Понятие кольца, простейшие свойства колец. Кольца

03.05.2020

В различных разделах математики, а также в применении математики в технике, часто встречается ситуация, когда алгебраические операции производятся не над числами, а над объектами иной природы. Например сложение матриц, умножение матриц, сложение векторов, операции над многочленами, операции над линейными преобразованиями и т.д.

Определение 1. Кольцом называется множество математических объектов, в котором определены два действия − "сложение" и "умножение", которые сопоставляют упорядоченным парам элементов их "сумму" и "произведение", являющиеся элементами того же множества. Данные действия удовлетворяют следующим требованиям:

1. a+b=b+a (коммутативность сложения).

2. (a+b)+c=a+(b+c) (ассоциативность сложения).

3. Существует нулевой элемент 0 такой, что a +0=a , при любом a .

4. Для любого a существует противоположный элемент −a такой, что a +(−a )=0.

5. (a+b)c=ac+bc (левая дистрибутивность).

5". c(a+b)=ca+cb (правая дистрибутивность).

Требования 2, 3, 4 означают, что множество математических объектов образует группу , а вместе с пунктом 1 мы имеем дело с коммутативной (абелевой) группой относительно сложения.

Как видно из определения, в общем определении кольца на умножения не накладывается никаких ограничений, кроме дистрибутивности со сложением. Однако при различных ситуациях возникает необходимость рассматривать кольца с дополнительными требованиями.

6. (ab)c=a(bc) (ассоциативность умножения).

7. ab=ba (коммутативность умножения).

8. Существование единичного элемента 1, т.е. такого a ·1=1·a=a , для любого элемента a .

9. Для любого элемента элемента a существует обратный элемент a −1 такой, что aa −1 =a −1 a= 1.

В различных кольцах 6, 7, 8, 9 могут выполняться как отдельно так и в различных комбинациях.

Кольцо называется ассоциативным, если выполняется условие 6, коммутативным, если выполнено условие 7, коммутативным и ассоциативным если выполнены условия 6 и 7. Кольцо называется кольцом с единицей, если выполнено условие 8.

Примеры колец:

1. Множество квадратных матриц.

Действительно. Выполнение пунктов 1-5, 5" очевидна. Нулевым элементом является нулевая матрица. Кроме этого выполняется пункт 6 (ассоциативность умножения), пункт 8 (единичным элементом является единичная матрица). Пункты 7 и 9 не выполняются т.к. в общем случае умножение квадратных матриц некоммутативна, а также не всегда существует обратное к квадратной матрице.

2. Множество всех комплексных чисел.

3. Множество всех действительных чисел.

4. Множество всех рациональных чисел.

5. Множество всех целых чисел.

Определение 2. Всякая система чисел, содержащая сумму, разность и произведение любых двух своих чисел, называется числовым кольцом .

Примеры 2-5 являются числовыми кольцами. Числовыми кольцами являются также все четные числа, а также все целые числа делящихся без остатка на некоторое натуральное число n. Отметим, что множество нечетных чисел не является кольцом т.к. сумма двух нечетных чисел является четным числом.

Непустое множество К, на котором заданы две бинарные операции-сложение (+) и умножение ( ), удовлетворяющие условиям:

1) относительно операции сложения К - коммутативнаятруппа;

2) относительно операции умножения К - полугруппа;

3) операции сложения и умножения связаны законом дистрибутивности, т. е. (a+b)с=ас+bс, с(a+b) =ca+cb для всех а, b, c K , называется кольцом (К,+, ).

Структура (К, +) называется аддитивной группой кольца. Если операция умножения коммутативна, т. е. ab=ba. для всех а , b , то кольцо называется коммутативным.

Если относительно операции умножения существует единичный элемент, который в кольце принято обозначать единицей 1,. то говорят, что К есть кольцо с единицей.

Подмножество L кольца называется подкольцом, если L - подгруппа аддитивной группы кольца и L замкнуто относительно операции умножения, т. е. для всех a, b L выполняется а+b L и ab L.

Пересечение подколец будет подкольцом. Тогда, как и в случае групп, подкольцом, порожденным множеством S K, называется пересечение всех подколец К, содержащих S.

1. Множество целых чисел относительно операций умножения и сложения (Z, +, )-коммутативное кольцо. Множества nZ целых чисел, делящихся на п, будет подкольцом без единицы при п>1.

Аналогично множество рациональных и действительных чисел - коммутативные кольца с единицей.

2. Множество квадратных матриц порядка п относительно-операций сложения и умножения матриц есть кольцо с единицей Е - единичной матрицей. При п>1 оно некоммутативное.

3. Пусть K-произвольное коммутативное кольцо. Рассмотрим всевозможные многочлены

с переменной х и коэффициентами а 0 , а 1 , а 2 , ..., а n , из К. Относительно алгебраических операций сложения и умножения многочленов- это коммутативное кольцо. Оно называется кольцом многочленов К от переменной х над кольцом К (например, над кольцом целых, рациональных, действительных чисел). Аналогично определяется кольцо многочленов K от т переменных как кольцо многочленов от одной переменной х т над кольцом K.

4. Пусть X - произвольное множество, К -произвольное кольцо. Рассмотрим множество всех функций f: Х К, определенных на множестве X со значениями в К Определим сумму и произведение функций, как обычно, равенствами

(f+g)(x)=f(x)+g(x); (fg)(x)=f(x)g(x),

где + и - операции в кольце К.

Нетрудно проверить, что все условия, входящие в определение кольца, выполняются, и построенное кольцо будет коммутативным, если коммутативно исходное кольцо K . Оно называется кольцом функций на множестве X со значениями в кольце К.

Многие свойства колец - это переформулированные соответствующие свойства групп и полугрупп, например: a m a n =a m + n , (а т) п =а тп для всех m , n и всех a .

Другие специфические свойства колец моделируют свойства чисел:

1) для всех a a 0=0 a=0;

2) .(-а)b=а(-b)=-(ab) ;

3) - a=(-1)a .

Действительно:

2) 0=a (аналогично (-a)b=-(ab));

3) используя второе свойство, имеем-a= (-a)1 =a(-1) = (-1)a .

Поле

В кольцах целых, рациональных и действительных чисел из того, что произведение ab=0, следует, что либо а =0, либо b =0. Но в кольце квадратных матриц порядка n >1 это свойство уже не выполняется, так как, например, = .

Если в кольце К ab=0 при а 0, b , то а называется левым, а b - правым делителем нуля. Если в К нет делителей нуля (кроме элемента 0, который является тривиальным делителем нуля), то K называется кольцом без делителей нуля.

1. В кольце функции f: R R на множестве действительных чисел R рассмотрим функции f 1 (x)=|x|+x; f 2 (x) =|x|-x. Для них f 1 (x) =0 при x и f 2 (x )=0 при x , а поэтому произведение f 1 (x) f 2 (x) - нулевая функция, хотя f 1 (x) и f 2 (x) . Следовательно, в этом кольце есть делители нуля.

2. Рассмотрим множество пар целых чисел (а, b), в котором заданы операции сложения и умножения:

(a 1 , b 1)+(a 2 , b 2)=(a 1 +a 2 , b 1 +b 2);

(a 1 , b 1)(a 2 , b 2)= (a 1 a 2 , b 1 b 2).

Это множество образует коммутативное кольцо с единицей (1,1) и делителями нуля, так как (1,0)(0,1)=(0,0).

Если в кольце нет делителей нуля, то в нем выполняется закон сокращения, т. е. ab=ac, а =с. Действительно, ab-ac=0 a(b-c)=0 (b-c)=0 b=c.

Пусть К - кольцо, с единицей. Элемент а называется обратимым, если существует такой элемент а -1 , для которого aa -1 =a -1 a=1 .

Обратимый элемент не может быть делителем нуля, так как. если ab =0 , то a -1 (ab) =0 (a -1 a)b=0 1b=0 b=0 (аналогично ba=0 ).

Теорема. Все обратимые элементы кольца К с единицей образуют группу относительно умножения.

Действительно, умножение в К ассоциативно, единица содержится во множестве обратимых элементов и произведение не выводит из множества обратимых элементов, так как если а и b обратимы, то
(аb) -1 =b -1 a -1 .

Важную алгебраическую структуру образуют коммутативные кольца К, в которых каждый ненулевой элемент обратим, т. е. относительно операции умножения множество K \{0} образует группу. В таких кольцах определены три операции: сложение, умножение и деление.

Коммутативное кольцо Р с единицей 1 0, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется полем.

Относительно умножения все отличные от нуля элементы поля образуют группу, которая называется мультипликативной группой поля.

Произведение аb -1 записывается в виде дроби и имеет смысл лишь при b 0 . Элемент является единственным решением уравнения bx=a. Действия с дробями подчиняются привычным для нас правилам:

Докажем, например, второе из них. Пусть х= и у= - решения уравнений bx=a, dy=c. Из этих уравнений следует dbx=da, bdy=bc bd(x+y)=da+bc t= - единственное решение уравнения bdt=da+bc.

1. Кольцо целых чисел не образует поля. Полем является множество рациональных и множество действительных чисел.

8.7. Задания для самостоятельной работы по главе 8

8.1. Определить, является ли операция нахождения скалярного произведения векторов n-мерного евклидового пространства коммутативной и ассоциативной. Обосновать ответ.

8.2. Определить, является ли множество квадратных матриц порядка n относительно операции умножения матриц, группой или моноидом.

8.3. Указать, какие из следующих множеств образуют группу относительно операции умножения:

а) множество целых чисел;

б) множество рациональных чисел;

в) множество действительных чисел, отличных от нуля.

8.4. Определить, какие из следующих структур образует множество квадратных матриц порядка n с определителем, равным единице: относительно обычных операций сложения и умножения матриц:

а) группу;

б) кольцо;

8.5. Указать, какую структуру образует множество целых чисел относительно операции умножения и сложения:

а) некоммутативное кольцо;

б) коммутативное кольцо;

8.6. Какую из перечисленных ниже структур образует множество матриц вида с действительными a и b относительно обычных операций сложения и умножения матриц:

а) кольцо;

8.7. Какое число нужно исключить из множества действительных чисел, чтобы оставшиеся числа образовывали группу относительно обычной операции умножения:

8.8. Выяснить, какую из следующих структур образует множество, состоящее из двух элементов a и e, с бинарной операцией, определенной следующим образом:

ee=e, ea=a, ae=a, aa=e.

а) группу;

б) абелеву группу.

8.9. Являются ли кольцом четные числа относительно обычных операций сложения и умножения? Обосновать ответ.

8.10. Является ли кольцом совокупность чисел вида a+b , где a и b – любые рациональные числа, относительно операций сложения и умножения? Ответ обосновать.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ГРУППЫ.

Опр1 .Пусть G не пустое множество элементов произвольной природы. G называется группой

1) На множестве G задана бао °.

2) бао ° ассоциативна.

3) Существует нейтральный элемент nÎG.

4) Для любого элемента из G симметричный ему элемент всегда существует и принадлежит такжеG.

Пример. Множество Z – чисел с операцией +.

Опр2 .Группа называется абелевой , если она коммутативна относительно заданной бао °.

Примеры групп:

1) Z,R,Q «+» (Z+)

Простейшие свойства групп

В группе существует единственный нейтральный элемент

В группе для каждого элемента существует единственный симметричный ему элемент

Пусть G - группа с бао °, тогда уравнения вида:

a°x=b и x°a=b (1) - разрешимы и имеют единственное решение.

Доказательство . Рассмотрим уравнения (1) относительно x. Очевидно, что для а $! а". Так как операция ° - ассоциативна, то очевидно x=b°a" - единственное решение.

34. ЧЕТНОСТЬ ПОДСТАНОВКИ*

Определение 1 . Подстановка называется четной , если она разлагается в произведение четного числа транспозиций, и нечетная в противном случае.

Предложение 1 .Подстановка

Является четной <=> - четная перестановка. Следовательно, количество четных подстановок

из n чисел равно n!\2.

Предложение 2 . Подстановки f и f - 1 имеют один характер четности.

> Достаточно проверить, что если - произведение транспозиций, то <

Пример:

ПОДГРУППА. КРИТЕРИЙ ПОДГРУППЫ.

Опр. Пусть G - группа c бао ° и не пустое подмножество HÌG, тогда H называют подгруппой группы G, если H -подгруппа относительно бао° (т.е. ° - бао на Н. И Н с этой операцией группа).

Теорема (критерий подгруппы). Пусть G - группа относительно операции°, Æ¹HÎG. H является подгруппой <=> "h 1 ,h 2 ÎH выполняется условие h 1 °h 2 "ÎH (где h 2 " - симметричный элемент к h 2).

Док-во. =>: Пусть H - подгруппа (нужно доказать, что h 1 °h 2 "ÎH). Возьмем h 1 ,h 2 ÎH, тогда h 2 "ÎH и h 1 °h" 2 ÎH (так как h" 2 - симметричный элемент к h 2).

<=: (надо доказать, что H - подгруппа).

Раз H¹Æ , то там есть хотя бы один элемент. Возьмем hÎH, n=h°h"ÎH, т.е. нейтральный элемент nÎH. В качестве h 1 берем n, а в качестве h 2 возьмём h тогда h"ÎH Þ " hÎH симметричный элемент к h также принадлежит H.

Докажем, что композиция любых элементов из Н принадлежит Н.

Возьмём h 1 , а в качестве h 2 возьмём h" 2 Þ h 1 °(h 2 ") " ÎH, Þ h 1 °h 2 ÎH.

Пример. G=S n , n>2, α - некоторый элемент из Х={1,…,n}. В качестве H возьмём не пустое множество H= S α n ={fÎ S n ,f(α)=α}, при действии отображения из S α n α остаётся на месте. Проверяем по критерию. Возьмём любые h 1 ,h 2 ÎH. Произведение h 1 . h 2 "ÎH, т.е H - подгруппа, которая называется стационарной подгруппой элемента α.

КОЛЬЦО, ПОЛЕ. ПРИМЕРЫ.

Опр. Пусть К непустое множество с двумя алгебраическими операциями: сложением и умножением. К называется кольцом , если выполняются следующие условия:

1) К- абелевагруппа(коммутативна относительно заданной бао °) относительно сложения;

2) умножение ассоциативно;

3) умножение дистрибутивно относительно сложения().

Если умножение коммутативно, то К называют коммутативным кольцом . Если относительно умножения есть нейтральный элемент, то К называют кольцом с единицей .

Примеры.

1)Множество Z целых чисел образует кольцо относительно обычных операций сложения и умножения. Это кольцо коммутативно, ассоциативно и обладает единицей.

2) Множества Q рациональных чисел и R действительных чисел являются полями

относительно обычных операций сложения и умножения чисел.

Простейшие свойства колец.

1. Так как К абелева группа относительно сложения, то на К переносятся простейшие свойства групп.

2. Умножение дистрибутивно относительно разности: a(b-c)=ab-ac.

Доказательство. Т.к. ab-ac+ac=ab и a(b-c)+ac=a((b-c)+c)=a(b-c+c)=ab, то a(b-c)=ab-ac.

3. В кольце могут быть делители нуля, т.е. ab=0, но отсюда не следует,что a=0 b=0.

Например, в кольце матриц размера 2´2, существуют элементы не равные нулю такие, что их произведение будет нуль: ,где - играет роль нулевого элемента.

4. a·0=0·а=0.

Доказательство. Пусть 0=b-b. Тогда a(b-b)=ab-ab=0. Аналогично 0·а=0.

5. a(-b)=(-a)·b=-ab.

Доказательство: a(-b)+ab=a((-b)+b)=a·0=0.

6. Если в кольце К существует единица и оно состоит более, чем из одного элемента, то единица не равна нулю, где 1─ нейтральный элемент при умножении; 0 ─ нейтральный элемент при сложении.

7. Пусть К кольцо с единицей, тогда множество обратимых элементов кольца образуют группу относительно умножения, которую называют мультипликативной группой кольца K и обозначают K* .

Опр. Коммутативное кольцо с единицей, содержащее не менее двух элементов, в котором любой отличный от нуля элемент обратим, называется полем .

Простейшие свойства поля

1. Т.к. поле - кольцо, то все свойства колец переносятся и на поле.

2. В поле нет делителей нуля,т.е. если ab=0 ,то a=0 или b=0.

Доказательство.

Если a¹0 ,то $ a -1 . Рассмотрим a -1 (ab)=(a -1 a)b=0 , а если a¹0 ,то b=0, аналогично если b¹0

3. Уравнение вида a´x=b, a¹0, b – любое, в поле имеет единственное решение x= a -1 b, или х=b/a.

Решение этого уравнения называется частным.

Примеры. 1)PÌC, P - числовое поле. 2)P={0;1};

Относительно сложения;

\forall a \in R\; \exists b \in R \left(a + b = b + a = 0\right)

- существование противоположного элемента относительно сложения;

(a \times b) \times c=a \times (b \times c)

- ассоциативность умножения;

\left\{\begin{matrix} a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c) \\ (b + c) \times a = (b \times a) + (c \times a) \end{matrix}\right.

- дистрибутивность .

Вместо символа $\times$ часто используют символ $\cdot$ , либо вовсе его опускают.

Простейшие свойства

Непосредственно из аксиом кольца можно вывести следующие свойства:

Основные понятия

Виды элементов кольца

Пусть в кольце есть элементы, отличные от нуля (кольцо не является тривиальным). Тогда левый делитель нуля - это ненулевой элемент $a$ кольца $R,$ для которого существует ненулевой элемент $b$ кольца $R,$ такой что $ab=0.$ Аналогично определяется правый делитель нуля. В коммутативных кольцах эти понятия совпадают. Пример: рассмотрим кольцо непрерывных функций на интервале $(-1, 1).$ Положим $f(x)=\max(0, x),$ $g(x)=\max(0, -x).$ тогда $f\ne0, g\ne0, fg=0,$ то есть $f, g$ являются делителями нуля. Здесь условие $f\ne0$ означает, что $f$ является функцией, отличной от нуля, но не означает, что $f$ нигде не принимает значение $0.$

Если $a$ – произвольный элемент кольца с единицей $R,$ то левым обратным элементом к $a$ называется $a^{-1}_{l}$ такой, что $a^{-1}_{l}a=1.$ Правый обратный элемент определяется аналогично. Если у элемента $a$ есть как левый, так и правый обратный элемент, то последние совпадают, и говорят, что $a$ обладает обратным элементом, который определён однозначно и обозначается $a^{-1}.$ Сам элемент называется обратимым элементом.

Подкольцо

Подмножество $A\subset R$ называется подкольцом $R,$ если $A$ само является кольцом относительно операций, определенных в $R.$ При этом говорят, что $R$ – расширение кольца $A.$ Другими словами, непустое подмножество $A\subset R$ является подкольцом, если

$A$ является аддитивной подгруппой кольца $R,$ то есть для любых $x, y \in A: x+y, -x \in A,$
$A$ замкнуто относительно умножения, то есть для любых $x, y \in A: xy \in A.$

Подкольцо наследует свойство коммутативности.

Непустое подмножество $I$ кольца $R$ называется левым идеалом , если:

$I$ является аддитивной подгруппой кольца, то есть сумма любых двух элементов из $I$ принадлежит $I,$ а также $a\in I\Rightarrow -a\in I.$

I замкнуто относительно умножения слева на произвольный элемент кольца, то есть для любого $a\in I,$ $r\in R$ верно $ra\in I.$

Из первого свойства следует и замкнутость I относительно умножения внутри себя, так что I является подкольцом.

Аналогично определяется правый идеал, замкнутый относительно умножения на элемент кольца справа.
Двусторонний идеал (или просто идеал ) кольца $R$ - любое непустое подмножество, являющееся одновременно левым, так и правым идеалом.

Также идеал кольца $R$ может определяться как ядро некоторого гомоморфизма $f: R \to R".$

Если $x$ - элемент кольца $R,$ то множество элементов вида $Rx$ (соответственно, $xR$ ) называется левым (соответственно, правым) главным идеалом , порождённым $x.$ Если кольцо $R$ коммутативно, эти определения совпадают и главный идеал, порождённый $x,$ обозначается $(x).$ Например, множество всех чётных чисел образует идеал в кольце целых чисел, этот идеал порождён элементом 2. Можно доказать, что все идеалы в кольце целых чисел являются главными .

Идеал кольца, не совпадающий со всем кольцом, называется простым , если факторкольцо по этому идеалу не имеет делителей нуля.
Идеал кольца, не совпадающий со всем кольцом и не содержащийся ни в каком большем идеале, не равном кольцу, называется максимальным .

Гомоморфизм

Гомоморфизм колец (кольцевой гомоморфизм) - это отображение, сохраняющее операции сложения и умножения. А именно, гомоморфизм из кольца $R$ в кольцо $S$ - это функция $f: R \to S,$ такая что

$f(a + b) = f(a) + f(b),$
$f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b), ~\forall a, b \in ~R.$

В случае колец с единицей иногда требуют также условия $f(1) = 1$ .

Гомоморфизм колец называется изоморфизмом , если существует обратный гомоморфизм колец. Любой биективный гомоморфизм колец является изоморфизмом. Автоморфизм - это гомоморфизм из кольца в себя, который является изоморфизмом. Пример: тождественное отображение кольца на себя является автоморфизмом.

Если $f:R\to S$ - гомоморфизм колец, множество элементов $R,$ переходящих в ноль, называется ядром $f$ (обозначается $\mathrm{ker} f$ ). Ядро любого гомоморфизма является двусторонним идеалом . С другой стороны, образ $f$ не всегда является идеалом, но является подкольцом $S$ (обозначается $\mathrm{im} f$ ).

Факторкольцо

Определение факторкольца по идеалу аналогично определению факторгруппы . Более точно, факторкольцо кольца $R$ по двустороннему идеалу $I$ - это множество классов смежности аддитивной группы $R$ по аддитивной подгруппе $I$ со следующими операциями:

$(a + I) + (b + I) = (a + b) + I,$
$(a + I)(b + I) = (ab) + I.$

Аналогично случаю групп, существует канонический гомоморфизм $p: R \to R/I,$ задаваемый как $x \mapsto x + I.$ Ядром при этом является идеал $I.$

Аналогично теореме о гомоморфизме групп существует теорема о гомоморфизме колец: пусть $f: R \to R",$ тогда $\mathrm{Im} f$ изоморфен факторкольцу по ядру гомоморфизма $\mathrm{Im} f \simeq A/\mathrm{Ker} f.$

Некоторые особые классы колец

Примеры

$\{ 0\}$ - тривиальное кольцо , состоящее из одного нуля. Это единственное кольцо, в котором ноль является мультипликативной единицей . Этот тривиальный пример полезно считать кольцом с точки зрения теории категорий , так как при этом в категориях колец возникает терминальный объект .
$\mathbb{Z}$ - целые числа (с обычным сложением и умножением). Это важнейший пример кольца, так как любое кольцо можно рассматривать как алгебру над $\Z$ . Также это начальный объект в категории Ring колец с единицей.
$\mathbb{Z}_n$ - кольцо вычетов по модулю натурального числа n . Это классические примеры колец из теории чисел. Кольцо вычетов является полем тогда и только тогда, когда число n простое . Соответствующие поля являются отправной точкой для построения теории конечных полей . Кольца вычетов также важны при исследовании структуры конечнопорождённых абелевых групп , их также можно использовать для построения p -адических чисел .
$\mathbb{Q}$ - кольцо рациональных чисел , являющееся полем. Это простейшее поле характеристики 0. Оно является основным объектом исследования в теории чисел. Пополнение его по различным неэквивалентным нормам даёт поля вещественных чисел $\R$ и p -адических чисел $\Q_p,$ где p - произвольное простое число .
Для произвольного коммутативного кольца $R$ можно построить кольцо многочленов от n переменных $R$ с коэффициентами в $R.$ В частности, $R[x][y]=R.$ Кольцо многочленов с целыми коэффициентами является универсальным кольцом многочленов, в том смысле что все кольца многочленов выражаются через тензорное произведение : $R = R \otimes \left(\Z\right).$
Кольцо подмножеств множества $X$ - это кольцо, элементами которого являются подмножества в $X$ . Операция сложения есть симметрическая разность , а умножение - пересечение множеств :

A + B = A \Delta B = (A\setminus B) \cup (B \setminus A),

A \cdot B = A \cap B.

Аксиомы кольца легко проверяются. Нулевым элементом является пустое множество, единичным - всё

X.

Все элементы кольца являются идемпотентами, то есть

A\cdot A = A.

Любой элемент является своим обратным по сложению:

A+A=0.

Кольцо подмножеств важно в теории булевых алгебр и теории меры , в частности в построении теории вероятностей .

Конструкции

Прямое произведение

Пусть R и S - кольца. Тогда произведение $R\times S$ можно снабдить естественной структурой кольца. Операции задаются следующим образом: для любых $r_1,r_2\in R$ , $s_1,s_2\in S:$

$(r_1,s_1)+(r_2,s_2)=(r_1+r_2,s_1+s_2),$
$(r_1,s_1)\cdot (r_2,s_2)=(r_1r_2,s_1s_2).$

Сходная конструкция существует для произведения произвольного семейства колец (сложение и умножение задаются покомпонентно).

Кольцо эндоморфизмов

Пусть A - абелева группа (групповая операция в дальнейшем записывается аддитивно). Тогда множество гомоморфизмов этой группы в себя (то есть эндоморфизмов) образует кольцо, обозначаемое End(A ) . Сумма двух гомоморфизмов определяется покомпонентно: $(f+g)(x)=f(x)+g(x),$ а произведение - как композиция гомоморфизмов: $(fg)(x)=f(g(x)).$ Если A - группа, не являющаяся абелевой, то $f+g,$ вообще говоря, не равно $g+f,$ тогда как сложение в кольце должно быть коммутативным.

Поле частных и кольцо частных

Пусть R - целостное кольцо , тогда следующая конструкция позволяет построить наименьшее поле , содержащее его. Поле частных кольца R - это множество классов эквивалентности формальных дробей $p/q,\; p,q\in R$ по следующему отношению эквивалентности :

${p_1 \over q_1}\sim {p_2 \over q_2}$ тогда и только тогда, когда ${p_1q_2}= {p_2q_1},$

с обычными операциями: $\scriptstyle{a \over b}+{c \over d}={ad+bc \over bd},\quad {a \over b}\cdot {c \over d}={ac \over bd}.$

Не вполне очевидно, что заданное отношение действительно является отношением эквивалентности: для доказательства приходиться воспользоваться целостностью кольца. Существует обобщение данной конструкции на произвольные коммутативные кольца. А именно, пусть S - мультипликативно замкнутая система в коммутативном кольце R (то есть подмножество, содержащее единицу и не содержащее нуля; произведение любых двух элементов из подмножества снова ему принадлежит). Тогда кольцо частных $S^{-1}R$ - это множество классов эквивалентности формальных дробей $r/s,\; r\in R, s\in S$ по отношению эквивалентности:

${r_1 \over s_1}\sim {r_2 \over s_2}$ тогда и только тогда, когда существует $s"\in S$ , такое что $s"{r_1s_2-r_2s_1}= 0.$

Также эту конструкцию называют локализацией кольца (так как в алгебраической геометрии она позволяет исследовать локальные свойства многообразия в отдельной его точке). Пример: кольцо десятичных дробей - это локализация кольца целых чисел по мультипликативной системе $S=\{10^n|n\geqslant 0\}.$

Существует естественное отображение $R \to S^{-1}R, \, r \mapsto r / 1.$ Его ядро состоит из таких элементов r , для которых существует s ∈ S , такое что $rs = 0.$ В частности, для целостного кольца это отображение инъективно .

Категорное описание

Кольца вместе с гомоморфизмами колец образуют категорию , обычно обозначаемую Ring (иногда так обозначают категорию колец с единицей, а категорию обычных колец обозначают Rng ). Категория колец с единицей обладает многими полезными свойствами: в частности, она полна и кополна . Это значит, что в ней существуют все малые пределы и копределы (например, произведения , копроизведения , ядра и коядра). Категория колец с единицей обладает начальным объектом (кольцо $\mathbb Z$ ) и терминальным объектом (нулевое кольцо).

Можно дать следующее категорное определение кольца: ассоциативное кольцо с единицей - это моноид в категории абелевых групп (абелевы группы образуют моноидальную категорию относительно операции тензорного произведения). Действие кольца R на абелевой группе (кольца, рассматриваемого как моноид по умножению) превращает абелеву группу в R -модуль . Понятие модуля обобщает понятие векторного пространства : грубо говоря, модуль - это «векторное пространство над кольцом».

Специальные классы колец

Структуры над кольцами

Напишите отзыв о статье "Кольцо (математика)"

Примечания

, с. 17-19.
Бельский А., Садовский Л. Квант № 2, 1974.
Erich Reck // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / Edward N. Zalta. - 2012-01-01.
, с. 9.
, с. 18-19.
, с. 273-275.
, с. 51-53.
, с. 11.
, с. 359.
, с. 407.
, с. 110-111.
, с. 21.
, с. 437.
, с. 64.
, с. 153.
, с. 430-431.
, с. 406.
, с. 10.
, с. 388.
, с. 107-108.
, с. 432.
, с. 387-390.
, с. 523.
, с. 152.
, с. 430.
, с. 118.
.
, с. 266.
, с. 28-34.
, с. 509-512.
, с. 33.
, с. 173.
, с. 450-452.
, с. 305-311.

Литература

М. Атья , И. Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. - М .: Мир, 1972. - 160 с.
Бельский А., Садовский Л. Квант № 2, 1974.
Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. - М .: Мир, 1975. - 623 с.
Винберг Э. Б. Курс алгебры. - Новое издание, перераб. и доп.. - М .: МЦНМО, 2011. - 592 с.
Глейзер Г. И. История математики в школе: IX-X класс. Пособие для учителей - Новое издание, перераб. и доп.. - М .: Просвещение, 1983. - 351 с.
Колмогоров А. Н. ,Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. - М .: Наука, 1978. - 255 с.
Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. - М .: Высш. школа, 1979. - 559 с.
Курош А. Г. Курс высшей алгебры.. - М .: Наука, 1968. - 431 с.
Фейс К. Алгебра. Кольца, модули, категории.. - М .: Мир, 1977. - Т. 1. - 688 с.
Фейс К. Алгебра. Кольца, модули, категории.. - М .: Мир, 1979. - Т. 2. - 464 с.
Херстейн И. Некоммутативные кольца. - М .: Мир, 1972. - 190 с.

Отрывок, характеризующий Кольцо (математика)

Х
После похорон отца княжна Марья заперлась в своей комнате и никого не впускала к себе. К двери подошла девушка сказать, что Алпатыч пришел спросить приказания об отъезде. (Это было еще до разговора Алпатыча с Дроном.) Княжна Марья приподнялась с дивана, на котором она лежала, и сквозь затворенную дверь проговорила, что она никуда и никогда не поедет и просит, чтобы ее оставили в покое.
Окна комнаты, в которой лежала княжна Марья, были на запад. Она лежала на диване лицом к стене и, перебирая пальцами пуговицы на кожаной подушке, видела только эту подушку, и неясные мысли ее были сосредоточены на одном: она думала о невозвратимости смерти и о той своей душевной мерзости, которой она не знала до сих пор и которая выказалась во время болезни ее отца. Она хотела, но не смела молиться, не смела в том душевном состоянии, в котором она находилась, обращаться к богу. Она долго лежала в этом положении.
Солнце зашло на другую сторону дома и косыми вечерними лучами в открытые окна осветило комнату и часть сафьянной подушки, на которую смотрела княжна Марья. Ход мыслей ее вдруг приостановился. Она бессознательно приподнялась, оправила волоса, встала и подошла к окну, невольно вдыхая в себя прохладу ясного, но ветреного вечера.
«Да, теперь тебе удобно любоваться вечером! Его уж нет, и никто тебе не помешает», – сказала она себе, и, опустившись на стул, она упала головой на подоконник.
Кто то нежным и тихим голосом назвал ее со стороны сада и поцеловал в голову. Она оглянулась. Это была m lle Bourienne, в черном платье и плерезах. Она тихо подошла к княжне Марье, со вздохом поцеловала ее и тотчас же заплакала. Княжна Марья оглянулась на нее. Все прежние столкновения с нею, ревность к ней, вспомнились княжне Марье; вспомнилось и то, как он последнее время изменился к m lle Bourienne, не мог ее видеть, и, стало быть, как несправедливы были те упреки, которые княжна Марья в душе своей делала ей. «Да и мне ли, мне ли, желавшей его смерти, осуждать кого нибудь! – подумала она.
Княжне Марье живо представилось положение m lle Bourienne, в последнее время отдаленной от ее общества, но вместе с тем зависящей от нее и живущей в чужом доме. И ей стало жалко ее. Она кротко вопросительно посмотрела на нее и протянула ей руку. M lle Bourienne тотчас заплакала, стала целовать ее руку и говорить о горе, постигшем княжну, делая себя участницей этого горя. Она говорила о том, что единственное утешение в ее горе есть то, что княжна позволила ей разделить его с нею. Она говорила, что все бывшие недоразумения должны уничтожиться перед великим горем, что она чувствует себя чистой перед всеми и что он оттуда видит ее любовь и благодарность. Княжна слушала ее, не понимая ее слов, но изредка взглядывая на нее и вслушиваясь в звуки ее голоса.
– Ваше положение вдвойне ужасно, милая княжна, – помолчав немного, сказала m lle Bourienne. – Я понимаю, что вы не могли и не можете думать о себе; но я моей любовью к вам обязана это сделать… Алпатыч был у вас? Говорил он с вами об отъезде? – спросила она.
Княжна Марья не отвечала. Она не понимала, куда и кто должен был ехать. «Разве можно было что нибудь предпринимать теперь, думать о чем нибудь? Разве не все равно? Она не отвечала.
– Вы знаете ли, chere Marie, – сказала m lle Bourienne, – знаете ли, что мы в опасности, что мы окружены французами; ехать теперь опасно. Ежели мы поедем, мы почти наверное попадем в плен, и бог знает…
Княжна Марья смотрела на свою подругу, не понимая того, что она говорила.
– Ах, ежели бы кто нибудь знал, как мне все все равно теперь, – сказала она. – Разумеется, я ни за что не желала бы уехать от него… Алпатыч мне говорил что то об отъезде… Поговорите с ним, я ничего, ничего не могу и не хочу…
– Я говорила с ним. Он надеется, что мы успеем уехать завтра; но я думаю, что теперь лучше бы было остаться здесь, – сказала m lle Bourienne. – Потому что, согласитесь, chere Marie, попасть в руки солдат или бунтующих мужиков на дороге – было бы ужасно. – M lle Bourienne достала из ридикюля объявление на нерусской необыкновенной бумаге французского генерала Рамо о том, чтобы жители не покидали своих домов, что им оказано будет должное покровительство французскими властями, и подала ее княжне.
– Я думаю, что лучше обратиться к этому генералу, – сказала m lle Bourienne, – и я уверена, что вам будет оказано должное уважение.
Княжна Марья читала бумагу, и сухие рыдания задергали ее лицо.
– Через кого вы получили это? – сказала она.
– Вероятно, узнали, что я француженка по имени, – краснея, сказала m lle Bourienne.
Княжна Марья с бумагой в руке встала от окна и с бледным лицом вышла из комнаты и пошла в бывший кабинет князя Андрея.
– Дуняша, позовите ко мне Алпатыча, Дронушку, кого нибудь, – сказала княжна Марья, – и скажите Амалье Карловне, чтобы она не входила ко мне, – прибавила она, услыхав голос m lle Bourienne. – Поскорее ехать! Ехать скорее! – говорила княжна Марья, ужасаясь мысли о том, что она могла остаться во власти французов.
«Чтобы князь Андрей знал, что она во власти французов! Чтоб она, дочь князя Николая Андреича Болконского, просила господина генерала Рамо оказать ей покровительство и пользовалась его благодеяниями! – Эта мысль приводила ее в ужас, заставляла ее содрогаться, краснеть и чувствовать еще не испытанные ею припадки злобы и гордости. Все, что только было тяжелого и, главное, оскорбительного в ее положении, живо представлялось ей. «Они, французы, поселятся в этом доме; господин генерал Рамо займет кабинет князя Андрея; будет для забавы перебирать и читать его письма и бумаги. M lle Bourienne lui fera les honneurs de Богучарово. [Мадемуазель Бурьен будет принимать его с почестями в Богучарове.] Мне дадут комнатку из милости; солдаты разорят свежую могилу отца, чтобы снять с него кресты и звезды; они мне будут рассказывать о победах над русскими, будут притворно выражать сочувствие моему горю… – думала княжна Марья не своими мыслями, но чувствуя себя обязанной думать за себя мыслями своего отца и брата. Для нее лично было все равно, где бы ни оставаться и что бы с ней ни было; но она чувствовала себя вместе с тем представительницей своего покойного отца и князя Андрея. Она невольно думала их мыслями и чувствовала их чувствами. Что бы они сказали, что бы они сделали теперь, то самое она чувствовала необходимым сделать. Она пошла в кабинет князя Андрея и, стараясь проникнуться его мыслями, обдумывала свое положение.
Требования жизни, которые она считала уничтоженными со смертью отца, вдруг с новой, еще неизвестной силой возникли перед княжной Марьей и охватили ее. Взволнованная, красная, она ходила по комнате, требуя к себе то Алпатыча, то Михаила Ивановича, то Тихона, то Дрона. Дуняша, няня и все девушки ничего не могли сказать о том, в какой мере справедливо было то, что объявила m lle Bourienne. Алпатыча не было дома: он уехал к начальству. Призванный Михаил Иваныч, архитектор, явившийся к княжне Марье с заспанными глазами, ничего не мог сказать ей. Он точно с той же улыбкой согласия, с которой он привык в продолжение пятнадцати лет отвечать, не выражая своего мнения, на обращения старого князя, отвечал на вопросы княжны Марьи, так что ничего определенного нельзя было вывести из его ответов. Призванный старый камердинер Тихон, с опавшим и осунувшимся лицом, носившим на себе отпечаток неизлечимого горя, отвечал «слушаю с» на все вопросы княжны Марьи и едва удерживался от рыданий, глядя на нее.
Наконец вошел в комнату староста Дрон и, низко поклонившись княжне, остановился у притолоки.
Княжна Марья прошлась по комнате и остановилась против него.
– Дронушка, – сказала княжна Марья, видевшая в нем несомненного друга, того самого Дронушку, который из своей ежегодной поездки на ярмарку в Вязьму привозил ей всякий раз и с улыбкой подавал свой особенный пряник. – Дронушка, теперь, после нашего несчастия, – начала она и замолчала, не в силах говорить дальше.
– Все под богом ходим, – со вздохом сказал он. Они помолчали.
– Дронушка, Алпатыч куда то уехал, мне не к кому обратиться. Правду ли мне говорят, что мне и уехать нельзя?
– Отчего же тебе не ехать, ваше сиятельство, ехать можно, – сказал Дрон.
– Мне сказали, что опасно от неприятеля. Голубчик, я ничего не могу, ничего не понимаю, со мной никого нет. Я непременно хочу ехать ночью или завтра рано утром. – Дрон молчал. Он исподлобья взглянул на княжну Марью.
– Лошадей нет, – сказал он, – я и Яков Алпатычу говорил.
– Отчего же нет? – сказала княжна.
– Все от божьего наказания, – сказал Дрон. – Какие лошади были, под войска разобрали, а какие подохли, нынче год какой. Не то лошадей кормить, а как бы самим с голоду не помереть! И так по три дня не емши сидят. Нет ничего, разорили вконец.
Княжна Марья внимательно слушала то, что он говорил ей.
– Мужики разорены? У них хлеба нет? – спросила она.
– Голодной смертью помирают, – сказал Дрон, – не то что подводы…
– Да отчего же ты не сказал, Дронушка? Разве нельзя помочь? Я все сделаю, что могу… – Княжне Марье странно было думать, что теперь, в такую минуту, когда такое горе наполняло ее душу, могли быть люди богатые и бедные и что могли богатые не помочь бедным. Она смутно знала и слышала, что бывает господский хлеб и что его дают мужикам. Она знала тоже, что ни брат, ни отец ее не отказали бы в нужде мужикам; она только боялась ошибиться как нибудь в словах насчет этой раздачи мужикам хлеба, которым она хотела распорядиться. Она была рада тому, что ей представился предлог заботы, такой, для которой ей не совестно забыть свое горе. Она стала расспрашивать Дронушку подробности о нуждах мужиков и о том, что есть господского в Богучарове.
– Ведь у нас есть хлеб господский, братнин? – спросила она.
– Господский хлеб весь цел, – с гордостью сказал Дрон, – наш князь не приказывал продавать.
– Выдай его мужикам, выдай все, что им нужно: я тебе именем брата разрешаю, – сказала княжна Марья.
Дрон ничего не ответил и глубоко вздохнул.
– Ты раздай им этот хлеб, ежели его довольно будет для них. Все раздай. Я тебе приказываю именем брата, и скажи им: что, что наше, то и ихнее. Мы ничего не пожалеем для них. Так ты скажи.
Дрон пристально смотрел на княжну, в то время как она говорила.
– Уволь ты меня, матушка, ради бога, вели от меня ключи принять, – сказал он. – Служил двадцать три года, худого не делал; уволь, ради бога.
Княжна Марья не понимала, чего он хотел от нее и от чего он просил уволить себя. Она отвечала ему, что она никогда не сомневалась в его преданности и что она все готова сделать для него и для мужиков.

Через час после этого Дуняша пришла к княжне с известием, что пришел Дрон и все мужики, по приказанию княжны, собрались у амбара, желая переговорить с госпожою.
– Да я никогда не звала их, – сказала княжна Марья, – я только сказала Дронушке, чтобы раздать им хлеба.
– Только ради бога, княжна матушка, прикажите их прогнать и не ходите к ним. Все обман один, – говорила Дуняша, – а Яков Алпатыч приедут, и поедем… и вы не извольте…
– Какой же обман? – удивленно спросила княжна
– Да уж я знаю, только послушайте меня, ради бога. Вот и няню хоть спросите. Говорят, не согласны уезжать по вашему приказанию.
– Ты что нибудь не то говоришь. Да я никогда не приказывала уезжать… – сказала княжна Марья. – Позови Дронушку.
Пришедший Дрон подтвердил слова Дуняши: мужики пришли по приказанию княжны.
– Да я никогда не звала их, – сказала княжна. – Ты, верно, не так передал им. Я только сказала, чтобы ты им отдал хлеб.
Дрон, не отвечая, вздохнул.
– Если прикажете, они уйдут, – сказал он.
– Нет, нет, я пойду к ним, – сказала княжна Марья
Несмотря на отговариванье Дуняши и няни, княжна Марья вышла на крыльцо. Дрон, Дуняша, няня и Михаил Иваныч шли за нею. «Они, вероятно, думают, что я предлагаю им хлеб с тем, чтобы они остались на своих местах, и сама уеду, бросив их на произвол французов, – думала княжна Марья. – Я им буду обещать месячину в подмосковной, квартиры; я уверена, что Andre еще больше бы сделав на моем месте», – думала она, подходя в сумерках к толпе, стоявшей на выгоне у амбара.
Толпа, скучиваясь, зашевелилась, и быстро снялись шляпы. Княжна Марья, опустив глаза и путаясь ногами в платье, близко подошла к ним. Столько разнообразных старых и молодых глаз было устремлено на нее и столько было разных лиц, что княжна Марья не видала ни одного лица и, чувствуя необходимость говорить вдруг со всеми, не знала, как быть. Но опять сознание того, что она – представительница отца и брата, придало ей силы, и она смело начала свою речь.
– Я очень рада, что вы пришли, – начала княжна Марья, не поднимая глаз и чувствуя, как быстро и сильно билось ее сердце. – Мне Дронушка сказал, что вас разорила война. Это наше общее горе, и я ничего не пожалею, чтобы помочь вам. Я сама еду, потому что уже опасно здесь и неприятель близко… потому что… Я вам отдаю все, мои друзья, и прошу вас взять все, весь хлеб наш, чтобы у вас не было нужды. А ежели вам сказали, что я отдаю вам хлеб с тем, чтобы вы остались здесь, то это неправда. Я, напротив, прошу вас уезжать со всем вашим имуществом в нашу подмосковную, и там я беру на себя и обещаю вам, что вы не будете нуждаться. Вам дадут и домы и хлеба. – Княжна остановилась. В толпе только слышались вздохи.
– Я не от себя делаю это, – продолжала княжна, – я это делаю именем покойного отца, который был вам хорошим барином, и за брата, и его сына.
Она опять остановилась. Никто не прерывал ее молчания.
– Горе наше общее, и будем делить всё пополам. Все, что мое, то ваше, – сказала она, оглядывая лица, стоявшие перед нею.
Все глаза смотрели на нее с одинаковым выражением, значения которого она не могла понять. Было ли это любопытство, преданность, благодарность, или испуг и недоверие, но выражение на всех лицах было одинаковое.
– Много довольны вашей милостью, только нам брать господский хлеб не приходится, – сказал голос сзади.
– Да отчего же? – сказала княжна.
Никто не ответил, и княжна Марья, оглядываясь по толпе, замечала, что теперь все глаза, с которыми она встречалась, тотчас же опускались.
– Отчего же вы не хотите? – спросила она опять.
Никто не отвечал.
Княжне Марье становилось тяжело от этого молчанья; она старалась уловить чей нибудь взгляд.
– Отчего вы не говорите? – обратилась княжна к старому старику, который, облокотившись на палку, стоял перед ней. – Скажи, ежели ты думаешь, что еще что нибудь нужно. Я все сделаю, – сказала она, уловив его взгляд. Но он, как бы рассердившись за это, опустил совсем голову и проговорил:
– Чего соглашаться то, не нужно нам хлеба.
– Что ж, нам все бросить то? Не согласны. Не согласны… Нет нашего согласия. Мы тебя жалеем, а нашего согласия нет. Поезжай сама, одна… – раздалось в толпе с разных сторон. И опять на всех лицах этой толпы показалось одно и то же выражение, и теперь это было уже наверное не выражение любопытства и благодарности, а выражение озлобленной решительности.
– Да вы не поняли, верно, – с грустной улыбкой сказала княжна Марья. – Отчего вы не хотите ехать? Я обещаю поселить вас, кормить. А здесь неприятель разорит вас…
Но голос ее заглушали голоса толпы.
– Нет нашего согласия, пускай разоряет! Не берем твоего хлеба, нет согласия нашего!
Княжна Марья старалась уловить опять чей нибудь взгляд из толпы, но ни один взгляд не был устремлен на нее; глаза, очевидно, избегали ее. Ей стало странно и неловко.
– Вишь, научила ловко, за ней в крепость иди! Дома разори да в кабалу и ступай. Как же! Я хлеб, мол, отдам! – слышались голоса в толпе.
Княжна Марья, опустив голову, вышла из круга и пошла в дом. Повторив Дрону приказание о том, чтобы завтра были лошади для отъезда, она ушла в свою комнату и осталась одна с своими мыслями.

Долго эту ночь княжна Марья сидела у открытого окна в своей комнате, прислушиваясь к звукам говора мужиков, доносившегося с деревни, но она не думала о них. Она чувствовала, что, сколько бы она ни думала о них, она не могла бы понять их. Она думала все об одном – о своем горе, которое теперь, после перерыва, произведенного заботами о настоящем, уже сделалось для нее прошедшим. Она теперь уже могла вспоминать, могла плакать и могла молиться. С заходом солнца ветер затих. Ночь была тихая и свежая. В двенадцатом часу голоса стали затихать, пропел петух, из за лип стала выходить полная луна, поднялся свежий, белый туман роса, и над деревней и над домом воцарилась тишина.
Одна за другой представлялись ей картины близкого прошедшего – болезни и последних минут отца. И с грустной радостью она теперь останавливалась на этих образах, отгоняя от себя с ужасом только одно последнее представление его смерти, которое – она чувствовала – она была не в силах созерцать даже в своем воображении в этот тихий и таинственный час ночи. И картины эти представлялись ей с такой ясностью и с такими подробностями, что они казались ей то действительностью, то прошедшим, то будущим.
То ей живо представлялась та минута, когда с ним сделался удар и его из сада в Лысых Горах волокли под руки и он бормотал что то бессильным языком, дергал седыми бровями и беспокойно и робко смотрел на нее.
«Он и тогда хотел сказать мне то, что он сказал мне в день своей смерти, – думала она. – Он всегда думал то, что он сказал мне». И вот ей со всеми подробностями вспомнилась та ночь в Лысых Горах накануне сделавшегося с ним удара, когда княжна Марья, предчувствуя беду, против его воли осталась с ним. Она не спала и ночью на цыпочках сошла вниз и, подойдя к двери в цветочную, в которой в эту ночь ночевал ее отец, прислушалась к его голосу. Он измученным, усталым голосом говорил что то с Тихоном. Ему, видно, хотелось поговорить. «И отчего он не позвал меня? Отчего он не позволил быть мне тут на месте Тихона? – думала тогда и теперь княжна Марья. – Уж он не выскажет никогда никому теперь всего того, что было в его душе. Уж никогда не вернется для него и для меня эта минута, когда бы он говорил все, что ему хотелось высказать, а я, а не Тихон, слушала бы и понимала его. Отчего я не вошла тогда в комнату? – думала она. – Может быть, он тогда же бы сказал мне то, что он сказал в день смерти. Он и тогда в разговоре с Тихоном два раза спросил про меня. Ему хотелось меня видеть, а я стояла тут, за дверью. Ему было грустно, тяжело говорить с Тихоном, который не понимал его. Помню, как он заговорил с ним про Лизу, как живую, – он забыл, что она умерла, и Тихон напомнил ему, что ее уже нет, и он закричал: „Дурак“. Ему тяжело было. Я слышала из за двери, как он, кряхтя, лег на кровать и громко прокричал: „Бог мой!Отчего я не взошла тогда? Что ж бы он сделал мне? Что бы я потеряла? А может быть, тогда же он утешился бы, он сказал бы мне это слово“. И княжна Марья вслух произнесла то ласковое слово, которое он сказал ей в день смерти. «Ду ше нь ка! – повторила княжна Марья это слово и зарыдала облегчающими душу слезами. Она видела теперь перед собою его лицо. И не то лицо, которое она знала с тех пор, как себя помнила, и которое она всегда видела издалека; а то лицо – робкое и слабое, которое она в последний день, пригибаясь к его рту, чтобы слышать то, что он говорил, в первый раз рассмотрела вблизи со всеми его морщинами и подробностями.
«Душенька», – повторила она.
«Что он думал, когда сказал это слово? Что он думает теперь? – вдруг пришел ей вопрос, и в ответ на это она увидала его перед собой с тем выражением лица, которое у него было в гробу на обвязанном белым платком лице. И тот ужас, который охватил ее тогда, когда она прикоснулась к нему и убедилась, что это не только не был он, но что то таинственное и отталкивающее, охватил ее и теперь. Она хотела думать о другом, хотела молиться и ничего не могла сделать. Она большими открытыми глазами смотрела на лунный свет и тени, всякую секунду ждала увидеть его мертвое лицо и чувствовала, что тишина, стоявшая над домом и в доме, заковывала ее.
– Дуняша! – прошептала она. – Дуняша! – вскрикнула она диким голосом и, вырвавшись из тишины, побежала к девичьей, навстречу бегущим к ней няне и девушкам.

17 го августа Ростов и Ильин, сопутствуемые только что вернувшимся из плена Лаврушкой и вестовым гусаром, из своей стоянки Янково, в пятнадцати верстах от Богучарова, поехали кататься верхами – попробовать новую, купленную Ильиным лошадь и разузнать, нет ли в деревнях сена.
Богучарово находилось последние три дня между двумя неприятельскими армиями, так что так же легко мог зайти туда русский арьергард, как и французский авангард, и потому Ростов, как заботливый эскадронный командир, желал прежде французов воспользоваться тем провиантом, который оставался в Богучарове.
Ростов и Ильин были в самом веселом расположении духа. Дорогой в Богучарово, в княжеское именье с усадьбой, где они надеялись найти большую дворню и хорошеньких девушек, они то расспрашивали Лаврушку о Наполеоне и смеялись его рассказам, то перегонялись, пробуя лошадь Ильина.
Ростов и не знал и не думал, что эта деревня, в которую он ехал, была именье того самого Болконского, который был женихом его сестры.
Ростов с Ильиным в последний раз выпустили на перегонку лошадей в изволок перед Богучаровым, и Ростов, перегнавший Ильина, первый вскакал в улицу деревни Богучарова.
– Ты вперед взял, – говорил раскрасневшийся Ильин.
– Да, всё вперед, и на лугу вперед, и тут, – отвечал Ростов, поглаживая рукой своего взмылившегося донца.
– А я на французской, ваше сиятельство, – сзади говорил Лаврушка, называя французской свою упряжную клячу, – перегнал бы, да только срамить не хотел.
Они шагом подъехали к амбару, у которого стояла большая толпа мужиков.

Определение 2.5. Кольцом называют алгебру

R = (R, +, ⋅,0 , 1 ),

сигнатура которой состоит из двух бинарных и двух нульарных операций, причем для любых a, b, c ∈ R выполняются равенства:

a+(b+c) = (a+b)+c;
a+b = b+a;
а + 0 = a;
для каждого а ∈ R существует элемент а", такой, что a+a" = 0
а-(b-с) = (а-b)-с;
а ⋅ 1 = 1 ⋅ а = а;
а⋅(b + с) =а⋅b + а⋅с, (b + с) ⋅ а = b⋅ а + с⋅а.

Операцию + называют сложением кольца , операцию умножением кольца , элемент 0 - нулем кольца , элемент 1 - единицей кольца .

Равенства 1-7, указанные в определении, называют аксиомами кольца . Рассмотрим эти равенства с точки зрения понятия группы и моноида .

Аксиомы кольца 1-4 означают, что алгебра (R, +, 0 ), сигнатура которой состоит только из операций сложения кольца + и нуля кольца 0 , является абелевой группой . Эту группу называют аддитивной группой кольца R и говорят также, что по сложению кольцо есть коммутативная (абелева) группа.

Аксиомы кольца 5 и 6 показывают, что алгебра (R, ⋅, 1), сигнатура которой включает только умножение кольца ⋅ и еди- единицу кольца 1, есть моноид. Этот моноид называют мультипликативным моноидом кольца R и говорят, что по умножению кольцо есть моноид.

Связь между сложением кольца и умножением кольца устанавливает аксиома 7, согласно которой операция умножения дистрибутивна относительно операции сложения.

Учитывая сказанное выше, отметим, что кольцо - это алгебра с двумя бинарными и двумя нульарными операциями R =(R, +, ⋅,0 , 1 ), такая, что:

алгебра (R, +, 0 ) - коммутативная группа;
алгебра (R, ⋅, 1 ) - моноид;
операция ⋅ (умножения кольца) дистрибутивна относительно операции + (сложения кольца).

Замечание 2.2. В литературе встречается иной состав аксиом кольца, относящихся к умножению. Так, могут отсут- отсутствовать аксиома 6 (в кольце нет 1 ) и аксиома 5 (умножение не ассоциативно). В этом случае выделяют ассоциативные коль- кольца (к аксиомам кольца добавляют требование ассоциативности умножения) и кольца с единицей. В последнем случае добавля- добавляются требования ассоциативности умножения и существования единицы.

Определение 2.6. Кольцо называют коммутативным , если его операция умножения коммутативна.

Пример 2.12. а. Алгебра (ℤ, +, ⋅, 0, 1) есть коммутативное кольцо. Отметим, что алгебра (ℕ 0 , +, ⋅, 0, 1) кольцом не будет, поскольку (ℕ 0 , +) - коммутативный моноид, но не группа.

б. Рассмотрим алгебру ℤ k = ({0,1,..., k - 1}, ⊕ k , ⨀ k , 0,1) (к>1) с операцией ⊕ k сложения по модулю л и ⨀ k (умножения по модулю л). Последняя аналогична операции сложения по модулю л: m ⨀ k n равно остатку от деления на k числа m ⋅ n. Эта алгебра есть коммутативное кольцо, которое называют кольцом вычетов по модулю k.

в. Алгебра (2 A , Δ, ∩, ∅, А) - коммутативное кольцо, что следует из свойств пересечения и симметрической разности множеств.

г. Пример некоммутативного кольца дает множество всех квадратных матриц фиксированного порядка с операциями сложения и умножения матриц. Единицей этого кольца является единичная матрица, а нулем - нулевая.

д. Пусть L - линейное пространство. Рассмотрим множество всех линейных операторов, действующих в этом пространстве.

Напомним, что суммой двух линейных операторов А и В называют оператор А + В , такой, что (А + В ) х = Ах + Вх , х ∈ L .

Произведением линейных операторов А и В называют линей- линейный оператор АВ , такой, что (АВ )х = А (Вх ) для любого х ∈ L .

Используя свойства указанных операций над линейными операторами, можно показать, что множество всех линейных операторов, действующих в пространстве L , вместе с операциями сложения и умножения операторов образует кольцо. Нулем этого кольца служит нулевой оператор , а единицей - тождественный оператор .

Это кольцо называют кольцом линейных операторов в линейном пространстве L. #

Аксиомы кольца называют также основными тождествами кольца . Тождество кольца - это равенство, ливость которого сохраняется при подстановке вместо фигурирующих в нем переменных любых элементов кольца. Основные тождества постулируются, и из них затем могут быть выведе- выведены как следствия другие тождества. Рассмотрим некоторые из них.

Напомним, что аддитивная группа кольца коммутативна и в ней определена операция вычитания .

Теорема 2.8. В любом кольце выполняются следующие тождества:

0 ⋅ а = a ⋅ 0 = 0 ;
(-a) ⋅ b = -(a ⋅ b) = a ⋅ (-b);
(a-b) ⋅ c = a ⋅ c - b ⋅ c, c ⋅ (a-b) = c ⋅ a - c ⋅ b.

◀Докажем тождество 0 ⋅ а = 0 . Запишем для произвольного а:

a+0 ⋅ a = 1 ⋅ a + 0 ⋅ a = (1 +0 ) ⋅ a = 1 ⋅ a = a

Итак, а + 0 ⋅ а = а. Последнее равенство можно рассматривать как уравнение в аддитивной группе кольца относительно неизвестного элемента 0 ⋅ а. Так как в аддитивной группе любое уравнение вида а + х = b имеет единственное решение х=b - а, то 0 ⋅ а = а - а = 0 . Тождество а⋅ 0 = 0 доказывается аналогично.

Докажем теперь тождество - (a ⋅ b) = a ⋅ (-b). Имеем

a ⋅ (-b)+a ⋅ b = a ⋅ ((-b) + b) = a ⋅ 0 = 0 ,

откуда а ⋅ (-b) = -(а ⋅ b). Точно так же можно доказать, что (-a) ⋅ b = -(a ⋅ b).

Докажем третью пару тождеств. Рассмотрим первое из них. С учетом доказанного выше имеем

а ⋅ (b - с) = a ⋅ (b+(-c)) = a ⋅ b + a ⋅ (-c) =a ⋅ b - a ⋅ c,

т.е. тождество справедливо. Второе тождество этой пары доказывается аналогично.

Следствие 2.1 . В любом кольце справедливо тождество (-1 ) ⋅ х = x ⋅ (-1 ) = -x.

◀Указанное следствие вытекает из второго тождества теоремы 2.8 при a = 1 и b = x.

Первые два тождества из доказанных в теореме 2.8 выражают свойство, называемое аннулирующим свойством нуля в кольце. Третья же пара тождеств указанной теоремы выражает свойство дистрибутивности операции умножения кольца относительно операции вычитания. Таким образом, производя вычисления в любом кольце, можно раскрывать скобки и менять знаки так же, как и при сложении, вычитании и умножении действительных чисел.

Ненулевые элементы а и b кольца R называют делителями нуля , если а ⋅ b = 0 или b ⋅ а = 0 . Пример кольца с делителем нуля дает любое кольцо вычетов по модулю k, если k - составное число. В этом случае произведение по модулю k любых тип, дающих при обычном перемножении число, кратное k, будет равно нулю. Например, в кольце вычетов по модулю 6 элементы 2 и 3 являются делителями нуля, поскольку 2 ⨀ 6 3 = 0. Другой пример дает кольцо квадратных матриц фиксированного порядка (не меньшего двух). Например, для матриц второго порядка имеем

При отличных от нуля а и b приведенные матрицы являются делителями нуля.

По умножению кольцо является только моноидом. Поставим вопрос: в каких случаях кольцо по умножению будет группой? Прежде всего заметим, что множество всех элементов кольца, в котором 0 ≠ 1 , не может образовывать группы по умножению, так как нуль не может иметь обратного. Действительно, если предположить, что такой элемент 0" существует, то, с одной стороны, 0 ⋅ 0" = 0" ⋅ 0 = 1 , а с другой - 0 ⋅ 0" = 0" ⋅ 0 = 0 , откуда 0 = 1. Это противоречит условию 0 ≠ 1 . Таким образом, поставленный выше вопрос можно уточнить так: в каких случаях множество всех ненулевых элементов кольца образует группу по умножению?

Если в кольце имеются делители нуля, то подмножество всех ненулевых элементов кольца не образует группы по умножению уже хотя бы потому, что это подмножество не замкнуто относительно операции умножения, т.е. существуют ненулевые элементы, произведение которых равно нулю.

Кольцо, в котором множество всех ненулевых элементов по умножению образует группу, называют телом , коммутативное тело - полем , а группу ненулевых элементов тела (поля) по умножению - мультипликативной группой этого тела (поля ). Согласно определению, поле есть частный случай кольца, в котором операции обладают дополнительными свойствами. Выпишем все свойства, выполнение которых требуется для операций поля. Их еще называют аксиомами поля .

Поле есть алгебра F = (F, +, ⋅, 0, 1), сигнатура которой состоит из двух бинарных и двух нульарных операций, причем справедливы тождества:

a+(b+c) = (a+b)+c;
a+b = b+a;
a+0 = a;
для каждого а ∈ F существует элемент -а, такой, что a+ (-a) = 0;
a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c;
a ⋅ b = b ⋅ a
a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a
для каждого а ∈ F, отличного от 0, существует элемент а -1 , такой, что а ⋅ а -1 = 1;
a ⋅ (b+c) = a ⋅ b + a ⋅ c.

Пример 2.13. а. Алгебра (ℚ, +, ⋅, 0, 1) есть поле, называемое полем рациональных чисел .

б. Алгебры (ℝ , +, ⋅, 0, 1) и (ℂ, +, ⋅, 0, 1) есть поля, называемые полями действительных и комплексных чисел соответственно.

в. Примером тела, не являющегося полем, может служить алгебра кватернионов . #

Итак, мы видим, что известным законам сложения и умножения чисел соответствуют аксиомы поля. Занимаясь числовыми расчетами, мы „работаем в полях", а именно имеем дело преимущественно с полями рациональных и вещественных чисел, иногда „переселяемся" в поле комплексных чисел.