Типы и характеристики случайных процессов. Определение случайного процесса

На практике встречаются такие случайные величины, которые в процессе одного опыта непрерывно изменяются в зависимости от времени или каких-нибудь других аргументов. Например, ошибка сопровождения самолёта радиолокатором не остаётся постоянной, а непрерывно изменяется со временем. В каждый момент она случайна, но её значение в разные моменты времени при сопровождении одного самолёта различны. Другими примерами являются: угол упреждения при непрерывном прицеливании по движущейся цели; ошибка радиодальномера при непрерывном измерении меняющейся дальности; отклонение траектории управляемого снаряда от теоретической в процессе управления или самонаведения; флюктуационные (дробовые и тепловые) шумы в радиотехнических устройствах и так далее. Такие случайные величины называются случайными функциями. Характерной особенностью таких функций является то, что вид их до проведения опыта в точности указать не возможно. Случайная функция и случайная величина относятся друг к другу так же, как функция и постоянная величина, рассматриваемые в математическом анализе.

Определение 1. Случайная функция – это функция, которая каждому исходу опыта ставит в соответствие некоторую числовую функцию, то есть отображение пространства Ω в некоторое множество функций (рисунок 1).

Определение 2. Случайной функцией называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, неизвестно заранее – какой именно.

Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результате опыта, называется реализацией случайной функции.

В силу непредсказуемости поведения изобразить случайную функцию в общем виде на графике не представляется возможным. Можно лишь записать её конкретный вид – то есть её реализацию, полученную в результате проведения опыта. Случайные функции, как и случайные величины, принято обозначать большими буквами латинского алфавита X (t ), Y (t ), Z (t ), а их возможные реализации – соответственно x (t ), y (t ), z (t ). Аргумент случайной функции t в общем случае может быть произвольной (не случайной) независимой переменной или совокупностью независимых переменных.

Случайную функцию называют случайным процессом , если аргументом случайной функции является время. Если же аргумент случайной функции является дискретным, то её называют случайной последовательностью. Например, последовательность случайных величин есть случайная функция от целочисленного аргумента. На рисунке 2 в качестве примера приведены реализации случайной функции X (t ): x1 (t ), x2 (t ), … , xn (t ), которые являются непрерывными функциями времени. Такие функции применяются, например, для макроскопического описания флюктуационных шумов.

Случайные функции встречаются в любом случае, когда имеем дело с непрерывно работающей системой (системой измерения, управления, наведения, регулирования), при анализе точности работы системы приходится учитывать наличие случайных воздействий (полей); температура воздуха в различных слоях атмосферы рассматривается как случайная функция высоты H; положение центра масс ракеты (его вертикальная координата z в плоскости стрельбы) является случайной функцией от его горизонтальной координаты x . Это положение в каждом опыте (пуске) при одних и тех же данных наводки всегда несколько иное и отличается от теоретически рассчитанного.

Рассмотрим некоторую случайную функцию X (t ). Предположим, что над ней произведено n независимых опытов, в результате которых получено n реализаций (рисунок 3) x1 (t ), x2 (t ), … , xn (t ). Каждая реализация, очевидно, есть обычная (неслучайная) функция. Таким образом, в результате каждого опыта случайная функция X (t ) превращается в обычную, неслучайную функцию.

Зафиксируем некоторое значение аргумента t . Проведём на расстоянии

t = t0 прямую, параллельную оси ординат (рисунок 3). Эта прямая пересечёт реализации в каких-то точках.

Определение . Множество точек пересечения реализаций случайной функции с прямой t = t0 называется сечением случайной функции.

Очевидно, сечение представляет собой некоторую случайную величину , возможные значения которой представляют собой ординаты точек пересечения прямой t = t0 с реализациями xi (t ) (i = ).

Таким образом, случайная функция совмещает в себе черты случайной величины и функции. Если зафиксировать значение аргумента, она превращается в обычную случайную величину; в результате каждого опыта она превращается в обычную (неслучайную) функцию.

Например, если провести два сечения t = t1 и t = t2 , то получается две случайные величины X (t1 ) и X (t2 ), которые в совокупности образуют систему двух случайных величин.

2 Законы распределения

Случайная функция непрерывно изменяющегося аргумента на любом сколь угодно малом интервале его изменения равноценна бесконечному, несчётному множеству случайных величин, которые даже невозможно перенумеровать. Поэтому для случайной функции невозможно обычным путём определить закон распределения, как для обычных случайных величин и случайных векторов. Для изучения случайных функций применяют подход, основанный на фиксации одного или нескольких значений аргумента t и изучении получающихся при этом случайных величин, то есть случайные функции изучаются в отдельных сечениях, соответствующих различным значениям аргумента t .

Фиксируя одно значение t1 аргумента t , рассмотрим случайную величину X1 = X (t1 ). Для этой случайной величины можно определить обычным путём закон распределения, например, функцию распределения F1 (x1 , t1 ), плотность вероятности f1 (x1 , t1 ). Эти законы называются одномерными законами распределения случайной функции X ( t ). Особенностью их является то, что они зависят не только от возможного значения x 1 случайной функции X (t ) при t = t1 , но и от того, как выбрано значение t1 аргумента t , то есть законы распределения случайной величины X1 = X (t1 ) зависят от аргумента t1 как от параметра.

Определение . Функция F1 (x1 , t1 ) = Р(X (t1 )< x1 ) называется одномерной функцией распределения вероятностей случайной функции, или

F1 (x , t ) = Р(X (t )< x ) . (1)

Определение . Если функция распределения F1 (x1 , t1 ) = Р(X (t1 )< x1 ) дифференцируема по x1 то эта производная называется одномерной плотностью распределения вероятности (рисунок 4), или

. (2)

Одномерная плотность распределения случайной функции обладает теми же свойствами, что и плотность распределения случайной величины. В частности: 1) f 1 (x, t ) 0 ;

2) https://pandia.ru/text/78/405/images/image009_73.gif" width="449" height="242">

Одномерные законы распределения не описывают полностью случайную функцию, так как они не учитывают зависимости между значениями случайной функции в разные моменты времени.

Так как при фиксированном значении аргумента t случайная функция превращается в обычную случайную величину, то при фиксировании n значений аргумента получим совокупность n случайных величин X (t1 ), X (t2 ), …, X (tn ), то есть систему случайных величин. Поэтому задание одномерной плотности распределения f1 (x , t ) случайной функции X (t ) при произвольном значении аргумента t аналогично заданию плотностей отдельных величин входящих в систему. Полным описанием системы случайных величин является совместный закон их распределения. Поэтому более полной характеристикой случайной функции X (t ) является n-мерная плотность распределения системы, то есть функция fn (x1 , x2 , … , xn , t1 , t2 , … , tn ).

На практике нахождение n - мерного закона распределения случайной функции вызывает, как правило, большие затруднения, потому обычно ограничиваются двумерным законом распределения, который характеризует вероятностную связь между парами значений X ( t1 ) и X ( t2 ).

Определение . Двумерной плотностью распределения случайной функции X (t ) называется совместная плотность распределения её значений X (t1 ) и X (t2 ) при двух произвольно взятых значениях t 1 и t2 аргумента t .

f2 (x1 , x2 , t1 , t2 )= (3)

https://pandia.ru/text/78/405/images/image012_54.gif" width="227" height="49">. (5)

Условие нормировки для двумерной плотности распределения имеет вид

. (6)

3 Характеристики случайного процесса:

математическое ожидание и дисперсия

При решении практических задач в большинстве случаев получение и использование многомерных плотностей для описания случайной функции сопряжено с громоздкими математическими преобразованиями. В связи с этим при исследовании случайной функции чаще всего пользуются простейшими вероятностными характеристиками, аналогичными числовым характеристикам случайных величин (математическое ожидание, дисперсия) и устанавливаются правила действия с этими характеристиками.

В отличие от числовых характеристик случайных величин, которые являются постоянными числами , характеристики случайной функции являются неслучайными функциями его аргументов.

Рассмотрим случайную функцию X (t ) при фиксированном t . В сечении имеем обычную случайную величину. Очевидно, в общем случае математическое ожидание зависит от t , то есть представляет собой некоторую функцию t :

. (7)

Определение . Математическим ожиданием случайной функции X (t ) называется неслучайная функция https://pandia.ru/text/78/405/images/image016_47.gif" width="383" height="219">

Для вычисления математического ожидания случайной функции достаточно знать её одномерную плотность распределения

Математическое ожидание называют также неслучайной составляющей случайной функции X (t ), в то время как разность

(9)

называют флюктуационной частью случайной функции или центрированной случайной функцией.

Определение . Дисперсией случайной функции X (t ) называется неслучайная функция , значение которой для каждого t равно дисперсии соответствующего сечения случайной функции.

Из определения следует, что

Дисперсия случайной функции при каждом характеризует разброс возможных реализаций случайной функции относительно среднего, иными словами, «степень случайности» случайной функции (рисунок 6).

Литература: [Л.1], стр. 155-161

[Л.2], стр. 406-416, 42-426

[Л.3], стр. 80-81

Математическими моделями случайных сигналов и помех являются случайные процессы. Случайным процессом (СП) называется изменение случайной величины во времени . К случайным процессам относится большинство процессов, протекающих в радиотехнических устройствах, а также помехи, сопровождающие передачу сигналов по каналам связи. Случайные процессы могут быть непрерывными (НСП), либо дискретными (ДСП) в зависимости от того, какая случайная величина непрерывная или дискретная изменятся во времени. В дальнейшем основное внимание будет уделено НСП.

Прежде чем приступить к изучению случайных процессов необходимо определится со способами их представления. Будем обозначать случайный процесс через , а его конкретную реализацию – через . Случайный процесс может быть представлен либо совокупностью (ансамблем) реализаций , либо одной , но достаточно протяженной во времени реализацией . Если сфотографировать несколько осциллограмм случайного процесса и фотографии расположить одну под другой, то совокупность этих фотографий будет представлять ансамбль реализаций (рис. 5.3).

Здесь – первая, вторая, …, k-ая реализации процесса. Если же отобразить изменение случайной величины на ленте самописца на достаточно большом интервале времени T, то процесс будет представлен единственной реализацией (рис. 5.3).

Как и случайные величины, случайные процессы описываются законами распределения и вероятностными (числовыми) характеристиками. Вероятностные характеристики могут быть получены как усреднение значений случайного процесса по ансамблю реализаций, так и усреднением по одной реализации.

Пусть случайный процесс представлен ансамблем реализаций (рис. 5.3). Если выбрать произвольный момент времени и зафиксировать значения, принимаемые реализациями в этот момент времени, то совокупность этих значений образует одномерное сечение СП

и представляет собой случайную величину . Как уже подчеркивалось выше, исчерпывающей характеристикой случайной величины является функция распределения или одномерная плотность вероятности

.

Естественно как , так и , обладают всеми свойствами функции распределения и плотности распределения вероятности, рассмотренными выше.

Числовые характеристики в сечении определяются в соответствии с выражениями (5.20), (5.22), (5.24) и (5.26). Так, в частности математическое ожидание СП в сечении определяется выражением

а дисперсия – выражением

Однако, законов распределения и числовых характеристик только в сечении недостаточно для описания случайного процесса, который развивается во времени. Поэтому, необходимо рассмотреть второе сечении (рис. 5.3). В этом случае СП будет описываться уже двумя случайными величинами и , разнесенными между собой на интервал времени и характеризоваться двумерной функцией распределения и двумерной плотностью , где , . Очевидно, если ввести в рассмотрение третье, четвертое и т.д. сечения, можно прийти к многомерной (N-мерной) функции распределения и соответственно к многомерной плотности распределения .

Важнейшей характеристикой случайного процесса служит автокорреляционная функция (АКФ)

устанавливающая степень статистической связи между значениями СП в моменты времени и

Представление СП в виде ансамбля реализаций приводит к понятию стационарности процесса. Случайный процесс является стационарным , если все начальные и центральные моменты не зависят от времени, т.е.

, .

Это жесткие условия, поэтому при их выполнении СП считается стационаром в узком смысле .

На практике используется понятие стационарности в широком смысле . Случайный процесс стационарен в широком смысле, если его математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, т.е.:

а автокорреляционная функция определяется только интервалом и не зависит от выбора на оси времени

В дальнейшем будут рассматриваться только стационарные в широком смысле случайные процессы.

Выше отмечалось, что случайный процесс помимо представления ансамблем реализаций, может быть представлен единственной реализацией на интервале времени T. Очевидно, все характеристики процесса могут быть получены усреднением значений процесса по времени.

Математическое ожидание СП при усреднении по времени определяется следующим образом:

. (5.46)

Отсюда следует физический смысл : математическое ожидание – это среднее значение (постоянная составляющая) процесса.

Дисперсия СП определяется выражением

и имеет физический смысл средней мощности переменной составляющей процесса.

Автокорреляционная функция при усреднении по времени

Случайный процесс называется эргодическим , если его вероятностные характеристики, полученные усреднением по ансамблю, совпадают с вероятностными характеристиками, полученными усреднением по времени единственной реализации из этого ансамбля. Эргодические процессы являются стационарными.

Использование выражений (5.46), (5.47) и (5.48) требует, строго говоря, реализации случайного процесса большой (теоретически бесконечной) протяженности. При решении практических задач интервал времени ограничен. При этом большинство процессов считают приблизительно эргодическими и вероятностные характеристики определяют в соответствии с выражениями

; (5.49)

;

Случайные процессы, у которых исключено математическое ожидание, называются центрированными . В дальнейшем под и будут подразумеваться значения центрированных случайных процессов. Тогда выражения для дисперсии и автокорреляционной функции принимают вид

; (5.50)

Отметим свойства АКФ эргодических случайных процессов:

– автокорреляционная функция является вещественной функцией аргумента ,

– автокорреляционная функция является четной функцией, т.е. ,

– при увеличении АКФ убывает (необязательно монотонно) и при стремится к нулю,

– значение АКФ при равно дисперсии (средней мощности) процесса

.

На практике часто приходится иметь дело с двумя и более СП. Так например, на вход радиоприемника одновременно поступает смесь случайного сигнала и помехи. Взаимную связь между двумя случайными процессами устанавливает взаимная корреляционная функция (ВКФ). Если и – два случайных процесса, характеризующиеся реализациями и , то взаимная корреляционная функция определяется выражением

Прежде чем дать определение случайного процесса напомним основные понятия из теории случайных величин. Как известно, случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, заранее неизвестное. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Основной характеристикой случайной величины является закон распределения, который может быть задан в виде графика или в аналитической форме. При интегральном законе распределения функция распределения , где – вероятность того, что текущее значение случайной величины меньше некоторого значения . При дифференциальном законе распределения используют плотность вероятности . Численными характеристиками случайных величин являются так называемые моменты, из которых наиболее употребительны момент первого порядка – среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и центральный момент второго порядка – дисперсия. В случае, если имеется несколько случайных величин (система случайных величин), вводится понятие корреляционного момента.

Обобщением понятия случайной величины является понятие случайной функции , т.е. функции, которая в результате опыта может принять тот или иной вид, неизвестный заранее. Если аргументом функции является время t, то её называют случайным или стохастическим процессом .

Конкретный вид случайного процесса, полученный в результате опыта, называется реализацией случайного процесса и является обычной неслучайной (детерминированной) функцией. С другой стороны в фиксированный момент времени имеем так называемое сечение случайного процесса в виде случайной величины.

Для описания случайных процессов обобщаются естественным образом понятия теории случайных величин. Для некоторого фиксированного момента времени , случайный процесс превращается в случайную величину , для которой можно ввести функцию , называемую одномерным законом распределения случайного процесса . Одномерный закон распределения не является исчерпывающей характеристикой случайного процесса. Он, например, не характеризует корреляцию (связь) между отдельными сечениями случайного процесса. Если взять два разных момента времени и , можно ввести двумерный закон распределения и т.д. В пределах нашего дальнейшего рассмотрения будем ограничиваться в основном одномерным и двумерным законами.

Рассмотрим простейшие характеристики случайного процесса, аналогичные числовым характеристикам случайной величины. Математическое ожидание или среднее по множеству

и дисперсию

Математическое ожидание – это некоторая средняя кривая, вокруг которой группируются отдельные реализации случайного процесса, а дисперсия характеризует в каждый момент времени разброс возможных реализаций. Иногда, используется среднеквадратичное отклонение .

Для характеристики внутренней структуры случайного процесса вводится понятие корреляционной (автокорреляционной ) функции

Наряду с математическим ожиданием (среднее по множеству) (3.1) вводится ещё одна характеристика случайного процесса – среднее значение случайного процесса для отдельной реализации (среднее по времени)

Для двух случайных процессов можно также ввести понятие взаимной корреляционной функции по аналогии с (3.3).

Одним из частных случаев случайного процесса, находящих широкое применение на практике, является стационарный случайный процесс – это случайный процесс, вероятностные характеристики, которого не зависят от времени. Итак, для стационарного случайного процесса , , а корреляционная функция зависит от разности , т.е. является функцией одного аргумента .

Стационарный случайный процесс в какой-то мере аналогичен обычным или установившимся процессам в системах управления.

Стационарные случайные процессы обладают интересным свойством, которое называется эргодической гипотезой . Для стационарного случайного процесса всякое среднее по множеству равно среднему по времени. В частности, например, Это свойство позволяет часто упростить физическое и математическое моделирование систем при случайных воздействиях.

Как известно, при анализе детерминированных сигналов широкое применение находят их спектральные характеристики на базе ряда или интеграла Фурье. Аналогичное понятие можно ввести и для случайных стационарных процессов. Отличие будет заключаться в том, что для случайного процесса амплитуды гармонических составляющих будут случайными, а спектр статического случайного процесса будет описывать распределение дисперсий по различным частотам.

Спектральная плотность стационарного случайного процесса связана с его корреляционной функцией преобразованиями Фурье :

где корреляционную функцию будем трактовать как оригинал, а - как изображение.

Существуют таблицы, связывающие оригиналы и изображения . Например, если , то .

Отметим связь спектральной плотности и корреляционной функции с дисперсией D

Различают нестационарные, стационарные и эргодические случайные процессы. Наиболее общий случайный процесс – нестационарный.

Случайный процесс является стационарным , если его многомерная плотность вероятности зависит только от величины интервалов и не зависит от положения этих интервалов в области изменения аргумента . Отсюда следует, что во-первых, для стационарного процесса одномерная плотность вероятности не зависит от времени, т.е. ; во-вторых, двумерная плотность вероятности зависит от разности , т.е. и т.д. В связи с этим все моменты одномерного распределения, в том числе математическое ожидание и дисперсия, постоянны. Часто бывает достаточно для определения случайного процесса стационарным постоянство первых двух моментов. Таким образом для стационарного процесса:

Стационарный случайный процесс называется эргодическим , если при определении любых статистических характеристик усреднение по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени одной бесконечно длинной реализации; в этом случае

Широкое практическое использование при исследовании состояния разных технических объектов получили три типа случайных процессов - гауссовский, стационарный и марковский.

Гауссовский случайный процесс - это случайный процесс X(t), распределение вероятностей параметров которого подчиняется нормальному закону. Математическое ожидание (среднее значение)М[Х(t)] и корреляционная функция K х (t 1 ,t 2) однозначно определяют распределение его параметров, следовательно, и процесс в целом.

Стационарный случайный процесс (однородный во времени случайный процесс) - это такой случайный процесс X(t), статистические характеристики которого постоянны во времени, то есть инвариантны к кратковременным возмущениям: t → t + τ, X(t) → X(t + τ) при любом фиксированном значении τ. Процесс полностью определяется математическим ожиданием M и корреляционной функцией

К х (t,τ) = M.

Марковский случайный процесс - это такой случайный процесс, при котором вероятность нахождения системы в каком-либо состоянии в будущем зависит от того, в каком состоянии система находится в заданный момент времени и не зависит от того, каким путем система перешла в это состояние. Короче - «будущее» и «прошлое» процесса при известном его «настоящем» не связаны друг с другом. Часто марковский процесс характеризуется вероятностями перехода системы из одного состояния в другое (переходными вероятностями).

Изменение технического состояния системы

Как уже говорилось, задача прогнозирования технического состояния, в самом общем понимании, представляет собой получение некоторых вероятностных характеристик работоспособности системы в будущем на основе данных контроля ее настоящего и прошедших состояний.

В зависимости от того, какая характеристика случайного процесса определяется при прогнозировании, различают прогнозирование надежности (определение условной плотности вероятности безотказной работы системы после контроля) и прогнозирование технического состояния (определение условной плотности распределения вероятностей значений определяющего параметра) на основе прошлых и настоящего состояний. На рис 8.1 проиллюстрирована разница между этими характеристиками. На этом рисунке x(t) - отрезок реализации случайного процесса X(t), описывающий изменение во времени некоторого определяющего параметра системы, имеющего допустимые границы (а, b) изменения. Отрезок реализации получен в результате наблюдения за конкретным экземпляром системы из заданного класса систем на интервале времени (0, t k 2). В момент t k 2 был осуществлен последний контроль системы, и на его основе необходимо решить - пригодна ли система к эксплуатации до наступления очередного момента контроля t k 3 .

рис. 8.1 Условная плотность вероятности безотказной работы р{x(t)} и f{(x(t)} условная плотность распределения вероятностей значений определяющего параметра

В связи с тем, что внешние воздействия, воспринимаемые системой, имеют случайный характер, случайный процесс после момента t k 2 может изменяться по разному (см. пунктирные линии на рис. 8.1). Процесс, являющийся продолжением некоторого исходного процесса при условии, что на интервале (0,t k 2) его реализация имела конкретный вид х(t), называется условным , или апостериорным , случайным процессом:

Х ps (t)=x. (8.5)

Следовательно, для принятия обоснованного решения о назначении срока очередного контроля системы необходимо знать характеристики апостериорного случайного процесса. Пригодной для выполнения задачи будет считаться система, определяющие параметры которой находятся в допустимых границах (а, b) в момент предыдущего контроля и не выйдут из этих границ до конца заданного срока функционирования. Поскольку выход определяющих параметров за допустимые границы является случайным событием, то оценкой работоспособности системы может быть условная вероятность безотказной ее работы после контроля. Это вероятность того, что случайный процесс ни разу не пересечет границу (a, b) после момента контроля; ее называют прогнозированной надежностью системы и обозначают

P{x(t)=<<(ba)/X(t)=x(t), 0<

Таким образом, прогнозированием надежности называется определение условной вероятности безотказной работы системы при условии, что в момент контроля она находилась в некотором фиксированном работоспособном состоянии.

Наиболее полной характеристикой будущего технического состояния системы является условная плотность распределения вероятностей ее определяющих параметров, то есть будущих значений случайного процесса

f{x(t k 3)/X(t)=x(t), 0<

при условии, что на интервале (0,t k 3) реализация процесса имела конкретный вид (рис. 8.1).