Oleme näinud, et polünoomide tehted taandatakse nende koefitsientide tehtele. Samal ajal piisab polünoomide liitmiseks, lahutamiseks ja korrutamiseks kolmest aritmeetilisest toimingust - arvude jagamine pole vajalik. Kuna kahe reaalarvu summa, vahe ja korrutis on jällegi reaalarvud, siis reaalkoefitsientidega polünoomide liitmisel, lahutamisel ja korrutamisel saadakse tulemuseks reaalkoefitsientidega polünoomid.

Siiski ei ole alati vaja tegeleda polünoomidega, millel on reaalsed koefitsiendid. Võib esineda juhtumeid, kus asja olemuse järgi peaksid koefitsiendid sisaldama ainult täisarvu või ainult ratsionaalseid väärtusi. Sõltuvalt sellest, milliseid koefitsientide väärtusi peetakse vastuvõetavaks, muutuvad polünoomide omadused. Näiteks kui arvestame mis tahes reaalkoefitsiendiga polünoome, saame need faktoriseerida:

Kui piirduda täisarvuliste koefitsientidega polünoomidega, siis ei ole laiendamisel (1) mõtet ja polünoomi tuleb pidada teguriteks lagundamatuks.

See näitab, et polünoomide teooria sõltub oluliselt sellest, milliseid koefitsiente peetakse lubatavaks. Mitte iga koefitsientide komplekti ei saa aktsepteerida. Näiteks vaatleme kõiki polünoome, mille koefitsiendid on paaritud täisarvud. On selge, et kahe sellise polünoomi summa ei ole enam sama tüüpi polünoom: paaritute arvude summa on ju paarisarv.

Esitagem küsimus: millised on "head" koefitsientide komplektid? Millal on antud tüüpi koefitsientidega polünoomide summal, vahel, korrutisel sama tüüpi koefitsiendid? Sellele küsimusele vastamiseks tutvustame numbrirõnga mõistet.

Definitsioon. Mittetühja arvude kogumit nimetatakse arvurõngaks, kui see sisaldab koos mis tahes kahe arvuga a ja nende summat, erinevust ja korrutist. Seda väljendatakse lühidalt ka sellega, et numbrirõngas on liitmise, lahutamise ja korrutamise tehte all suletud.

1) Täisarvude hulk on arvuring: täisarvude summa, vahe ja korrutis on täisarvud. Naturaalarvude hulk ei ole arvuring, kuna naturaalarvude erinevus võib olla negatiivne.

2) Kõigi ratsionaalarvude hulk on arvuring, kuna ratsionaalarvude summa, vahe ja korrutis on ratsionaalne.

3) Moodustab arvurõnga ja kõigi reaalarvude hulga.

4) Arvud kujul a, kus a ja on täisarvud, moodustavad arvurõnga. See tuleneb suhetest:

5) Paaritute arvude hulk ei ole numbrirõngas, kuna paaritute arvude summa on paaris. Paarisarvude hulk on numbrirõngas.

Näited

a + b i (\displaystyle a+bi) Kus a (\displaystyle a) Ja b (\displaystyle b) ratsionaalsed arvud, i (\displaystyle i)- kujuteldav ühik. Selliseid avaldisi saab liita ja korrutada vastavalt tavapärastele kompleksarvudega tehte reeglitele ning igal nullist erineval elemendil on pöördväärtus, nagu nähtub võrdsusest (a + b i) (a a 2 + b 2 − b a 2 + b 2 i) = (a + b i) (a − b i) a 2 + b 2 = 1. (\displaystyle (a+bi)\left(( \frac (a)(a^(2)+b^(2)))-(\frac (b)(a^(2)+b^(2)))i\right)=(\frac (( a+bi)(a-bi))(a^(2)+b^(2)))=1.) Sellest järeldub, et ratsionaalsed Gaussi arvud moodustavad välja, mis on kahemõõtmeline ruum üle (st ruutväli).

• Üldisemalt iga ruuduvaba täisarvu puhul d (\displaystyle d) Q (d) (\displaystyle \mathbb (Q) ((\sqrt (d)))) on ruutvälja laiend Q (\displaystyle \mathbb (Q) ).
• Ringikujuline väli Q (ζ n) (\displaystyle \mathbb (Q) (\zeta _(n))) saadud lisades Q (\displaystyle \mathbb (Q) )ürgne juur n- ühtsuse jõud. Väli peab sisaldama kõiki selle jõude (st kõiki juuri nühtsuse jõud), on selle mõõde läbi Q (\displaystyle \mathbb (Q) ) võrdub Euleri funktsiooniga φ (n) (\displaystyle \varphi (n)).
• Reaal- ja kompleksarvudel on lõpmatu jõud ratsionaalarvude suhtes, seega ei ole need arvuväljad. See tuleneb loendamatusest: iga numbriväli on loendatav.
• Kõigi algebraliste arvude väli A (\displaystyle \mathbb (A) ) ei ole numbriline. Kuigi laienemine A ⊃ Q (\displaystyle \mathbb (A) \supset \mathbb (Q)) algebraline, see ei ole lõplik.

Numbrivälja täisarvu ring

Kuna numbriväli on välja algebraline laiend Q (\displaystyle \mathbb (Q) ), mis tahes selle element on mõne ratsionaalsete kordajatega polünoomi juur (st see on algebraline). Lisaks on iga element täisarvuliste kordajatega polünoomi juur, kuna kõiki ratsionaalseid koefitsiente saab korrutada nimetajate korrutisega. Kui see element on mõne täisarvu koefitsientidega ühtse polünoomi juur, nimetatakse seda täisarvelemendiks (või algebraliseks täisarvuks). Mitte kõik arvuvälja elemendid ei ole täisarvud: näiteks on lihtne näidata, et ainsad elemendid on täisarvud Q (\displaystyle \mathbb (Q) ) on tavalised täisarvud.

Saab tõestada, et kahe algebralise täisarvu summa ja korrutis on jällegi algebraline täisarv, seega moodustavad täisarvu elemendid arvuvälja alamringi K (\displaystyle K), kutsus terve sõrmus väljad K (\displaystyle K) ja tähistatakse . Väli ei sisalda nulljagajaid ja see omadus pärineb alamringile üleminekul, seega on täisarvude ring integraal; eraringi väli O K (\displaystyle (\mathcal (O))_(K))- see on väli ise K (\displaystyle K). Mis tahes arvuvälja täisarvude ringil on kolm järgmist omadust: see on terviklikult suletud, Noetheri ja ühemõõtmeline. Selliste omadustega kommutatiivset sõrmust nimetatakse Richard Dedekindi järgi Dedekindi rõngaks.

Praimeri lagunemine ja klassirühm

Suvalises Dedekindi ringis toimub nullist erineva ideaalide ainulaadne lagunemine algarvude korrutiseks. Kuid mitte iga täisarvude ring ei rahulda faktoriaalsuse omadust: juba ruutvälja täisarvude rõnga puhul O Q (− 5) = Z [ − 5 ] (\displaystyle (\mathcal (O))_(\mathbb (Q) ((\sqrt (-5))))=\mathbb (Z) [(\sqrt ( -5))]) lagunemine ei ole ainulaadne:

6 = 2 ⋅ 3 = (1 + - 5) (1 - - 5) (\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+(\sqrt (-5)))(1-(\sqrt (-5) )))

Sisestades sellele rõngale normi, saame näidata, et need laiendused on tõepoolest erinevad, see tähendab, et üht ei saa teisest ümberpööratava elemendiga korrutades.

Faktoraalsuse omaduse rikkumise astet mõõdetakse ideaalklasside rühma abil, see rühm on täisarvude ringi puhul alati lõplik ja selle järjekorda nimetatakse klasside arvuks.

Numbriväljade alused

Kogu alus

Kogu alus numbriväli F kraadid n- seda on palju

B = {b 1 , …, b n}

alates n täisarvuväljade ringi elemendid F, nii et täisarvude ringi mis tahes element O F väljad F Ainus viis selle kirjutamiseks on kui Z- elementide lineaarne kombinatsioon B; ehk siis kellelegi x alates O F on ainult üks lagunemine

x = m 1 b 1 + … + m n b n,

Kus m i- tavalised täisarvud. Sel juhul mis tahes element F saab kirjutada kui

m 1 b 1 + … + m n b n,

Kus m i- ratsionaalsed arvud. Pärast seda on terved elemendid F eristuvad selle omaduse poolest, et need on täpselt need elemendid, mille jaoks kõik m i terve.

Kasutades selliseid tööriistu nagu lokaliseerimine ja Frobeniuse endomorfism, saab sellise aluse konstrueerida mis tahes arvuvälja jaoks. Selle konstruktsioon on paljude arvutialgebrasüsteemide sisseehitatud funktsioon.

Võimsuse alus

Lase F- kraadi numbriväli n. Kõigi võimalike aluste hulgas F(Kuidas K-vektorruum), on olemas võimsusbaasid, see tähendab vormi alused

Bx = {1, x, x 2 , …, x n−1 }

mõne jaoks x ∈ F. Primitiivse elemendi teoreemi järgi selline x on alati olemas, seda nimetatakse primitiivne element see laiendus.

Norm ja jälg

Algebraline arvuväli on lõpliku mõõtmega vektorruum üle Q (\displaystyle \mathbb (Q) )(tähistame selle mõõtmeid kui n (\displaystyle n)) ja korrutamine suvalise väljaelemendiga on selle ruumi lineaarne teisendus. Lase e 1 , e 2 , … e n (\displaystyle e_(1),e_(2),\ldots e_(n))- mingi alus F, siis teisendus x ↦ α x (\displaystyle x\mapsto \alpha x) vastab maatriksile A = (a i j) (\displaystyle A=(a_(ij))), mille määrab tingimus

α e i = ∑ j = 1 n a i j e j , a i j ∈ Q . (\displaystyle \alpha e_(i)=\sum _(j=1)^(n)a_(ij)e_(j),\quad a_(ij)\in \mathbf (Q) .)

Selle maatriksi elemendid sõltuvad aluse valikust, kuid kõik maatriksi invariandid, nagu determinant ja jälg, ei sõltu sellest. Algebraliste laiendite kontekstis nimetatakse elemendi korrutusmaatriksi determinanti norm see element (tähistatud N (x) (\displaystyle N(x))); maatriksi jälg - järgmine element(tähistatud Tr (x) (\displaystyle (\text(Tr))(x))).

Elemendi jälg on lineaarne funktsioon F:

Tr (x + y) = Tr (x) + Tr (y) (\displaystyle (\text(Tr))(x+y)=(\text(Tr))(x)+(\text(Tr)) (y)) Ja Tr (λ x) = λ Tr (x) , λ ∈ Q (\displaystyle (\text(Tr))(\lambda x)=\lambda (\text(Tr))(x),\lambda \in \mathbb (Q) ).

Norm on multiplikatiivne ja homogeenne funktsioon:

N (x y) = N (x) ⋅ N (y) (\displaystyle N(xy)=N(x)\cdot N(y)) Ja N (λ x) = λ n N (x) , λ ∈ Q (\displaystyle N(\lambda x)=\lambda ^(n)N(x),\lambda \in \mathbb (Q) ).

Selles aluses saate valida täisarvu algebralise arvuga (st täisarvude ringi elemendiga) korrutamise, mis vastab täisarvu elementidega maatriksile. Seetõttu on täisarvude ringi mis tahes elemendi jälg ja norm täisarvud.

Näide normi kasutamisest

Lase d (\displaystyle d)- - täisarvuline element, kuna see on redutseeritud polünoomi juur x 2 − d (\displaystyle x^(2)-d)). Selle põhjal korrutatakse a + b d (\displaystyle a+b(\sqrt (d))) vastab maatriksile

(a d b b a) (\displaystyle (\begin(pmatrix)a&db\\b&a\end(pmatrix)))

Seega N (a + b d) = a 2 − d b 2 (\displaystyle N(a+b(\sqrt (d)))=a^(2)-db^(2)). Ringi elementide puhul võtab see norm täisarvulisi väärtusi. Norm on multiplikatiivse rühma homomorfism Z [ d ] (\displaystyle \mathbb (Z) [(\sqrt (d))]) korduva rühma kohta Z (\displaystyle \mathbb (Z) ), seetõttu saab rõnga ümberpööratavate elementide norm olla võrdne ainult 1 (\displaystyle 1) või − 1 (\displaystyle -1). Pelli võrrandi lahendamiseks a 2 − d b 2 = 1 (\displaystyle a^(2)-db^(2)=1), piisab, kui leida kõik täisarvude ringi ümberpööratavad elemendid (nimetatakse ka ringühikud) ja tuvastage nende hulgast need, millel on norm 1 (\displaystyle 1). Dirichlet' ühtsuse teoreemi kohaselt on antud ringi kõik pööratavad elemendid ühe elemendi astmed (kuni korrutamiseni − 1 (\displaystyle -1)), seega piisab Pelli võrrandi kõigi lahenduste leidmiseks ühest põhilahendusest.

Vaata ka

Kirjandus

• H. Koch. Algebraline arvuteooria. - M.: VINITI, 1990. - T. 62. - 301 lk. - (Teaduse ja tehnika tulemused. Sari “Matemaatika kaasaegsed probleemid. Põhisuunad.”).
• Chebotarev N.G. Galois' teooria alused. 2. osa. - M.: URSS toimetus, 2004.
• Weil G. Algebraline arvuteooria. Per. inglise keelest - M.: Toimetaja URSS, 2011.
• Serge Lang, Algebraline arvuteooria, teine ​​trükk, Springer, 2000

Matemaatika erinevates harudes, aga ka matemaatika rakendamisel tehnoloogias, tuleb sageli ette olukord, kus algebralisi tehteid ei sooritata mitte arvude, vaid erineva iseloomuga objektidega. Näiteks maatriksi liitmine, maatriksi korrutamine, vektorite liitmine, polünoomide operatsioonid, lineaarteisenduste operatsioonid jne.

Definitsioon 1. Rõngas on matemaatiliste objektide kogum, milles on määratletud kaks tegevust – “liitmine” ja “korrutamine”, mis seovad järjestatud elementide paarid nende “summa” ja “korrutisega”, mis on sama hulga elemendid. Need toimingud vastavad järgmistele nõuetele:

1.a+b=b+a(liitmise kommutatiivsus).

2.(a+b)+c=a+(b+c)(liitumise assotsiatiivsus).

3. Leidub nullelement 0 selline, et a+0=a, iga a.

4. Kellelegi a on vastandelement − a selline, et a+(−a)=0.

5. (a+b)c=ac+bc(vasakpoolne distributiivsus).

5".c(a+b)=ca+cb(õige jaotus).

Nõuded 2, 3, 4 tähendavad, et matemaatiliste objektide hulk moodustab rühma ja koos punktiga 1 on tegemist liitmise suhtes kommutatiivse (Abeli) rühmaga.

Nagu definitsioonist näha, siis rõnga ülddefinitsioonis korrutamisele piiranguid ei sea, välja arvatud liitmisega jaotus. Erinevates olukordades on aga vaja kaaluda lisanõuetega rõngaid.

6. (ab)c=a(bc)(korrutamise assotsiatiivsus).

7.ab=ba(korrutamise kommutatiivsus).

8. Üksiku elemendi 1 olemasolu, s.o. selline a·1=1· a=a, mis tahes elemendi jaoks a.

9. Iga elemendi elemendi jaoks a on pöördelement a−1 selline aa −1 =a −1 a= 1.

Erinevates ringides saab 6, 7, 8, 9 sooritada kas eraldi või erinevates kombinatsioonides.

Ringi nimetatakse assotsiatiivseks, kui tingimus 6 on täidetud, kommutatiivseks, kui tingimus 7 on täidetud, kommutatiivseks ja assotsiatiivseks, kui tingimus 8 on täidetud.

Sõrmuste näited:

1. Ruutmaatriksite komplekt.

Tõesti. Punktide 1-5, 5" täitmine on ilmne. Nullelement on nullmaatriks. Lisaks on täidetud punkt 6 (korrutamise assotsiatiivsus), punkt 8 (ühikelement on ühikmaatriks). Punktid 7 ja 9 ei ole täidetud, sest üldjuhul on ruutmaatriksite korrutamine mittekommutatiivne ja ka ruutmaatriksi pöördväärtus ei ole alati olemas.

2. Kõikide kompleksarvude hulk.

3. Kõigi reaalarvude hulk.

4. Kõigi ratsionaalarvude hulk.

5. Kõikide täisarvude hulk.

Definitsioon 2. Iga arvusüsteemi, mis sisaldab mis tahes kahe arvu summat, erinevust ja korrutist, nimetatakse numbrirõngas.

Näited 2-5 on numbrirõngad. Arvurõngad on ka kõik paarisarvud, samuti kõik täisarvud, mis jaguvad ilma jäägita mõne naturaalarvuga n. Pange tähele, et paaritute arvude komplekt ei ole ring, sest kahe paaritu arvu summa on paarisarv.

Definitsioon:

Jadadega määratletud p-adic täisarvude summa ja korrutis, mida nimetatakse p-adic täisarvudeks, mis on määratletud vastavalt jadade ja.

Et olla kindel selle definitsiooni õigsuses, peame tõestama, et jadad defineerivad mõned täisarvud – adic-arvud ja et need arvud sõltuvad ainult neid defineerivate jadade valikust, mitte aga nendest. Mõlemaid omadusi saab tõestada ilmse kontrolliga.

On ilmne, et antud adic täisarvude tehte definitsiooniga moodustavad nad kommunikatiivse rõnga, mis sisaldab alamarvuna ratsionaalsete täisarvude ringi.

Täisarvude adic arvude jagatavus on defineeritud samamoodi nagu iga teise ringi puhul: kui on olemas selline täisarv adic arv,

Jagamise omaduste uurimiseks on oluline teada, mis on need täisarvud - adic-arvud, mille jaoks on olemas pöördtäisarvud - adic-arvud. Selliseid arve nimetatakse ühikuteguriteks või ühikuteks. Me nimetame neid adic-üksusteks.

1. teoreem:

Täisarv on adic arv, mis on määratletud jadaga siis ja ainult siis, kui see on ühik millal.

Tõestus:

Olgu üks, siis on olemas täisarv – selline adic number, et. Kui see on määratud järjestusega, tähendab tingimus seda. Eelkõige ja seetõttu, Vastupidi, olgu See tuleneb kergesti tingimusest, et, nii et. Seetõttu võib iga n puhul leida sellise, et võrdlus kehtib. Sellest ajast ja siis. See tähendab, et jada defineerib mingi täisarvu – adic number Võrdlused näitavad, et s.t. mis on üksus.

Tõestatud teoreemist järeldub, et täisarv on ratsionaalne arv. Seda peetakse rõnga elemendiks siis ja ainult siis, kui on ühik millal. Kui see tingimus on täidetud, siis see sisaldub. Sellest järeldub, et iga ratsionaalne täisarv b jagub sellise in-ga, st. et mis tahes ratsionaalarvu kujul b/a, kus a ja b on täisarvud ja sisalduvad selles vormis, nimetatakse -täisarvudeks. Nad moodustavad ilmse rõnga. Meie tulemuse saab nüüd sõnastada järgmiselt:

Tagajärg:

Adic täisarvude ring sisaldab alamringi, mis on isomorfne ratsionaalsete täisarvude ringiga.

Murdarvud p-adic arvud

Definitsioon:

Vormi murdosa k >= 0 määratleb murdosalise p-adic arvu või lihtsalt p-adic arvu. Kaks murdosa ja, defineerige sama p-adic arv, kui c.

Kõigi p-adic arvude kogum on tähistatud p-ga. Lihtne on kontrollida, kas liitmise ja korrutamise toimingud jätkuvad p-st p-ni ja muudavad p väljaks.

2.9. Teoreem. Iga p-adic numbrit saab vormil üheselt esitada

kus m on täisarv ja rõnga p ühik.

2.10. Teoreem. Iga nullist erinevat p-adic numbrit saab vormil üheselt esitada

Omadused: P-adic arvude väli sisaldab ratsionaalarvude välja. Pole raske tõestada, et iga täisarv p-adic number, mis ei ole p kordne, on tsüklis p pööratav ja p kordne on üheselt kirjutatud kujul, kus x ei ole p kordne ja on seetõttu pööratav, a . Seetõttu saab välja p mis tahes nullist erineva elemendi kirjutada kujul, kus x ei ole p kordne ja m on suvaline; kui m on negatiivne, siis täisarvude p-adic arvude esitamise põhjal p-ararvude süsteemis numbrite jadana saame sellise p-adic arvu kirjutada jadana ehk formaalselt esitada kui p-arv murd, mille koma järel on lõplik arv numbreid ja võib-olla lõpmatu arv nullist erinevaid kohti enne koma. Selliste arvude jagamist saab teha ka sarnaselt “kooli” reegliga, kuid alustades numbri madalamatest, mitte kõrgematest numbritest.