul: , kuna kõik sulgudes olevad avaldised on positiivsed, siis . Lause 1 tingimuse 3) järgi siis , kust .

Niisiis, kõigi ees n(paaris või paaritu), seetõttu koondub esialgne seeria. Teoreem on tõestatud.

Märkus 1. Leibnizi testi saab rakendada ka seeriatele, mille puhul on teoreemi tingimused täidetud mõnest arvust N.
Märkus 2. 1. teoreemi (Leibnizi test) tingimus 2, mis käsitleb seeria tingimuste monotoonsust, on oluline.

Näide 1. Uurige seeriat lähenemise suhtes.

Lahendus. Tähistame . Sellele seeriale rakendame Leibnizi testi. Kontrollime teoreemi 1 tingimuste täitmist: tingimus 1) jada on vahelduv; tingimus 2) on täidetud: ; tingimus 3) on samuti täidetud: . Järelikult see seeria Leibnizi kriteeriumi järgi läheneb ja selle summa on .

Vastus: seeria läheneb.

3.2. Vahelduvad seeriad. Absoluutne ja tingimuslik lähenemine.
Piisav märk vahelduvate seeriate konvergentsist

Kutsutakse arvurida, mille liikmetel on suvalised märgid (+), (−). vahelduvad seeriad. Eespool käsitletud vahelduvad seeriad on vahelduvate seeriate erijuhtum; On selge, et iga vahelduv seeria ei ole vahelduv. Näiteks seeria on vahelduv, kuid mitte vahelduv seeria.

Pange tähele, et vahelduvas jadas on lõpmatult palju termineid nii märgiga (+) kui ka märgiga (−). Kui see ei vasta tõele, näiteks seeria sisaldab lõplikku arvu negatiivseid liikmeid, siis võib need kõrvale jätta ja vaadelda ainult positiivsetest terminitest koosnevat seeriat ja vastupidi.

Definitsioon 1. Kui arvurida läheneb ja selle summa on võrdne S,
ja osasumma on S n, siis seda nimetatakse ülejäänud seeria, ja , s.t. konvergentse rea ülejäänud osa kipub olema 0.

Vaatleme konvergentset vahelduvat jada kui vahelduva jada erijuhtu

Kus. Kirjutame selle vormis, siis Leibnizi kriteeriumi järgi; sellest ajast, st. konvergentse rea ülejäänud osa kipub olema 0.

Vahelduvate seeriate jaoks absoluutse ja tingimusliku mõisted

lähenemine.

2. definitsioon. Sari on nn absoluutselt konvergentne, kui selle liikmete absoluutväärtustest koosnev jada läheneb.

3. määratlus. Kui arvuseeria läheneb ja selle liikmete absoluutväärtustest koosnev jada lahkneb, siis nimetatakse algset seeriat. tinglikult (mitte absoluutselt) koonduv.

Teoreem 2 (piisav kriteerium vahelduvate ridade konvergentsi jaoks). Vahelduv jada läheneb ja absoluutselt, kui selle liikmete absoluutväärtustest koosnev jada läheneb.

Tõestus. Tähistame rea : osasummaga ja − rea : osasummaga. Tähistagem kõigi positiivsete tingimuste summa ja kõigi negatiivsete tingimuste absoluutväärtuste summaga. On ilmne, et.

Teoreemi tingimuste kohaselt jada koondub, siis on olemas , ja kuna jada on monotoonselt kasvav ja mittenegatiivne, siis . On ilmne, et , Siis jadad ja on monotoonselt suurenevad ja piiratud ning nende piirid on võrdsed ja . Siis . See tähendab, et algne vahelduv seeria koondub ja koondub absoluutselt. Teoreem on tõestatud.

Kommenteeri. Teoreem 2 annab vaid piisava tingimuse vahelduvate ridade koondumiseks. Pöördteoreem ei vasta tõele, s.t. kui vahelduv jada koondub, siis ei pea moodulitest koosnev jada koonduma (võib olla kas koonduv või lahknev). Näiteks seeria koondub Leibnizi kriteeriumi järgi (vt selle loengu näidet 1), kuid selle liikmete absoluutväärtustest koosnev jada (harmoonilised jada) lahkneb.

Näide 2. Uurige seeriat tingimusliku ja absoluutse konvergentsi suhtes.

Lahendus. See seeria on vahelduv, mille ühist terminit tähistatakse järgmiselt: . Teeme absoluutväärtuste jada ja rakendame sellele d'Alemberti testi. Loome piirangu, kus , . Pärast teisenduste läbiviimist saame . Seega seeria koondub, mis tähendab, et algne vahelduv seeria läheneb absoluutselt.
Vastus: seeria on täiesti konvergentne.

Näide 3. Uurige seeriat absoluutse ja tingimusliku lähenemise suhtes.

Lahendus. A) Uurime seeriat absoluutse konvergentsi jaoks. Määrakem ja koostagem absoluutväärtuste jada. Saame positiivsete liikmetega jada, millele rakendame seeriate võrdlemise piirtesti (teoreem 2, loeng 2, punkt 2.2). Sarjaga võrdlemiseks kaaluge seeriat, mille vorm on . See seeria on Dirichlet' seeria astendajaga, st. ta lahkneb. Koostame ja arvutame järgmise piiri. Kuna piirang on olemas ja ei ole võrdne 0-ga ega võrdne ∞-ga, siis käituvad mõlemad seeriad ühtemoodi. Seega seeriad lahknevad, mis tähendab, et algseeria ei ole absoluutselt konvergentne.

B) Järgmisena uurime esialgset seeriat tingimusliku konvergentsi jaoks. Selleks kontrollime Leibnizi kriteeriumi tingimuste täitmist (Teoreem 1, punkt 3.1). Tingimus 1): , kus , s.o. see seeria on vahelduv. Tingimuse 2) kontrollimiseks seeria liikmete monotoonse vähenemise kohta kasutame järgmist meetodit. Vaatleme juures määratletud abifunktsiooni (funktsioon on selline, et meil on ). Selle funktsiooni monotoonsuse uurimiseks leiame selle tuletise: . See tuletis . Järelikult väheneb funktsioon näidatud väärtuste puhul monotoonselt X. Eeldusel, et me jõuame kuhu. See tähendab, et tingimus 2) on täidetud. Tingimuse 3) kontrollimiseks leiame ühise liikme piiri: , s.o. kolmas tingimus on täidetud. Seega on originaalseeria jaoks kõik Leibnizi testi tingimused täidetud, s.o. see läheneb.

Vastus: seeria tinglikult läheneb.

Seni oleme uurinud ainult seeriaid, mille tingimused olid kõik positiivsed. Nüüd käsitleme nii positiivseid kui ka negatiivseid termineid sisaldavaid seeriaid. Selliseid seeriaid nimetatakse vahelduvateks seeriateks.

Vahelduva seeria näitena toome seeriad

Alustame vahelduvate seeriate uurimist erijuhtumiga, nn vahelduvate seeriatega, st seeriatega, kus igale positiivsele liikmele järgneb negatiivne ja igale negatiivsele liikmele järgneb positiivne.

Tähistades - seeria tingimuste absoluutväärtustega ja eeldades, et esimene liige on positiivne, kirjutame vahelduvad seeriad järgmiselt:

Vahelduvate märkide seeriate jaoks on Leibnizi konvergentsi jaoks piisav kriteerium.

Leibnizi märk. Kui vahelduvas seerias (34) terminite absoluutväärtused vähenevad:

ja seeria ühisliige kipub olema null: , siis seeria koondub ja selle summa ei ületa rea ​​esimest liiget.

Tõestus. Vaatleme rea paarisarvu liikmete osalist summat

Rühmitame liikmed paaridesse:

Kuna tingimuse järgi seeria tingimuste absoluutväärtused vähenevad, on kõik sulgudes olevad erinevused positiivsed ja seetõttu on summa positiivne ja suureneb .

Kirjutame nüüd, rühmitades terminid erineval viisil:

Summa nurksulgudes on samuti positiivne. Seega iga väärtuse puhul. Seega suureneb isegi osaliste summade jada , jäädes samas piirituks. Seetõttu on sellel piir

Veelgi enam, kuna on selge, et vaatleme nüüd paaritu arvu terminite summat:

Kui meil on

kuna tingimusel ja seega .

Seega on nii paaris kui paaritu arvu liikmete osasummadel ühine piir S. See tähendab, et üldiselt, s.t jada koondub. Veelgi enam, nagu tõendist näha, ei ületa S-rea summa seeria esimest liiget.

Näide 1. Uurige, kas jada läheneb või lahkneb

Lahendus. See seeria vastab Leibnizi testi tingimustele:

Seetõttu seeria läheneb.

Vaatleme nüüd vahelduva seeria üldist juhtumit. Eeldame seda sarjas

numbrid võivad olla positiivsed või negatiivsed.

Selliste seeriate puhul kehtib järgmine piisav vahelduva jada konvergentsi kriteerium.

Teoreem. Kui vahelduva seeria jaoks

selle terminite absoluutväärtustest koosnev jada läheneb

siis see vahelduv jada ka koondub.

Tõestus. Vaatleme seeriate (37) ja (38) liikmetest koosnevat abiseeriat:

Seega on rea (39) liikmed kas võrdsed koonduva jada (38) liikmetega või neist väiksemad. Seetõttu koonduvad seeriad (39) võrdluskriteeriumi alusel (vt lõik 5, teoreem 1 ja joonealune märkus lk 501).

Korrutades koonduva rea ​​(38) kõik liikmed, saame koonduva jada

(vt lõik 3, teoreem 1). Vaatleme nüüd rida, mis erineb koonduvatest ridadest (39) ja (40)

See seeria koondub teoreemi 2 punkti 3 alusel.

Kuid seeria (37) saadakse viimasest seeriast, korrutades kõik selle tingimused 2-ga:

Järelikult koondub ka seeria (37) (jaotis 3, teoreem 1).

Näide 2. Uurige vahelduvrea (33) konvergentsi

Lahendus. Vaatleme seeriat, mis koosneb selle seeria tingimuste absoluutväärtustest

See jada läheneb nagu üldistatud harmoonilised jada eksponendiga. Järelikult see seeria (33) läheneb ka tõestatud kriteeriumile.

See funktsioon on piisav, kuid mitte vajalik. See tähendab, et on vahelduvaid jadaid, mis lähenevad, samas kui nende terminite absoluutväärtustest koosnevad jadad lahknevad.

Tõepoolest, mõelge sarjale

mis Leibnizi kriteeriumi järgi ilmselgelt koondub. Vahepeal number

mis koosneb antud seeria tingimuste absoluutväärtustest, on harmooniline ja seetõttu lahknev.

Kuigi eespool käsitletud seeriad (33) ja (42) koonduvad, on nende lähenemise olemus erinev.

Seeria (33) läheneb samaaegselt seeriaga (41), mis koosneb selle liikmete absoluutväärtustest, samas kui seeria (43), mis koosneb koonduva jada (42) absoluutväärtustest, lahkneb.

Sellega seoses tutvustame järgmisi mõisteid.

Definitsioon. Vahelduv jada on absoluutselt konvergentne, kui selle liikmete absoluutväärtustest koosnev jada läheneb

Vahelduva jada konvergentsi piisava kriteeriumi alusel on iga absoluutselt koonduv jada konvergentne.

Definitsioon. Vahelduvat jada nimetatakse mitteabsoluutselt koonduvaks, kui see koondub, kuid selle terminite absoluutväärtustest koosnev jada lahkneb.

Tulles tagasi ülalkirjeldatud näidete juurde, võime öelda, et seeria (33) on absoluutselt koonduv ja seeria ( ei ole absoluutselt koonduv.

See osa võlgneb oma erakordse välimuse paljudele-paljudele autoritele, kelle teoseid lugedes tahtsin need teosed kirjanikesse endisse käivitada. Tegelikult plaanisin selle teema täismahus avaldada alles siis, kui see lõpuks valmis saab, aga kuna sellel teemal on liiga palju küsimusi, siis toon nüüd mõned punktid välja. Edaspidi hakatakse materjali täiendama ja täiendama. Alustame määratlustega.

Seeriat kujul $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$, kus $u_n>0$, nimetatakse vahelduvaks.

Vahelduva seeria liikmete märgid vahelduvad rangelt:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n=u_1-u_2+u_3-u_4+u_5-u_6+u_7-u_8+\ldots $$

Näiteks $1-\frac(1)(2)+\frac(1)(3)-\frac(1)(4)+\ldots$ on vahelduv jada. Juhtub, et märkide range vaheldumine ei alga esimese elemendiga, kuid see pole konvergentsiuuringute jaoks oluline.

Miks ei ole vahelduvad tähemärgid esimesest elemendist algavad tähtsusetud? Näita Peida

Fakt on see, et numbriseeriate omaduste hulgas on väide, mis võimaldab meil loobuda seeria "lisaliikmetest". See on vara:

Seeria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ läheneb siis ja ainult siis, kui mõni selle jääkidest $r_n=\sum\limits_(k=n+1)^(\infty)u_k läheneb $ . Sellest järeldub, et teatud jadale lõpliku arvu terminite kõrvalejätmine või lisamine ei muuda seeria konvergentsi.

Olgu meile antud teatud vahelduv seeria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$ ja olgu selle seeria puhul täidetud Leibnizi testi esimene tingimus , st. $\lim_(n\to(\infty))u_n=0$. Samas teine ​​tingimus, s.o. $u_n≥u_(n+1)$, käivitatakse alates teatud arvust $n_0\in(N)$. Kui $n_0=1$, siis saame Leibnizi kriteeriumi teise tingimuse tavalise formuleeringu, seega seeria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1) u_n$ läheneb. Kui $n_0>1$, siis jagame seeria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$ kaheks osaks. Esimeses osas valime kõik need elemendid, mille numbrid on väiksemad kui $n_0$:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n=\sum\limits_(n=1)^(n_0-1)(-1)^(n +1)u_n+\sum\limits_(n=n_0)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n $$

Seeria $\sum\limits_(n=n_0)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$ puhul on mõlemad Leibnizi kriteeriumi tingimused täidetud, seega on seeria $\sum\limits_(n= n_0)^(\ infty)(-1)^(n+1)u_n$ koondub. Kuna jääk koondub, koondub ka algseeria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$.

Seega pole üldse vahet, kas Leibnizi testi teine ​​tingimus on täidetud, alustades esimesest või tuhandendast elemendist – seeriad siiski lähenevad.

Lubage mul märkida, et Leibnizi kriteerium on vahelduvate ridade konvergentsi piisav, kuid mitte vajalik tingimus. Teisisõnu, Leibnizi kriteeriumi tingimuste täitmine garanteerib ridade konvergentsi, kuid nende tingimuste täitmata jätmine ei taga ei konvergentsi ega lahknemist. Loomulikult esimese tingimuse täitmata jätmine, s.o. suurtäht $\lim_(n\to(\infty))u_n\neq(0)$, tähendab seeria $\sum\limits_(n=n_0)^(\infty)(-1)^(n+) lahknemist 1)u_n $ aga teise tingimuse täitmata jätmine võib juhtuda nii koonduvate kui ka lahknevate ridade puhul.

Kuna standardsetes standardarvutustes leidub sageli vahelduvaid märkide seeriaid, olen koostanud skeemi, mille abil saab standardse vahelduva märkide seeria konvergentsi uurida.

Muidugi saate Leibnizi testi otse rakendada, jättes kõrvale moodulite seeria konvergentsi kontrolli. Kuid standardsete haridusnäidete puhul on moodulite seeria kontrollimine vajalik, kuna enamik standardarvutuste autoreid ei nõua mitte ainult välja selgitama, kas seeria koondub või mitte, vaid ka konvergentsi olemuse (tingimuslik või absoluutne) määramine. Liigume näidete juurde.

Näide nr 1

Konvergentsi jaoks uurige seeriat $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n)$.

Kõigepealt uurime, kas see seeria on tõesti vahelduv. Kuna $n≥1$, siis $4n-1≥3>0$ ja $n^2+3n≥4>0$, s.o. kõigi $n\in(N)$ jaoks on meil $\frac(4n-1)(n^2+3n)>0$. Seega on antud seeria kuju $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$, kus $u_n=\frac(4n-1)(n^ 2 +3n)>0$, s.o. Vaadeldav seeria on vahelduv.

Tavaliselt tehakse selline kontroll suuliselt, kuid selle vahelejätmine on äärmiselt ebasoovitav: vead standardarvutustes pole haruldased. Tihti juhtub, et antud sarja liikmete märgid hakkavad vahelduma mitte sarja esimesest liikmest. Sel juhul võite seeria "segavad" tingimused kõrvale jätta ja uurida jäägi konvergentsi (vt märkust selle lehe alguses).

Niisiis, meile antakse märkide vahelduv seeria. Järgime ülaltoodut. Alustuseks loome selle sarja liikmetest moodulite seeria:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n)\right| =\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4n-1)(n^2+3n) $$

Kontrollime, kas koostatud moodulite seeria koondub. Rakendame võrdluskriteeriumi. Kuna kõigi $n\in(N)$ jaoks on meil $4n-1=3n+n-1≥3n$ ja $n^2+3n≤n^2+3n^2=4n^2$, siis:

$$ \frac(4n-1)(n^2+3n)≥ \frac(3n)(4n^2)=\frac(3)(4)\cdot\frac(1)(n) $$

Harmooniliste jada $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ lahkneb, nii et seeria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left samuti diverge (\frac(3)(4)\cdot\frac(1)(n)\right)$. Seetõttu lahkneb seeria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4n-1)(n^2+3n)$ vastavalt võrdluskriteeriumile. Tähistame $u_n=\frac(4n-1)(n^2+3n)$ ja kontrollime, kas Leibnizi testi tingimused on algse vahelduva seeria puhul täidetud. Leiame $\lim_(n\to(\infty))u_n$:

$$ \lim_(n\to(\infty))u_n =\lim_(n\to(\infty))\frac(4n-1)(n^2+3n) =\lim_(n\to(\infty ))\frac(\frac(4)(n)-\frac(1)(n^2))(1+\frac(3)(n)) =0. $$

Leibnizi testi esimene tingimus on täidetud. Nüüd peame välja selgitama, kas ebavõrdsus $u_n≥u_(n+1)$ kehtib. Märkimisväärne hulk autoreid eelistab seeria paar esimest liiget kirja panna ja järeldada, et ebavõrdsus $u_n≥u_(n+1)$ on täidetud.

Teisisõnu näeks see seeria "tõestus" välja selline: $\frac(2)(3)≤\frac(5)(8)≤\frac(8)(15)≤\ldots$. Pärast paari esimese liikme võrdlemist tehakse järeldus: ülejäänud liikmete puhul jääb ebavõrdsus püsima, iga järgnev ei ole suurem kui eelmine. Ma ei tea, kust see "tõestusmeetod" tuli, kuid see on vale. Näiteks jada $v_n=\frac(10^n)(n$ получим такие первые члены: $v_1=10$, $v_2=50$, $v_3=\frac{500}{3}$, $v_4=\frac{1250}{3}$. Как видите, они возрастают, т.е., если ограничиться сравнением нескольких первых членов, то можно сделать вывод, что $v_{n+1}>v_n$ для всех $n\in{N}$. Однако такой вывод будет категорически неверным, так как начиная с $n=10$ элементы последовательности будут убывать.!}

Kuidas tõestada võrratust $u_n≥u_(n+1)$? Üldiselt on selleks mitu võimalust. Meie puhul on kõige lihtsam võtta arvesse erinevust $u_n-u_(n+1)$ ja leida selle märk. Järgmises näites käsitleme teistsugust meetodit: vastava funktsiooni vähenemise tõestamist.

$$ u_n-u_(n+1) =\frac(4n-1)(n^2+3n)-\frac(4(n+1)-1)((n+1)^2+3(n) +1)) =\frac(4n-1)(n^2+3n)-\frac(4n+3)(n^2+5n+4)=\\ =\frac((4n-1)\cdot \left(n^2+5n+4\right)-\left(n^2+3n\right)\cdot(4n+3))(\left(n^2+3n\right)\cdot\left( n^2+5n+4\right)) =\frac(4n^2+2n-4)(\left(n^2+3n\right)\cdot\left(n^2+5n+4\right) ). $$

Kuna $n≥1$, siis $4n^2-4≥0$, kust meil on $4n^2+2n-4>0$, s.t. $u_n-u_(n+1)>0$, $u_n>u_(n+1)$. Muidugi juhtub, et võrratus $u_n≥u_(n+1)$ ei ole seeria esimesest liikmest alates täidetud, kuid see pole oluline (vt lehe algusest).

Seega on Leibnizi kriteeriumi mõlemad tingimused täidetud. Kuna antud juhul on seeria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n)\right |. $ lahkneb, siis seeria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n)$ koondub tingimuslikult.

Vastus: seeria läheneb tinglikult.

Näide nr 2

Konvergentsi jaoks uurige seeriat $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$.

Esiteks kaaluge avaldist $\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$. Tasub veidi kontrollida, kas olukord on õige. Fakt on see, et väga sageli võib standardsete standardarvutuste tingimustes esineda vigu, kui radikaalavaldis on negatiivne või mõne $n$ väärtuse nimetajasse ilmub null.

Selliste probleemide vältimiseks teeme lihtsa eeluuringu. Kuna $n≥1$ jaoks on meil $2n^3≥2$, siis $2n^3-1≥1$, st. juure all olev avaldis ei saa olla negatiivne ega võrdne nulliga. Seetõttu on olukord üsna õige. Avaldis $\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ on defineeritud kõigi $n≥1$ jaoks.

Olgu lisatud, et $n≥1$ korral on ebavõrdsus $\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))>0$ tõene, st. Meile antakse märkide vahelduv seeria. Uurime seda vastavalt ülaltoodule. Alustuseks loome selle sarja liikmetest moodulite seeria:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))\right| =\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1)) $$

Kontrollime, kas antud jada liikmete moodulitest koosnev jada koondub. Rakendame võrdluskriteeriumi. Eelmise näite lahendamisel kasutasime esimest võrdluskriteeriumi. Siin rakendame puhtalt mitmekesisuse huvides teist võrdlusmärki (piiraval kujul võrdlusmärki). Võrrelgem seeriat $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ lahkneva seeriaga $\sum\limits_(n =1)^ (\infty)\frac(1)(\sqrt(n))$:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1)))(\frac(1)(\sqrt(n))) =\lim_ (n\to\infty)\frac(5n\sqrt(n)-4\sqrt(n))(\sqrt(2n^3-1)) =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac (5n\sqrt(n))(n\sqrt(n))-\frac(4\sqrt(n))(n\sqrt(n)))(\sqrt(\frac(2n^3-1)( n^3))) \lim_(n\to\infty)\frac(5-\frac(4)(n))(\sqrt(2-\frac(1)(n^3))) =\frac (5)(\sqrt(2)). $$

Alates $\frac(5)(\sqrt(2))\neq(0)$ ja $\frac(5)(\sqrt(2))\neq\infty$, siis samaaegselt seeriaga $\sum\limits_ (n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))$ lahkneb ja seeria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5n-4) ( \sqrt(2n^3-1))$.

Seega antud vahelduvrea ei oma absoluutset lähenemist. Tähistame $u_n=\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ ja kontrollime, kas Leibnizi testi tingimused on täidetud. Leiame $\lim_(n\to(\infty))u_n$:

$$ \lim_(n\to(\infty))u_n =\lim_(n\to(\infty))\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1)) =\lim_(n\ to(\infty))\frac(\frac(5n)(n^(\frac(3)(2)))-\frac(4)(n^(\frac(3)(2))))( \sqrt(\frac(2n^3-1)(n^3))) =\lim_(n\to(\infty))\frac(\frac(5)(\sqrt(n))-\frac( 4)(n^(\frac(3)(2))))(\sqrt(2-\frac(1)(n^3))) =0. $$

Leibnizi testi esimene tingimus on täidetud. Nüüd peame välja selgitama, kas ebavõrdsus $u_n≥u_(n+1)$ kehtib. Eelmises näites vaatlesime üht selle ebavõrdsuse tõestamise võimalust: selgitades välja erinevuse märk $u_n-u_(n+1)$. Seekord kasutame teist meetodit: $u_n=\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ asemel kaaluge funktsiooni $y(x)=\frac(5x-4)( \sqrt( 2x^3-1))$ tingimusel $x≥1$. Märgin, et selle funktsiooni käitumine tingimusel $x<1$ нам совершенно безразлично.

Meie eesmärk on tõestada, et funktsioon $y(x)$ on mittekasvav (või kahanev). Kui tõestame, et funktsioon $y(x)$ on mittekasvav, siis on kõigi väärtuste $x_2>x_1$ puhul $y(x_1)≥y(x_2)$. Eeldades $x_1=n$ ja $x_2=n+1$, saame, et võrratus $n+1>n$ viitab ebavõrdsuse $y(n)≥y(n+1)$ tõele. Kuna $y(n)=u_n$, siis on võrratus $y(n)≥y(n+1)$ sama, mis $u_(n)≥u_(n+1)$.

Kui näitame, et $y(x)$ on kahanev funktsioon, siis võrratus $n+1>n$ viib võrratuse $y(n)>y(n+1)$ tõeni, s.t. $u_(n)>u_(n+1)$.

Leiame tuletise $y"(x)$ ja leiame selle märgi $x$ vastavate väärtuste jaoks.

$$ y"(x)=\frac((5x-4)"\cdot\sqrt(2x^3-1)-(5x-4)\cdot\left(\sqrt(2x^3-1)\right )")(\left(\sqrt(2x^3-1)\right)^2) =\frac(5\cdot\sqrt(2x^3-1)-(5x-4)\cdot\frac(1 )(2\sqrt(2x^3-1))\cdot(6x^2))(2x^3-1)=\\ =\frac(5\cdot\left(2x^3-1\right)- (5x-4)\cdot(3x^2))(\left(2x^3-1\right)^(\frac(3)(2))) =\frac(-5x^3+12x^2- 5)(\left(2x^3-1\right)^(\frac(3)(2))) $$

Arvan, et on ilmne, et piisavalt suurte positiivsete väärtuste $x≥1$ korral on nimetaja polünoom väiksem kui null, st. -5x^3+12x^2-5 $<0$. Эту "очевидность" несложно обосновать формально - если вспомнить курс алгебры. Дело в том, что согласно лемме о модуле старшего члена, при достаточно больших значениях $|x|$ знак многочлена совпадает с знаком его старшего члена. Адаптируясь к нашей задаче получаем, что существует такое число $c≥1$, то для всех $x≥c$ будет верным неравенство $-5x^3+12x^2-5<0$. В принципе, существования такого числа $c$ уже вполне достаточно для дальнейшего решения задачи.

Kuid lähenegem küsimusele vähem formaalselt. Et mitte kaasata algebrast tarbetuid lemmasid, hindame avaldise $-5x^3+12x^2-5$ väärtust lihtsalt ligikaudselt. Võtame arvesse $-5x^3+12x^2-5=x^2(-5x+12)-5$. $x≥3$ jaoks on meil -5x+12 $<0$, посему $x^2(-5x+12)-5<0$.

Seega on $x≥3$ jaoks $y"(x)<0$, т.е. функция $y(x)$ убывает. А это, в свою очередь, означает, что при $n≥3$ верно неравенство $u_n>u_(n+1)$, st. Leibnizi testi teine ​​tingimus on täidetud. Loomulikult näitasime teise tingimuse täitmist mitte $n=1$, vaid $n=3$, kuid see pole oluline (vt lehe algusest).

Seega on Leibnizi kriteeriumi mõlemad tingimused täidetud. Kuna antud juhul on seeria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1) ) )\right|$ lahkneb, siis seeria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n) $ koondub tinglikult.

Vastus: seeria läheneb tinglikult.

Näide nr 3

Uurige seeriat $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(3n+4)(2^n)$ konvergentsi jaoks.

See näide ei paku suurt huvi, seega kirjutan selle lühidalt. Meile antakse vahelduv seeria, mida uurime uuesti kasutades . Koostame selle sarja liikmetest moodulite seeria:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(3n+4)(2^n)\right| =\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3n+4)(2^n) $$

Rakendame D'Alemberti märki. Tähistame $u_n=\frac(3n+4)(2^n)$, saame $u_(n+1)=\frac(3n+7)(2^(n+1) )$ .

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_(n)) =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n+7)(2^ (n+1)))(\frac(3n+4)(2^n)) =\frac(1)(2)\lim_(n\to\infty)\frac(3n+7)(3n+4 ) =\frac(1)(2)\lim_(n\to\infty)\frac(3+\frac(7)(n))(3+\frac(4)(n)) =\frac(1 )(2)\cdot(1)=\frac(1)(2). $$

Alates $\frac(1)(2)<1$, то согласно признаку Д"Аламбера ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3n+4}{2^n}$ сходится. Из сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n+1}\frac{3n+4}{2^n}\right|$, что ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{3n+4}{2^n}$ сходится, причём сходится абсолютно.

Märgin, et antud näite lahendamiseks ei vajanud me Leibnizi testi. Seetõttu on mugav esmalt kontrollida moodulite seeria konvergentsi ja seejärel vajadusel uurida algse vahelduva jada konvergentsi.

Vastus: seeria läheneb absoluutselt.

Vahelduvad seeriad on seeriad, mille tingimused on vaheldumisi positiivsed ja negatiivsed. . Kõige sagedamini käsitletakse vahelduvaid seeriaid, milles terminid vahelduvad ükshaaval: igale positiivsele järgneb negatiivne ja igale negatiivsele järgneb positiivne. Kuid on vaheldumisi ridu, milles liikmed vahelduvad kahe, kolme jne kaudu.

Vaatleme näidet vahelduvast seeriast, mille algus näeb välja selline:

3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...

ja kohe üldreeglid vahelduvate ridade salvestamiseks.

Nagu iga seeria puhul, tuleb antud seeria jätkamiseks määrata funktsioon, mis määrab seeria ühise liikme. Meie puhul on n + 2 .

Kuidas seada sarja liikmete märkide vaheldumist? Funktsiooni korrutamine miinus ühega mingil määral. Millises astmes? Rõhutagem kohe, et mitte iga kraad ei taga seeria terminite märkide vaheldumist.

Oletame, et tahame, et vahelduva seeria esimesel liikmel oleks positiivne märk, nagu ülaltoodud näite puhul. Siis peab miinus üks olema võimul n– 1. Alustage numbrite asendamist ühest sellesse avaldisse ja saate miinus ühe eksponendina, kas paaris või paaritu arv. See on vajalik tingimus märkide vaheldumiseks! Sama tulemuse saame siis, kui n+ 1 . Kui soovime, et vahelduva jada esimene liige oleks negatiivse märgiga, siis saame selle jada defineerida, korrutades ühise liikme funktsiooni astmega ühega n. Saame paarisarvu, paaritu arvu jne. Nagu näeme, on juba kirjeldatud tingimus märkide vaheldumiseks täidetud.

Seega saame ülaltoodud vahelduvad seeriad kirjutada üldkujul:

Seerialiikme märkide vahelduseks võib võimsus miinus üks olla summa n ja mis tahes positiivne või negatiivne, paaris või paaritu arv. Sama kehtib 3 kohta n , 5n, ... See tähendab, et vahelduva jada liikmete märkide vaheldumine annab astme miinus üks summa kujul n, korrutatuna mis tahes paaritu ja mis tahes arvuga.

Millised võimsused miinus ühe juures ei taga seeria tingimuste märkide vaheldumist? Need, mis on vormis olemas n, korrutatuna mis tahes paarisarvuga, millele on lisatud mis tahes arv, sealhulgas null, paaris või paaritu. Näited selliste kraadide näitajatest: 2 n , 2n + 1 , 2n − 1 , 2n + 3 , 4n+ 3 ... Selliste astmete puhul saadakse olenevalt sellest, millisele arvule “en” liidetakse, korrutatuna paarisarvuga, kas ainult paaris või ainult paaritud arvud, mis, nagu juba teada saime, ei anda seeria tingimuste märkide vaheldumine.

Vahelduv seeria - erijuhtum vahelduvad seeriad . Vahelduvad seeriad on suvaliste märkide tingimustega seeriad st need, mis võivad olla positiivsed ja negatiivsed mis tahes järjekorras. Näide vahelduvast seeriast:

3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...

Järgmisena käsitleme vahelduvate ja vahelduvate seeriate lähenemise märke. Vahelduvate märkide seeriate tingliku konvergentsi saab kindlaks teha Leibnizi testi abil. Ja laiema hulga seeriate puhul – vahelduvad seeriad (kaasa arvatud vahelduvad seeriad) – kehtib absoluutse lähenemise kriteerium.

Vahelduvate märkide jadate lähenemine. Leibnizi test

Vahelduvate märkide seeriate puhul kehtib järgmine lähenemise kriteerium – Leibnizi kriteerium.

Teoreem (Leibnizi test). Seeria koondub ja selle summa ei ületa esimest liiget, kui samaaegselt on täidetud järgmised kaks tingimust:

• vahelduva seeria tingimuste absoluutväärtused vähenevad: u1 > u 2 > u 3 > ... > u n>...;
• selle ühise tähtaja piiramatu suurenemisega n võrdne nulliga.

Tagajärg. Kui võtame selle summaks vahelduva jada summa n termineid, siis lubatud viga ei ületa esimese kõrvalejäetud liikme absoluutväärtust.

Näide 1. Uurige seeria konvergentsi

Lahendus. See on vahelduv seeria. Selle liikmete absoluutväärtused vähenevad:

ja ühistermini piir

võrdne nulliga:

Mõlemad Leibnizi testi tingimused on täidetud, seega seeria läheneb.

Näide 2. Uurige seeria konvergentsi

Lahendus. See on vahelduv seeria. Kõigepealt tõestame, et:

, .

Kui N= 1, siis kõigi jaoks n > N ebavõrdsus 12 kehtib n − 7 > n. Omakorda kõigile n. Seega, see tähendab, et seeria tingimused vähenevad absoluutväärtuses. Leiame seeria üldliikme piiri (kasutades L'Hopitali reegel):

Ühise termini piirmäär on null. Leibnizi testi mõlemad tingimused on täidetud, seega on vastus lähenemise küsimusele positiivne.

Näide 3. Uurige seeria konvergentsi

Lahendus. Antud vahelduv seeria. Uurime, kas Leibnizi kriteeriumi esimene tingimus ehk nõue on täidetud. Nõude täitmiseks on vajalik, et

Oleme veendunud, et nõue on kõigi jaoks täidetud n > 0 . Leibnizi esimene kriteerium on täidetud. Leiame sarja üldtähtaja piiri:

.

Piirang ei ole null. Seega ei ole Leibnizi kriteeriumi teine ​​tingimus täidetud, seega ei tule konvergents kõne allagi.

Näide 4. Uurige seeria konvergentsi

Lahendus. Selles seerias järgneb kahele negatiivsele terminile kaks positiivset. See sari on ka vahelduv. Uurime, kas Leibnizi testi esimene tingimus on täidetud.

Nõue on kõigile täidetud n > 1 . Leibnizi esimene kriteerium on täidetud. Uurime välja, kas üldliikme piirmäär on võrdne nulliga (rakendades L'Hopitali reeglit):

.

Saime nulli. Seega on Leibnizi testi mõlemad tingimused täidetud. Lähenemine toimub.

Näide 5. Uurige seeria konvergentsi

Lahendus. See on vahelduv seeria. Uurime, kas Leibnizi testi esimene tingimus on täidetud. Sest

,

Sest n ≥ 0 , siis 3 n+ 2 > 0 . Omakorda kõigile n, Sellepärast . Järelikult rea liikmed absoluutväärtuses vähenevad. Leibnizi esimene kriteerium on täidetud. Uurime, kas seeria üldliikme piir on võrdne nulliga (rakendades L'Hopitali reeglit):

.

Saime nullväärtuse. Mõlemad Leibnizi testi tingimused on täidetud, seega see seeria läheneb.

Näide 6. Uurige seeria konvergentsi

Lahendus. Uurime, kas Leibnizi testi esimene tingimus on selle vahelduva seeria puhul täidetud:

Rea tingimused vähenevad absoluutväärtuses. Leibnizi esimene kriteerium on täidetud. Uurime, kas ühisliikme piirmäär on võrdne nulliga:

.

Ühise termini piirmäär ei ole null. Leibnizi kriteeriumi teine ​​tingimus ei ole täidetud. Seetõttu erineb see seeria.

Leibnizi test on märk seeria tingimuslik lähenemine. See tähendab, et eespool vaadeldud vahelduvate ridade konvergentsi ja lahknemise kohta tehtud järeldusi saab täiendada: need jadad koonduvad (või lahknevad) tinglikult.

Vahelduvate ridade absoluutne konvergents

Laske rida

– vahelduv märk. Vaatleme rida, mis koosneb selle liikmete absoluutväärtustest:

Definitsioon. Seeriat peetakse absoluutselt koonduvaks, kui selle liikmete absoluutväärtustest koosnev jada läheneb. Kui vahelduv jada läheneb ja selle liikmete absoluutväärtustest koosnev jada lahkneb, siis sellist vahelduvat jada nimetatakse tingimuslikult või mitteabsoluutselt koonduvad .

Teoreem. Kui jada läheneb absoluutselt, siis koondub see tingimuslikult.

Näide 7. Tehke kindlaks, kas seeria läheneb

Lahendus. Sellele seeriale vastab positiivsete terminite kõrval sari See üldistatud harmoonilised jada, milles , Seetõttu seeria lahkneb. Kontrollime, kas Leibnizi testi tingimused on täidetud.

Kirjutame seeria esimese viie liikme absoluutväärtused:

.

Nagu näeme, rea tingimused absoluutväärtuses vähenevad. Leibnizi esimene kriteerium on täidetud. Uurime, kas ühisliikme piirmäär on võrdne nulliga:

Saime nullväärtuse. Leibnizi kriteeriumi mõlemad tingimused on täidetud. See tähendab, et Leibnizi kriteeriumi järgi konvergents toimub. Ja vastavad positiivsete terminitega seeriad lähevad lahku. Seetõttu läheneb see seeria tinglikult.

Näide 8. Tehke kindlaks, kas seeria läheneb

absoluutselt, tingimuslikult või lahkneb.

Lahendus. Sellele jadale vastab positiivsete terminite kõrval jada See on üldistatud harmooniline jada, milles seeriad seetõttu lahknevad. Kontrollime, kas Leibnizi testi tingimused on täidetud.

Jada nimetatakse vahelduvaks, kui kahel kõrvuti asetseval liikmel on erinevad märgid, s.t. jada kujul u 1 – u 2 + u 3 – u 4 +… + u n + …, kus u 1, u 2, …, u n, … on positiivsed.

Leibnizi teoreem. Kui vahelduva jada liikmed absoluutväärtuses võetuna vähenevad monotoonselt ja rea ​​üldliikme moodul kipub olema null, s.o.
, siis seeria läheneb.

Näide 1.

Uurige vahelduva jada konvergentsi:

.

Absoluutväärtusena võetud seeria tingimused vähenevad monotoonselt:

Sari läheneb.

1.6. Vahelduvad seeriad. Jadade absoluutne ja tingimuslik lähenemine

Rida u 1 + u 2 +…+ u n +… nimetatakse vahelduvaks, kui selle liikmete hulgas on nii positiivseid kui ka negatiivseid.

Vahelduvad seeriad on vahelduvate seeriate erijuht.

Teoreem. Antud vahelduv seeria u 1 + u 2 +…+ u n +…(1). Teeme sarja | u 1 |+| u 2 |+…+| u n |+… (2). Kui seeria (2), mis koosneb seeria (1) liikmete absoluutväärtustest, läheneb, siis seeria (1) läheneb.

Definitsioon. Vahelduvad seeriad u 1 + u 2 +…+ u n +… nimetatakse absoluutselt koonduvaks, kui selle liikmete absoluutväärtustest koosnev jada läheneb | u 1 |+| u 2 |+…+| u n |+… .

Kui vahelduvrida (1) läheneb ja jada (2), mis koosneb selle liikmete absoluutväärtustest, lahkneb, nimetatakse seda vahelduvat jada (1) tingimuslikult või mitteabsoluutselt koonduvaks jadaks.

Näide 1.

Uurige seeriat lähenemise ja absoluutse lähenemise osas:
.

Vahelduv jada koondub Leibnizi teoreemi järgi, sest
. Sarja tingimused vähenevad monotoonselt ja
. Nüüd uurime seda seeriat absoluutse lähenemise jaoks. Vaatleme seeriat, mis koosneb selle seeria tingimuste absoluutväärtustest: . Uurime selle seeria konvergentsi d'Alemberti testi abil:
. Sari läheneb. See tähendab, et antud vahelduvrida koondub absoluutselt.

Näide 2.

Uurige seeriat lähenemise ja absoluutse lähenemise osas:
.

Leibnizi teoreemi järgi
. Sari läheneb. Antud seeria liikmete absoluutväärtustest koosneval seerial on vorm
. Kasutades d'Alemberti kriteeriumi saame
. Seeria koondub, mis tähendab, et antud vahelduv jada koondub absoluutselt.

2. Funktsionaalsed seeriad. Funktsionaalrea lähenemispiirkond

Vaatleme teatud intervallil määratletud funktsioonide jada [ a, b] :

f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x) … f n (x), ….

Võttes need funktsioonid seeria liikmeteks, moodustame seeria:

f 1 (x) + f 2 (x) + f 3 (x) + … + f n (x) + …, (1)

mida nimetatakse funktsionaalne vahemik.

Näiteks: sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + … + sin(nx) + …

Konkreetsel juhul on funktsionaalne seeria seeria:

mida nimetatakse jõuseeria, Kus
kutsutakse konstantseid numbreid astmerea liikmete koefitsiendid.

Võimseeria saab kirjutada ka järgmisel kujul:

Kus
mingi konstantne arv.

Teatud fikseeritud või numbrilise väärtusega x saame arvurea, mis võib olla koonduv või lahknev.

Definitsioon : Kõikide väärtuste komplekt X(või kõik punktid X numbririda), mille puhul astmerida koondub astmeridade konvergentsi piirkond.

Näide 1.

Leidke astmeridade lähenemispiirkond:

Lahendus (üks suund).

Rakendame d'Alemberti testi.

Kuna d'Alemberti test on rakendatav ainult seeriatele positiivsed liikmed, siis võetakse piirmärgi all olev avaldis absoluutväärtuses.

D'Alemberti testi järgi koondub jada, kui
Ja
.

Need. seeria koondub, kui < 1, откуда
või -3< x<3.

Saame selle astmerea konvergentsi intervalli: (-3;3).

Intervalli äärmuslikes punktides x =
, saab
.

Sel juhul ei vasta d'Alemberti teoreem ridade konvergentsi küsimusele.

Uurime seeriat piiripunktide lähenemiseks:

x = -3,

Saame vahelduva seeria märgi. Uurime seda lähenemise osas Leibnizi kriteeriumi abil:

1.
rea liikmed absoluutväärtuses vähenevad monotoonselt.

2.
Seetõttu koondub seeria punktis x = -3.

x = 3,

Saame positiivse seeria. Kasutame ridade konvergentsi jaoks integraalset Cauchy testi.

seeria tingimused vähenevad monotoonselt.

Funktsioon
vahel
:

.

Vale integraal lahkneb, mis tähendab, et jada punktis x=3 lahkneb.

Vastus:

Teine viis astmerea lähenemispiirkonna määramine põhineb astmerea lähenemisraadiuse valemi rakendamisel:

, Kus Ja
koefitsiendid Ja
sarja liikmed.

Selle sarja jaoks on meil:

. R=3.

seeria koondub

Seeria konvergentsi intervall: -3< x<3.

Järgmisena, nagu ka eelmisel juhul, peame uurima piiripunkte: x =
.

Vastus: seeria [-3;3] konvergentsi piirkond.

Pange tähele, et et teine ​​viis astmerea lähenemispiirkonna määramiseks on kasutada jada lähenemisraadiuse valemit
ratsionaalsem.

Näide 2.

Leidke astmeridade lähenemispiirkond:
.

Me leiame R– ridade lähenemisraadius.

,
,
.

.
.

Seeria konvergentsi intervall (- ;).

Uurime seeriat punktide lähenemise suhtes x = -Ja x = .

x = - ,

Saame vahelduva seeria märgi. Rakendame Leibnizi testi:

1.
rea liikmed absoluutväärtuses vähenevad monotoonselt.

2.
seega jada punktis x = - koondub.

x = ,
.

Saime positiivsete liikmetega tüli. Kasutame integraalset Cauchy testi.

Siin
:

, sarja liikmed
väheneb monotoonselt.

Funktsioon
vahel
:

.

Vale integraal lahkneb, seeria lahkneb.

Vastus: [-;) – seeria konvergentsi piirkond.