Isomorfismi rühma ringvälja määratlus. Rühmade, rõngaste, väljade homomorfismid

27.06.2020

Definitsioon 37. Mittetühi alamhulk N väljad R nimetatakse vähemalt kahte elementi sisaldavat alamvälja väljad R, Kui N on väli samade toimingute suhtes kui väli R.

10. teoreem(alavälja kriteerium).

Lase R - väli, N≠ Æ, ∣ N∣≥2 , N Í R. N on välja alamväli R siis ja ainult siis, kui on täidetud järgmised tingimused:

1) mis tahes h 1, h 2∈H: h 1 – h 2∈H;

2) mis tahes h 1, h 2∈H: h 1 h 2∈H;

3) kellelegi h∈H# ∃ h -1∈H#.

Tõestus. Vajadus. Lase N– välja alamväli R. Siis definitsiooni järgi 37 N- väli. Seega N on Abeli rühm. Tähendab, N on lisamise ajal suletud ja mis tahes h∈H ∃-h∈H st tingimus 1) on täidetud. Pealegi, H# on korduv Abeli rühm. See tähendab, et tingimused 2) ja 3) on täidetud.

Adekvaatsus. Olgu tingimused 1), 2) ja 3) täidetud. Näitame seda N– välja alamväli R. Selle näitamisest piisab N- väli. Tingimusest 1) järeldub, et N– lisaaine Abeli rühma alarühm R. Seega N on Abeli rühm. Tingimustest 2) ja 3) on meil N# – multiplikatiivse Abeli rühma alamrühm P# . Sellepärast N# on korduv Abeli rühm. Pealegi, kuna NÍ R ja sisse R jaotusseadused on siis täidetud N jaotusseadused on samuti täidetud. Seega N– väli ja seetõttu N– välja alamväli R.

Teoreem on tõestatud.

Definitsioon 38.Üks-ühele kaardistamine φ väljad R põllul R helistas isomorfne kaardistamine või isomorfism, kui on täidetud 2 tingimust:

1) mis tahes a, b∈Р φ(a+b)=φ (a)+φ (b);

2) mis tahes a, b∈Р φ(a⋅b)=φ (a)⋅φ (b).

Töö lõpp -

See teema kuulub jaotisesse:

Hulgateooria elemendid Hulga mõiste. Alamhulk. Määra toimingud

Matemaatika koolikursusel käsitleti tehteid arvudega Samal ajal pandi paika mitmeid nende tehte omadusi.. Koos arvudega tehtavatega arvestati ka koolikursusel.. Algebrakursuse põhieesmärk on. algebrate ja algebrasüsteemide uurimine Algebrakursus leiab ulatusliku..

Kui vajate sellel teemal lisamaterjali või te ei leidnud seda, mida otsisite, soovitame kasutada otsingut meie tööde andmebaasis:

Mida teeme saadud materjaliga:

Kui see materjal oli teile kasulik, saate selle oma sotsiaalvõrgustike lehele salvestada:

Kõik selle jaotise teemad:

Euleri-Venni diagrammid
Nii igapäevaelus kui ka teadusuuringutes peame sageli arvestama asjade kogumitega, objektide süsteemidega jne. Kõikidel juhtudel on vihjatud, et mõned

Komplekttehte omadused
Definitsiooni 1 kohaselt on hulgad A ja B võrdsed siis ja ainult siis, kui A⊆B ja B⊆A.

Teoreem 1. Olgu
Hulkade otsene (kartesiaanne) korrutis

Definitsioon 11. Hulkade A ja B otsene (kartesiuslik) korrutis on hulk, mida tähistab AB (loe
Hulkade vahelised binaarsuhted

Definitsioon 14. Binaarne seos on järjestatud paaride hulk.
Matemaatikas kasutatakse objektide vaheliste suhete käsitlemisel mõistet "suhe". Näited

Factorset
Definitsioon 27. Binaarset seost R hulgal A nimetatakse ekvivalentsusrelatsiooniks, kui see on hulgal A refleksiivne, sümmeetriline, transitiivne. Definitsioon

Tellitud komplekt
Definitsioon 30. Binaarset seost R hulgal A nimetatakse järjestusrelatsiooniks, kui see on A suhtes antisümmeetriline ja transitiivne. Definitsioon 31. Bi

Funktsioon binaarseosena
Definitsioon 41. Hulkade A ja B vahelist binaarset seost f nimetatakse funktsionaalseks seoseks, kui alates (a,b)

Teoreem funktsioonide korrutise assotsiatiivsuse kohta
Definitsioon 50. Olgu f: XY, g: YZ funktsioonid. Töö

Pööratav kaardistamine
Definitsioon 52. Kaardistust nimetatakse identseks (või identiteediks), kui

Funktsiooni inverteeritavuse kriteerium
Teoreem 5. Olgu funktsioon. Funktsioon f on inverteeritav f - beek

Matemaatilise induktsiooni meetod
Definitsioon 1. Kahendalgebraline tehe mittetühjal hulgal M on seadus või reegel, mille kohaselt hulga M mis tahes kaks elementi

Poolrühm reduktsiooniga
Definitsioon 10. Mittetühja hulka M, millel on defineeritud binaaralgebraline tehe “∗”, nimetatakse grupoidiks. Määratud .

Taga
Rühmade lihtsamad omadused

Definitsioon 14. Mittetühja hulka G, mis on suletud binaaralgebralise tehte “∗” all, nimetatakse rühmaks, kui on täidetud järgmised aksioomid (rühmaaksioomid):
Alarühm. Alarühma kriteerium

Definitsioon 20. Rühma G mittetühja alamhulka H nimetatakse rühma G alamrühmaks, kui H on rühm sama operatsiooni suhtes kui rühm G, ja
Rühmade homomorfismid ja isomorfismid

Teoreem 8. Olgu (Hi | i∈I) mingi rühma G alamrühmade kogum. Siis A=i
Sõrmuste lihtsamad omadused

Definitsioon 27. Mittetühja hulka K, millel on defineeritud kahendalgebralised liitmise ja korrutamise operatsioonid, nimetatakse ringiks, kui on täidetud järgmised aksioomid (ac
Rõngaste homomorfismid ja isomorfismid

Definitsioon 34. Ringi K mittetühja alamhulka H nimetatakse rõnga K alamringiks, kui H on rõngas samade tehtetega nagu ring K
Väljade lihtsamad omadused

Definitsioon 36. Vähemalt kahte elementi sisaldavat hulka P, mis on suletud tehtetega “+” ja “⋅”, nimetatakse väljaks, kui on täidetud järgmised tingimused: 1) P
Kompleksarvu väljad

Väljal ℝ pole võrrandil kujul x2+1=0 lahendeid. Seetõttu on vaja rajada põld, mis oleks
kompleksarv

Väljal ℝ pole võrrandil kujul x2+1=0 lahendeid. Seetõttu on vaja rajada põld, mis oleks
Olgu z=(a, b)∈ℂ ja (x, 0)=x mis tahes x∈ℝ korral. Saame kompleksarvu z=(a, b) jaoks teise kuju

Olgu z=a+bi kompleksarv a, b∈ℝ. Esitame arvu z punktina tasapinnal M(a, b).
Trigonomeetrilisel kujul

Teoreem 4. Kompleksarvude korrutamisel trigonomeetrilisel kujul korrutatakse nende moodulid ja liidetakse nende argumendid.
Tõestus. Olgu z1

Teoreem 4. Kompleksarvude korrutamisel trigonomeetrilisel kujul korrutatakse nende moodulid ja liidetakse nende argumendid.
Moivre'i valem

Kompleksarvude liitmist, lahutamist, korrutamist ja jagamist on mugav teha algebralises vormis. Kuid astme n≥3 eksponentsiatsioon ja juure ekstraheerimine
Definitsioon 11. Olgu n∈ℕ. Kompleksarvu z n-s juur on kompleksarv z1, nii et z1

Ürgjuured
7. teoreemi kohaselt on ühtsuse n-s juurel täpselt n väärtust. Kuna 1=1⋅(cos 0+isin 0), siis

Polünoomi astme omadused
Definitsioon 19. Olgu K assotsiatiiv-kommutatiivne ring identiteediga, (

Terviklikkuse ala kohal
Teoreem 13. Kui K on terviklikkuse piirkond, siis K[x] on terviklikkuse piirkond.

Tõestus. Olgu K terviklikkuse piirkond. Näitame seda
Bezouti teoreem. Polünoomi juured

Definitsioon 20. Olgu K identiteediga assotsiatiiv-kommutatiivne ring. Nad ütlevad, et polünoom jagub polünoomiga
Tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetod

(Gaussi meetod).
Vaatleme üht peamist lineaarvõrrandisüsteemide lahendamise meetodit, mida nimetatakse tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetodiks või muul viisil.

Ja nende peamised omadused
1. Maatriksite liitmine.

Definitsioon 16. Olgu A=(aij), B=(bij) maatriksid suurusega m×n üle välja P. Sum
Maatriksvõrrandid

Definitsioon 22. Vormi n-ndat järku maatriksit nimetatakse identsusmaatriksiks.
Märkus 9. Kui A –

Permutatsioonipaarsuse teoreem
Definitsioon 27. Olgu M=(1,2,…,n). Hulgi M permutatsioon või n-nda astme permutatsioon on hulk M, mille elementide asukoht on etteantud.

Teise ja kolmanda järgu määrajad
Olgu A= n-ndat järku maatriks üle välja P. Maatriksi A elementidest koostame kõik võimalikud korrutised

Algebraliste täiendite seos mollidega
Olgu Δ = = .

Definitsioon 31. Kui determinandis Δ cgr
Maatriksite korrutise determinant

Teoreem 9. Olgu A ja B n-ndat järku maatriksid üle välja P. Siis |AB|=|A|∙|B|, s.o. maatriksite korrutise determinant on võrdne determinantide korrutisega

Pöördmaatriksi arvutamise valem Teoreem 10. Olgu A= n-ndat järku maatriks üle välja P. Kui determinant Crameri valemid Teoreem 11. Olgu (1) n lineaarvõrrandist koosnev süsteem n tundmatuga väljal P, A= Asjaolu, et isomorfismi mõiste väljendab tõepoolest kõigi vaadeldavate hulkade omaduste samasust, võib sõnastada järgmise väite kujul: Kui komplektid M Teoreem 10. Olgu A= n-ndat järku maatriks üle välja P. Kui determinant Ja Kui komplektid M" Kui komplektid on mõne suhtesüsteemi suhtes isomorfsed Teoreem 11. Olgu (1) n lineaarvõrrandist koosnev süsteem n tundmatuga väljal P, A= S

, siis hulga mis tahes omadusi

, mis on sõnastatud süsteemisuhete kaudu Teoreem 10. Olgu A= n-ndat järku maatriks üle välja P. Kui determinant Crameri valemid Teoreem 11. Olgu (1) n lineaarvõrrandist koosnev süsteem n tundmatuga väljal P, A=(ja seega ka süsteemi suhete kaudu määratletud suhted Teoreem 10. Olgu A= n-ndat järku maatriks üle välja P. Kui determinant), kantakse komplekti Teoreem 10. Olgu A= n-ndat järku maatriks üle välja P. Kui determinant, ja tagasi. Teoreem 11. Olgu (1) n lineaarvõrrandist koosnev süsteem n tundmatuga väljal P, A=.

Uurime seda olukorda konkreetse näite abil. Lasta komplektidena Crameri valemid seos "rohkem kui" on määratletud ja nad on selle seose suhtes isomorfsed; siis kui tellitud, st kui sisse Teoreem 11. Olgu (1) n lineaarvõrrandist koosnev süsteem n tundmatuga väljal P, A= Crameri valemid a Crameri valemid b Sektsiooni omadused 1) ja 2) on täidetud, siis on need ka täidetud Teoreem 10. Olgu A= n-ndat järku maatriks üle välja P. Kui determinant Tõestame omadust 1). Lase Teoreem 10. Olgu A= n-ndat järku maatriks üle välja P. Kui determinant a" a = b, a > b, b > a b" Teoreem 10. Olgu A= n-ndat järku maatriks üle välja P. Kui determinant- elemendid Teoreem 11. Olgu (1) n lineaarvõrrandist koosnev süsteem n tundmatuga väljal P, A= säilitab "rohkem" suhte. See tähendab, et üks suhetest on rahul Lasta komplektidena = seos "rohkem kui" on määratletud ja nad on selle seose suhtes isomorfsed; siis kui, Lasta komplektidena > seos "rohkem kui" on määratletud ja nad on selle seose suhtes isomorfsed; siis kui, seos "rohkem kui" on määratletud ja nad on selle seose suhtes isomorfsed; siis kui > Lasta komplektidena. Kui sisse Teoreem 11. Olgu (1) n lineaarvõrrandist koosnev süsteem n tundmatuga väljal P, A= neist täideti rohkem kui üks, siis kuvamisel seose "rohkem kui" säilimisest Teoreem 11. Olgu (1) n lineaarvõrrandist koosnev süsteem n tundmatuga väljal P, A=- elemendid Teoreem 10. Olgu A= n-ndat järku maatriks üle välja P. Kui determinant jaoks oleks vaja sooritada rohkem kui üks seos a Crameri valemid b, mis on vastuolus tingimusega 1).

Tõestame omadust 2). Kui Lasta komplektidena > seos "rohkem kui" on määratletud ja nad on selle seose suhtes isomorfsed; siis kui Crameri valemid seos "rohkem kui" on määratletud ja nad on selle seose suhtes isomorfsed; siis kui > c", siis ka a > b Crameri valemid b > c. Tegelikult sisse Teoreem 10. Olgu A= n-ndat järku maatriks üle välja P. Kui determinant seal peab olema a > c. Tähendab, Lasta komplektidena > c".

Käsitleme nüüd rõngaste ja väljade rühmade isomorfismi. Tänu sellele, et on suhe a + b = c Crameri valemid ab = c vastama lisanõuetele, mis mis tahes a Crameri valemid b on üks ja ainus c, mille jaoks a + b = c või ab = c(need kaks nõuet on sisuliselt kaks täiendavat aksioomi) ja eeldatakse, et need nõuded on täidetud Teoreem 10. Olgu A= n-ndat järku maatriks üle välja P. Kui determinant, ja sisse Teoreem 11. Olgu (1) n lineaarvõrrandist koosnev süsteem n tundmatuga väljal P, A=, saab rõngaste ja väljade rühmade isomorfismi definitsiooni definitsiooniga võrreldes lihtsustada, nimelt nõuda põhisuhete säilimist ainult siis, kui alates Teoreem 10. Olgu A= n-ndat järku maatriks üle välja P. Kui determinant To Teoreem 11. Olgu (1) n lineaarvõrrandist koosnev süsteem n tundmatuga väljal P, A=. Piirdudes rõngaste ja väljadega, mida läheb vaja hiljem numbriliste domeenide määratlemisel (rühmade juhtum erineb vaadeldavast ainult selle poolest, et kahe asemel on üks tehe), saame seega:

Ring (või väli) R helistas isomorfne rõnga suhtes(vastavalt valdkonnas) R"(kirje), kui on olemas üks-ühele vastendamine R- elemendid R", milles mis tahes elementide summa ja korrutis R vastavad vastavate elementide summale ja korrutisele R".

Näitame, et see definitsioon on ülddefinitsiooni erijuhtum. Selleks peate lihtsalt veenduma, et pöördvõrdeline kaardistamine R"- elemendid R salvestab ka summa ja toote. Laske sisse R" meil on: Lasta komplektidena + seos "rohkem kui" on määratletud ja nad on selle seose suhtes isomorfsed; siis kui = c" ja elemendid Lasta komplektidena, seos "rohkem kui" on määratletud ja nad on selle seose suhtes isomorfsed; siis kui, c" kui kuvatakse tagurpidi, vastavad a, b, c alates R. Peame seda tõestama a + b = c. Aga kui a + b = d ≠ c, siis tuleneks see eelmises lõigus antud määratlusest Lasta komplektidena + seos "rohkem kui" on määratletud ja nad on selle seose suhtes isomorfsed; siis kui = d" ≠ c", mis on vastuolus liitmisoperatsiooni unikaalsusega R"

Vaatleme väga lühidalt rõngaste ja väljade homomorfismide küsimust.

Lase R 1 = (R 1 , +, ⋅, 0, 1 ) Ja R 2 = (R 2, +, ⋅, 0, 1 ) - sõrmused.

Definitsioon 2.9. Nimetatakse vastendus f: R 1 → R 2 ring homomorfism(tsükkel R 1 ringiks R 1), kui f(x + y) = f(x) + f(y), f(x ⋅ y) = f(x) ⋅ f(y) mis tahes x, y ∈ korral R 1, st. tsükli R 1 mis tahes kahe elemendi summa ja korrutise kujutis kaardistuses f võrdub vastavalt nende kujutiste summa ja korrutisega ringis R 2 .

Kui vastendus f on sürjektiivne (vastavalt bijektiivne), siis seda nimetatakse epimorfism (vastavalt isomorfism ) rõngad (rõngad R 1 sõrmuse kohta R 2)

Näide 2.25. Mõelgem R 1 = (ℤ, +, ⋅, 0, 1) on täisarvude ring - ja ℤ k = (ℤ k, ⊕ k, ⨀ k, 0, 1) on mooduli k jääkide ring. Defineerime vastenduse f: ℤ → ℤ k järgmiselt: iga täisarvu m korral on kujutis f(m) võrdne m jäägiga, mis on jagatud k-ga. Oleme juba varem tõestanud (vt näide 2.21), et mis tahes täisarvude m ja n korral kehtib võrdus f(m + n) = f(m) ⊕ k f(n). Sarnaselt argumenteerides saame näidata, et iga täisarvutüübi puhul kehtib ka võrdus f(m ⋅ n) = f(m) ⨀ k f(n). Võttes arvesse, et vastendus f on sürjektiivne, jõuame järeldusele, et see on täisarvude ringi homomorfism jääkide mooduli k ringiga ℤ k. #

Ilma tõestuseta sõnastame mõned teoreemid rõngaste (ja väljade) homomorfismide ja isomorfismide kohta. Kõiki neid väiteid saab tõestada analoogia põhjal vastavate teoreemidega rühmade homomorfismide ja isomorfismide kohta.

Teoreem 2.20. Lase R 1 ja R 2 - suvalised rõngad. R 1 → R Kui f:

2 on siis homomorfism R nullrõnga kujutis R 1 kaardistuse f all on rõnga null 0 ) = 0 ;
2, st. f( R ringüksuse pilt R 1 kaardistuse f all on rõnga null 1 ) = 1 ;
1, kui kuvatakse f, on rõnga ühik R iga rõnga elemendi x kohta
1 elemendile x vastandliku elemendi kujutis on võrdne elemendi x kujutisele vastandliku elemendiga, s.o. f(-x) = -f(x); R 1 ja R kui sõrmused R 1 on väljad, siis rõnga iga elemendi x kohta

1 elemendi pöördkujutis elemendi x korrutamise teel võrdub elemendi x kujutisega pöördvõrdelise elemendiga, s.o. f(x-1) = -1 Teoreem 2.21 R . Kui f on rõnga homomorfism ringis K ringis . Kui f on rõnga homomorfism , a g on rõnga homomorfism L R , siis on vastendite f॰g koostis rõnga homomorfism , a g on rõnga homomorfism .

, ringis Teoreem 2.22. R 1 → R Kui f: R 1 sõrmuse kohta R 2 - rõnga isomorfism R 2, siis on kaardistus f -1 ringi isomorfism R 1 . #

2 sõrmuse kohta Nagu rühmade puhul, on defineeritud rõnga homomorfse kujutise ja isomorfsete rõngaste mõisted. Nimelt sõrmus TO R nimetatakse sõrmuse homomorfseks kujutiseks R , kui on olemas ring homomorfism ringis sõrmuse peal R Crameri valemid ringis . Kaks sõrmust R ≅ ringis nimetatakse isomorfseteks ja kirjutatakse

, kui üks neist on isomorfism teisega.

Nii näiteks on jääkide ring mooduli k täisarvude ringi homomorfne kujutis homomorfismiga, mis on määratletud kaardiga, mis seostab iga täisarvuga m ülejäänud osa m jagamisest k-ga.

Vaatleme üht huvitavat välja isomorfismi näidet.. Nii nagu näites 2.22, seostame kompleksarvu a + bi maatriksiga f(a + bi) = . Saame vastenduse f, mis, nagu juba tõestatud, on süstimine ja a(0) = a(0 + 0 ⋅ i) = 0, kus 0 on nullmaatriks. Pange tähele, et kuna näidatud tüüpi maatriksi determinant on võrdne a 2 + b 2, on kõigi selliste maatriksite hulgas ainult null ühega nulldeterminant.

Lisaks on lihtne kontrollida, kas selliste maatriksite hulk on maatriksite liitmise ja korrutamise operatsioonide all suletud, sisaldab (nagu juba märgitud) null- ja identsusmaatriksit, samuti koos iga maatriksiga A maatriksit -A ja koos iga nullist erineva maatriksiga selle pöördmaatriks. 2 .

See tähendab, et maatriksite hulk kujul , a, b, ∈ ℝ moodustab maatriksite liitmise ja korrutamise operatsioonidega välja. 2 Tähistame seda M (a, b)

Näitest 2.22 järeldub, et kompleksarvude välja multiplikatiivne rühm on isomorfne välja M (a,b) kordamisrühmaga.

. Sest

f[(a+bi) + (c+di)] = f((a+c) + (b+d)i] = 2 F(a+bi) + f(c+di), 2 siis on kompleksarvude välja aditiivne rühm isomorfne välja M (a,b) aditiivse rühmaga

. Seega saame, et kompleksarvude väli on isomorfne maatriksite väljaga M (a, b). See isomorfism on kompleksarvude algebra maatriksesituse aluseks, millel on mõju selle algebra arvutirakendustele. H Definitsioon 34. ringis helistas Mittetühi alamhulk Definitsioon 34. ringis rõngad H alamring ringis.

, Kui on ring samade toimingute all nagu ring

Lase ringis 9. teoreem (alakriteerium).- sõrmus, H- mittetühi alamhulk ringis K.H

1) mis tahes h 1, h 2∈H (on sõrmuse alamring)∈H;

2) mis tahes h 1, h 2∈siis ja ainult siis, kui on täidetud järgmised tingimused:∈H.

Tõestus. Vajadus. Lase (alakriteerium). h 1 - h 2 H h 1 ⋅ h 2 sõrmuse alamring N K. H h 1 ⋅ h 2 Siis N– ring samade toimingute suhtes nagu h 1, h 2∈H∃ Tähendab,∈H Crameri valemid h 1+(Tähendab,)=on sõrmuse alamring∈H.

on liitmise ja korrutamise tehte all suletud, st tingimus 2) on täidetud. Lisaks mis tahes -h 2 h 1 - h 2 H h 1 ⋅ h 2 Adekvaatsus. Olgu tingimused 1) ja 2) täidetud. Tõestame seda N - Definitsiooni 34 järgi piisab selle kontrollimisest

N - N ring. ringis Kuna tingimus 1) on täidetud, siis on teoreem 7", ringis on lisaainete rühma alamrühm N. Veelgi enam, kuna liitmise toiming on kommutatiivne N, siis sisse

"+" tehe on samuti kommutatiivne. Seega ringis on Abeli rühm. N⊆ringis Järgmisena sisse N jaotusseadused on täidetud ja N. Niisiis, sisse N jaotusseadused on samuti täidetud. Seega näitasime seda H h 1 ⋅ h 2

Teoreem on tõestatud.

on sõrmus ja seetõttu– rõnga subring φ Definitsioon 34. ringis Definitsioon 35. ringis helistas Ekraan või ringis, kui on täidetud 2 tingimust:

1) mis tahes a, b∈homomorfne kaardistamine(a+b)=φ (a)+φ (b);

2) mis tahes a, b∈homomorfne kaardistamine(a⋅b)=φ (a)⋅φ (b).

homomorfism Rõngaste monomorfismi, epimorfismi, isomorfismi, endomorfismi ja automorfismi määratlused on sõnastatud sarnaselt rühmade vastavate definitsioonidega.

Märkus 11. Isomorfismi seos kõigi rõngaste hulgal on ekvivalentsusseos, mis jagab selle hulga disjunktilisteks klassideks - ekvivalentsusklassideks. Üks klass hõlmab neid ja ainult neid rõngaid, mis on üksteisega isomorfsed. Isomorfsetel rõngastel on samad omadused. Seetõttu on algebralisest vaatepunktist need eristamatud.

8. Väli.