Определение 4.1.1. Кольцо (K , +, ) – это алгебраическая система с непустым множеством K и двумя бинарными алгебраическими операциями на нем, которые будем называть сложением и умножением . Кольцо является абелевой аддитивной группой, а умножение и сложение связаны законами дистрибутивности: (a + b ) c = a c + b c и с (a + b ) = c a + c b для произвольных a , b , c K .
Пример 4.1.1. Приведем примеры колец.
1. (Z , +, ), (Q , +, ), (R , +, ), (C , +, ) – соответственно кольца целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел с обычными операциями сложения и умножения. Данные кольца называются числовыми .
2. (Z / n Z , +, ) – кольцо классов вычетов по модулю n N с операциями сложения и умножения.
3. Множество M n (K ) всех квадратных матриц фиксированного порядка n N с коэффициентами из кольца (K , +, ) с операциями матричного сложения и умножения. В частности, K может быть равно Z , Q , R , C или Z /n Z приn N .
4. Множество всех вещественных функций, определенных на фиксированном интервале (a ; b ) вещественной числовой оси, с обычными операциями сложения и умножения функций.
5. Множество полиномов (многочленов) K [x ] с коэффициентами из кольца (K , +, ) от одной переменной x с естественными операциями сложения и умножения полиномов. В частности, кольца полиномов Z [x ], Q [x ], R [x ], C [x ], Z /n Z [x ] приn N .
6. Кольцо векторов (V 3 (R ), +, ) c операциями сложения и векторного умножения.
7. Кольцо ({0}, +, ) с операциями сложения и умножения: 0 + 0 = 0, 0 0 = = 0.
Определение 4.1.2. Различают конечные и бесконечные кольца (по числу элементов множества K ), но основная классификация ведется по свойствам умножения. Различают ассоциативные кольца, когда операция умножения ассоциативна (пункты 1–5, 7 примера 4.1.1) и неассоциативные кольца (пункт 6 примера 4.1.1: здесь , ). Ассоциативные кольца делятся на кольца с единицей (есть нейтральный элемент относительно умножения) и без единицы , коммутативные (операция умножения коммутативна) и некоммутативные .
Теорема 4.1.1. Пусть (K , +, ) – ассоциативное кольцо с единицей. Тогда множество K * обратимых относительно умножения элементов кольца K – мультипликативная группа.
Проверим выполнение определения группы 3.2.1. Пусть a , b K * . Покажем, что a b K * . (a b ) –1 = b –1 а –1 K . Действительно,
(a b ) (b –1 а –1) = a (b b –1) а –1 = a 1 а –1 = 1,
(b –1 а –1) (a b ) = b –1 (а –1 a ) b = b –1 1 b = 1,
где а –1 , b –1 K – обратные элементы к a и b соответственно.
1) Умножение в K * ассоциативно, так как K – ассоциативное кольцо.
2) 1 –1 = 1: 1 1 = 1 1 K * , 1 – нейтральный элемент относительно умножения в K * .
3) Для
a
K
* ,
а
–1 K
* ,
так как (а
–1) a
=
a
(а
–1) =
1
(а
–1) –1
=
a
.
Определение 4.1.3. Множество K * обратимых относительно умножения элементов кольца (K , +, ) называют мультипликативной группой кольца .
Пример 4.1.2. Приведем примеры мультипликативных групп различных колец.
1. Z * = {1, –1}.
2. M n (Q ) * = GL n (Q ), M n (R ) * = GL n (R ), M n (C ) * = GL n (C ).
3. Z /n Z * – множество обратимых классов вычетов, Z /n Z * = { | (k , n ) = 1, 0 k < n }, при n > 1 | Z /n Z * | = (n ), где – функция Эйлера.
4. {0} * = {0}, так как в данном случае 1 = 0.
Определение 4.1.4. Если в ассоциативном кольце (K , +, ) с единицей группа K * = K \{0}, где 0 – нейтральный элемент относительно сложения, то такое кольцо называют телом или алгеброй с делением . Коммутативное тело называется полем .
Из данного определения очевидно, что в теле K * и 1 K * , значит, 1 0, поэтому минимальное тело, являющееся полем, состоит из двух элементов: 0 и 1.
Пример 4.1.3.
1. (Q , +, ), (R , +, ), (C , +, ) – соответственно числовые поля рациональных, вещественных и комплексных чисел.
2. (Z /p Z , +, ) – конечное поле из p элементов, если p – простое число. Например, (Z /2Z , +, ) – минимальное поле из двух элементов.
3.
Некоммутативным
телом является тело кватернионов –
совокупность кватернионов, то есть
выражений вида h
=
a
+ bi
+ cj
+ dk
,
где a
,
b
,
c
,
d
R
,
i
2 =
= j
2 = k
2 = –1,
i
j
= k
= – j
i
,
j
k
= i
= – k
j
,
i
k
= – j
= – k
i
,
с операциями сложения и умножения.
Кватернионы складываются и перемножаются
почленно с учетом указанных выше формул.
Для всякого h
0
обратный кватернион имеет вид:
.
Различают кольца с делителями нуля и кольца без делителей нуля.
Определение 4.1.5. Если в кольце найдутся ненулевые элементы a и b такие, что a b = 0, то их называют делителями нуля , а само кольцо – кольцом с делителями нуля . В противном случае кольцо называется кольцом без делителей нуля .
Пример 4.1.4.
1. Кольца (Z , +, ), (Q , +, ), (R , +, ), (C , +, ) – кольца без делителей нуля.
2.
В
кольце (V
3 (R
), +, )
каждый отличный от нуля элемент является
делителем нуля, поскольку
для всех
V
3 (R
).
3.
В
кольце матриц M
3 (Z
)
примерами делителей нуля являются
матрицы
и
,
так как A
B
=
O
(нулевая матрица).
4. В кольце (Z / n Z , +, ) с составным n = k m , где 1 < k , m < n , классы вычетов и являются делителями нуля, так как .
Ниже приведем основные свойства колец и полей.
Понятие кольца, простейшие свойства колец.
Алгебра (K , +, ∙) называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы:
1. (K , +) – коммутативная группа;
2.
a(b+c
) = ab+ac
(b+c
)a
= ba+ca
;
3. a (bc ) = (ab ) c .
Если операция умножения в кольце коммутативная, то кольцо называется коммутативным.
Пример. Алгебры (Z, +, ∙), (Q , +, ∙), (R , + ,∙) являются кольцами.
Кольцо обладает следующими свойствами: имеет место
1) a + b = a => b = 0;
2) a + b = 0 => b = - a ;
3) – (- a ) = a ;
4) 0∙a = a ∙0 = 0 (0 – ноль кольца);
5) (-a )∙b = a ∙(-b ) = -a ∙b ;
6) (a – b )∙c = a ∙c – b ∙c , где a – b = a + (-b) .
Докажем свойство 6. (a – b )∙c = (a + (-b ))∙c = a ∙c + (-b )∙c = a ∙c +(-b ∙c )= =a ∙c – b ∙c .
Пусть (K A K называется подкольцом кольца (K ,+,∙), если оно является кольцом относительно операций в кольце (K , +, ∙).
Теорема.
Пусть (K
, +, ∙) – кольцо. Непустое подмножество A
K
,
является подкольцом кольца К
тогда и только тогда, когда
a
-
b
, a
∙b
.
Пример. Кольцо (Q, +, ∙) является подкольцом кольца (А , +, ∙), где A = ={a + b | a , b Q}.
Понятие поля. Простейшие свойства полей .
Определение.
Коммутативное кольцо (Р
, +, ∙) с единицей, где ноль кольца не совпадает с единицей кольца, называется полем, если
a
≠0 существует ему обратный элемент а
-1 , а
∙ а
-1 = е
, е
– единица кольца.
Все свойства колец справедливы для полей. Для поля (Р ,+,∙) справедливы также следующие свойства:
1)
a
≠0 уравнение ах =
b
имеет решение и притом единственное;
2) ab = e |=> a ≠0 b = а -1 ;
3)
c
≠0 ac = bc
=> a=b
;
4) ab
= 0
a
= 0 b
= 0;
5) ad = bc (b ≠0, d ≠0);
6)
;
.
Пример. Алгебры (Q, +, ∙), (А , +, ∙), где А = {a +b | a , b Q}, (R , +, ∙) – поля.
Пусть (Р ,+,∙) – поле. Непустое подмножество F P , являющееся полем относительно операции в поле (Р ,+,∙) называется подполем поля Р .
Пример. Поле (Q,+,∙) является подполем поля действительных чисел (R,+,∙).
Задачи для самостоятельного решения
1. Покажите, что множество относительно операции умножения есть абелева группа.
2.
На множестве Q\{0}определена операция а
b
=
. Докажите, что алгебра (Q\{0},) является группой.
3. На множестве Z задана бинарная алгебраическая операция, определенная по правилу, а b = а+ b – 2. Выясните, является ли алгебра (Z,) группой.
4. На множестве А
= {(a
,
b
)
} определена операция (а,
b
) (c
,
d
) = (ac
–
bd
, ad
+
bc
). Докажите, что алгебра (А,
) – группа.
5. Пусть Т
– множество всех отображений
заданных правилом
, где а,
b
Q, a
Докажите, что Т
является группой относительно композиции отображений.
6. Пусть А
={1,2,…,n
}. Взаимнооднозначное отображение f
:
называется подстановкой n
– ой степени. Подстановку n
– ой степени удобно записывать виде таблицы
, где Произведение двух подстановок
множества А
определяется как композиция отображений . По определению
Доказать, что множество всех подстановок n
– ой степени является группой относительно произведения подстановок.
7. Выясните, образует ли кольцо относительно сложения, умножения:
a
) N
; b
) множество всех нечетных целых чисел; c)множество всех четных целых чисел; d
) множество чисел вида
где а,
b
8. Является ли кольцом множество К
={а
+b
} относительно операций сложения и умножения.
9. Покажите, что множество А ={a +b } относительно операций сложения и умножения есть кольцо.
10. На множестве Z
определены две операции: a
b
=a
+b
+1, ab
=
ab
+
a
+
b
. Доказать, что алгебра
11. На множестве классов вычетов по модулю m
заданы две бинарные операции:Доказать, что алгебра
коммутативное кольцо с единицей.
12 . Опишите все подкольца кольца
.
13. Выясните, какие из следующих множеств действительных чисел являются полями относительно операций сложения и умножения:
a ) рациональные числа с нечетными знаменателями;
b
) числа вида
c рациональными а,
b
;
c
) числа вида
с рациональными а
, b
;
d
) числа вида
с рациональными a
, b
, c
.
§5. Поле комплексных чисел. Операции над комплексными
числами в алгебраической форме
Поле комплексных чисел .
Пусть заданы две алгебры (А
,+,∙), (Ā
, , ◦). Отображение f
:
A
в(на)
>Ā
, удовлетворяющее условиям:
f
(a
+b
) =
f
(a
) f
(b
) f
(a
◦b
) = f
(a
) ◦ f
(b
), называется гомоморфизмом алгебры (А
, +, ∙) в(на) алгебру (Ā
, , ◦).
Определение. Гомоморфное отображение f алгебры (А , +, ∙) на алгебру (Ā , , ◦) называется изоморфным отображением, если отображение f множества А на Ā инъективно. С точки зрения алгебры изоморфные алгебры неразличимы, т.е. обладают одинаковыми свойствами.
Над полем R уравнение вида x 2 +1 = 0 не имеет решений. Построим поле, которое содержит подполе, изоморфное полю (R ,+,∙), и в котором уравнение вида x 2 +1 = 0 имеет решение.
На множестве C = R × R = {(a , b ) | a , b R } введем операции сложения и умножения следующим образом: (a , b ) (c , d ) = (a + c , b + d ), (a , b ) ◦ (c , d ) = (ac -bd , ad +bc ). Нетрудно доказать, что алгебра (C, ,◦) коммутативное кольцо с единицей. Пара (0,0) – ноль кольца, (1,0) – единица кольца. Покажем, что кольцо (С , ,◦) – поле. Пусть (a , b ) C, (a , b ) ≠ (0,0) и (x ,y ) C такая пара чисел, что (a , b )◦(x , y ) = (1,0). (a , b )◦(x , y ) = (1,0) (ax – by , ay + bx ) = (1,0)
(1)
Из (1) =>
,
(a
,
b
) -1 =
. Следовательно (С, +, ∙) – поле. Рассмотрим множество R
0 = {(a
,0) | aR
}. Так как (a
,0) (b
,0) = (a
-
b
,0)R
0 , (a
,0)◦(b
,0) = (ab
,0)
R
0 ,
(a
,0) ≠ (0,0) (a
,0) -1 = (,0)
R
0 , то алгебра (R
0, ,◦) – поле.
Построим отображение f
: R
R
0 , определенное условием f
(a
)=(a
,0) . Так как f
– биективное отображение и f
(a
+
b
)= (a
+
b
,0) = =(a
,0)(b
,0) = f
(a
)f
(b
), f
(a
∙b
) = (a
∙
b
,0) = (a
,0)◦(b
,0) =f
(a
)◦f
(b
), то f
– изоморфное отображение. Следовательно, (R
, +,∙)
(R
0, ,◦). (R
0, ,◦) – поле действительных чисел.
Покажем, что уравнение вида х 2 +1 = 0 в поле (C , , ◦) имеет решения. (х,у ) 2 + (1,0) = (0,0) (x 2 - y 2 +1, 2xy ) = (0,0)
(2)
(0,1), (0, -1) – решения системы (2).
Построенное поле (C , ,◦) называется полем комплексных чисел, а его элементы комплексными числами.
Алгебраическая форма комплексного числа. Операции над комплексными числами в алгебраической форме.
Пусть (С, +, ∙) поле комплексных чисел,
C,
=(a
,
b
). Так как (R
0 ,+, ∙) (R
, +, ∙), то любую пару (a
,0) отождествим с действительным числом a
. Обозначим через ί
= (0,1). Так как ί
2 = (0,1)∙(0,1) = (-1,0) = -1, то ί
называется мнимой единицей. Представим комплексное число
=(a
,b
) в виде: =(a
,b
)=(a
,0) +(b
,0) ◦(0,1)=a
+b
∙ί.
Представление комплексного числа в виде, = а
+ b
ί
называется алгебраической формой записи числа .
a
называется действительной частью комплексного числа и обозначается Re, b
– мнимая часть комплексного числа и обозначается Im.
Сложение комплексных чисел:
α = а+ bί , β = с+ d ί , α +β = (а, b ) + (c , d ) = (a + c , b + d ) = a + c + (b + d )ί.
Умножение комплексных чисел:
α∙β = (a , b )(c , d ) = (a ∙ c – b ∙ d , a ∙ d + b ∙ c ) = a ∙ c - b ∙ d + (a ∙ d + b ∙ c )ί.
Чтобы найти произведение комплексных чисел а+ bί и с+ d ί , нужно умножить а+ bί на с+ d ί как двучлен на двучлен, учитывая, что ί 2 = -1.
Частным от деления на β , β ≠ 0 называется такое комплексное число γ, что = γ∙β .
= γ∙β
=> γ = ∙β
-1 . Так как
, то =∙β
-1 = =(a
,
b
)∙
Таким образом
Эту формулу можно получить, если числитель и знаменатель дроби умножить на комплексное число, сопряженное знаменателю, т.е. на
с – dί .
Пример. Найти сумму, произведение, частное комплексных чисел
2+ 3ί , β = 3 - 4ί .
Решение. + β
=(2 + 3ί
) + (3 – 4ί
) =5– ί,
∙β
= (2 + 3ί)
(3– 4ί
) = 6 –8ί
+ 9ί
– –12ί
2 = 18 + ί
.
§6. Извлечение корня n -ой степени из комплексного числа в тригонометрической форме
Тригонометрическая форма комплексного числа.
На плоскости в прямоугольной системе координат комплексное число
z
=
a
+
bί
будем изображать точкой А
(а,
b
) или радиусом вектором
.
Изобразим комплексное число z = 2 – 3ί .
Определение.
Число
называется модулем комплексного числа z
=
a
+
bί
и обозначается | z
|.
Угол, образованный между положительным направлением оси Ох и радиусом вектором , изображающим комплексное число z = a + bί , называется аргументом числа z и обозначается Arg z .
Argz определен с точностью до слагаемое 2πk , .
Аргумент комплексного числа z , удовлетворяющий условию 0≤ < 2π , называется главным значением аргумента комплексного числа z и обозначается arg z .
Из OAA 1 =>a
=
cos, b
= sin
. Представление комплексного числа z
=
a
+
bί
в виде z
=
r
(cos+
ί
sin) называется тригонометрической формой записи числа z
(r
=). Чтобы записать комплексное число z
=
a
+
bί
в тригонометрической форме, необходимо знать |z
| и Arg
z
, которые определяются из формул
, cos =
sin =
Пусть z 1 = r 1 (cos φ 1 + ί sin φ 1), z 2 = r 2 (cos φ 2 + ί sin φ 2). Тогда z 1∙ z 2 = =r 1∙ r 2 [(cosφ 1 ∙cosφ 2 – sin φ 1∙ sin φ 2)+i ]= r 1∙ r 2 [(cos (φ 1+ φ 2) + i sin (φ 1+ φ 2)] . Отсюда следует, что |z 1 z 2 | = |z 1 | |z 2 |, Arg z 1 ∙z 2 = Arg z 1 + Arg z 2 .
Arg
Arg– Arg.
Извлечение корня n – ой степени из комплексного числа в тригонометрической форме.
Пусть z
C
, n
N
. n
– ой степенью комплексного числа z
называется произведение
обозначается оно z
n
. Пусть m
=-
n
. По определению положим, что
z≠0, z 0 = 1, z
m
= . Если z
=r
(cosφ
+ ί
sinφ
) , то z
n
=
=
r
n
(cosnφ
+
ί
sinnφ
). При r
= 1 имеем z
n
=
cosnφ
+
ί
sinnφ
– формула Муавра. Формула Муавра имеет место
.
Корнем n z называется такое комплексное число ω , что ω n = z . Справедливо утверждение.
Теорема.
Существует n
различных значений корня n
–ой степени из комплексного числа z
=
r
(cosφ
+
ί
sinφ
) . Все они получаются из формулы при k
= 0, 1, … , n
-1. В этой формуле
– арифметический корень.
Обозначим через, ω 0 , ω 1 ,…, ω n -1 – значения корня n -ой степени из z , которые получаются при k = 0, 1, ... , n -1. Так как |ω 0 | = |ω 1 | = |ω 2 |= … =|ω n -1 |,
arg
ω
0 = , ω
1 = arg
ω
0 +
, … , arg
ω
n
-1 = arg
ω
n
-
2 + , то комплексные числа ω
0 , ω
1 ,…, ω
n
-1 на плоскости изображаются точками круга с радиусом равным
и делят этот круг на n
равных частей.
Аннотация: В данной лекции рассматриваются понятия колец. Приведены основные определения и свойства элементов кольца, рассмотрены ассоциативные кольца. Рассмотрен ряд характерных задач, доказаны основные теоремы, а также приведены задачи для самостоятельного рассмотрения
Множество R с двумя бинарными операциями (сложением + и умножением ) называется ассоциативным кольцом с единицей , если:
Если операция умножения коммутативна, то кольцо называется коммутативным кольцом. Коммутативные кольца являются одним из главных объектов изучения в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии.
Замечания 1.10.1 .
Примеры 1.10.2 (примеры ассоциативных колец) .
Мы уже убедились, что группа вычетов (Z n ,+)={C 0 ,C 1 ,...,C n-1 }, C k =k+nZ , по модулю n с операцией сложения , является коммутативной группой (см. пример 1.9.4, 2)).
Определим операцию умножения, полагая . Проверим корректность этой операции . Если C k =C k" , C l =C l" , то k"=k+nu , l"=l+nv , , и поэтому C k"l" =C kl .
Так как (C k C l)C m =C (kl)m =C k(lm) =C k (C l C m), C k C l =C kl =C lk =C l C k , C 1 C k =C k =C k C 1 , (C k +C l)C m =C (k+l)m =C km+lm =C k C m +C l C m , то является ассоциативным коммутативным кольцом с единицей C 1 кольцом вычетов по модулю n ).
Лемма 1.10.3 (бином Ньютона) . Пусть R - кольцо с 1 , , . Тогда:
Доказательство.
Определение 1.10.4 . Подмножество S кольца R называется подкольцом , если:
а) S - подгруппа относительно сложения в группе (R,+) ;
б)для имеем ;
в)для кольца R с 1 предполагается, что .
Примеры 1.10.5 (примеры подколец) .
Задача 1.10.6 . Описать все подкольца в кольце вычетов Z n по модулю n .
Замечание 1.10.7 . В кольце Z 10 элементы, кратные 5 , образуют кольцо с 1 , не являющееся подкольцом в Z 10 (у этих колец различные единичные элементы).
Определение 1.10.8 . Если R - кольцо, и , , ab=0 , то элемент a называется левым делителем нуля в R , элемент b называется правым делителем нуля в R .
Замечание 1.10.9 . В коммутативных кольцах, естественно, нет различий между левыми и правыми делителями нуля.
Пример 1.10.10 . В Z , Q , R нет делителей нуля.
Пример 1.10.11 . Кольцо непрерывных функций C имеет делители нуля. Действительно, если
Пример 1.10.12
. Если n=kl
, 1 Лемма 1.10.13
. Если в кольце R
нет (левых) делителей нуля, то из ab=ac
, где , , следует, что b=c
(т. е. возможность сокращать на ненулевой элемент слева, если нет левых делителей нуля; и справа, если нет правых делителей нуля). Доказательство. Если ab=ac
, то a(b-c)=0
. Так как a
не является левым делителем нуля, то b-c=0
, т. е. b=c
. Определение 1.10.14
. Элемент называется нильпотентным
, если x n =0
для некоторого . Наименьшее такое натуральное число n
называется степенью нильпотентности элемента
. Ясно, что нильпотентный элемент является делителем нуля (если n>1
, то , ). Обратное утверждение неверно (в Z 6
нет нильпотентных элементов, однако 2
, 3
, 4
- ненулевые делители нуля). Упражнение 1.10.15
. Кольцо Z n
содержит нильпотентные элементы тогда и только тогда, когда n
делится на m 2
, где , . Определение 1.10.16
. Элемент x
кольца R
называется идемпотентом
, если x 2 =x
. Ясно, что 0 2 =0
, 1 2 =1
. Если x 2 =x
и , , то x(x-1)=x 2 -x=0
, и поэтому нетривиальные идемпотенты
являются делителями нуля. Через U(R)
обозначим множество обратимых элементов ассоциативного кольца R
, т. е. тех , для которых существует обратный элемент s=r -1
(т. е. rr -1 =1=r -1 r
). ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ГРУППЫ.
Опр1
.Пусть G не пустое множество элементов произвольной природы. G называется группой
1) На множестве G задана бао °. 2) бао ° ассоциативна. 3) Существует нейтральный элемент nÎG. 4) Для любого элемента из G симметричный ему элемент всегда существует и принадлежит такжеG. Пример.
Множество Z – чисел с операцией +. Опр2
.Группа называется абелевой
, если она коммутативна относительно заданной бао °. Примеры групп:
1) Z,R,Q «+» (Z+) Простейшие свойства групп
В группе существует единственный нейтральный элемент В группе для каждого элемента существует единственный симметричный ему элемент Пусть G - группа с бао °, тогда уравнения вида: a°x=b и x°a=b (1) - разрешимы и имеют единственное решение. Доказательство
. Рассмотрим уравнения (1) относительно x. Очевидно, что для а $! а". Так как операция ° - ассоциативна, то очевидно x=b°a" - единственное решение. 34. ЧЕТНОСТЬ ПОДСТАНОВКИ*
Определение 1
. Подстановка называется четной
, если она разлагается в произведение четного числа транспозиций, и нечетная в противном случае. Предложение 1
.Подстановка Является четной <=> - четная перестановка. Следовательно, количество четных подстановок из n чисел равно n!\2. Предложение 2
. Подстановки f и f - 1 имеют один характер четности. > Достаточно проверить, что если - произведение транспозиций, то < Пример:
ПОДГРУППА. КРИТЕРИЙ ПОДГРУППЫ.
Опр.
Пусть G - группа c бао ° и не пустое подмножество HÌG, тогда H называют подгруппой группы G, если H -подгруппа относительно бао° (т.е. ° - бао на Н. И Н с этой операцией группа). Теорема (критерий подгруппы).
Пусть G - группа относительно операции°, ƹHÎG. H является подгруппой <=> "h 1 ,h 2 ÎH выполняется условие h 1 °h 2 "ÎH (где h 2 " - симметричный элемент к h 2). Док-во. =>:
Пусть H - подгруппа (нужно доказать, что h 1 °h 2 "ÎH). Возьмем h 1 ,h 2 ÎH, тогда h 2 "ÎH и h 1 °h" 2 ÎH (так как h" 2 - симметричный элемент к h 2). <=:
(надо доказать, что H - подгруппа). Раз H¹Æ , то там есть хотя бы один элемент. Возьмем hÎH, n=h°h"ÎH, т.е. нейтральный элемент nÎH. В качестве h 1 берем n, а в качестве h 2 возьмём h тогда h"ÎH Þ " hÎH симметричный элемент к h также принадлежит H. Докажем, что композиция любых элементов из Н принадлежит Н. Возьмём h 1 , а в качестве h 2 возьмём h" 2 Þ h 1 °(h 2 ") " ÎH, Þ h 1 °h 2 ÎH. Пример.
G=S n , n>2, α - некоторый элемент из Х={1,…,n}. В качестве H возьмём не пустое множество H= S α n ={fÎ S n ,f(α)=α}, при действии отображения из S α n α остаётся на месте. Проверяем по критерию. Возьмём любые h 1 ,h 2 ÎH. Произведение h 1 . h 2 "ÎH, т.е H - подгруппа, которая называется стационарной подгруппой элемента α. КОЛЬЦО, ПОЛЕ. ПРИМЕРЫ.
Опр.
Пусть К
непустое множество с двумя алгебраическими операциями: сложением и умножением. К
называется кольцом
, если выполняются следующие условия: 1)
К-
абелевагруппа(коммутативна относительно заданной бао °) относительно сложения; 2) умножение ассоциативно; 3)
умножение дистрибутивно относительно сложения(). Если умножение коммутативно, то К
называют коммутативным кольцом
. Если относительно умножения есть нейтральный элемент, то К
называют кольцом с единицей
. Примеры.
1)Множество Z целых чисел образует кольцо относительно обычных операций сложения и умножения. Это кольцо коммутативно, ассоциативно и обладает единицей. 2) Множества Q рациональных чисел и R действительных чисел являются полями относительно обычных операций сложения и умножения чисел. Простейшие свойства колец.
1. Так как К
абелева группа относительно сложения, то на К
переносятся простейшие свойства групп. 2. Умножение дистрибутивно относительно разности: a(b-c)=ab-ac. Доказательство. Т.к. ab-ac+ac=ab и a(b-c)+ac=a((b-c)+c)=a(b-c+c)=ab, то a(b-c)=ab-ac. 3. В кольце могут быть делители нуля, т.е. ab=0, но отсюда не следует,что a=0 b=0. Например, в кольце матриц размера 2´2, существуют элементы не равные нулю такие, что их произведение будет нуль: ,где - играет роль нулевого элемента. 4. a·0=0·а=0. Доказательство. Пусть 0=b-b. Тогда a(b-b)=ab-ab=0. Аналогично 0·а=0. 5. a(-b)=(-a)·b=-ab. Доказательство: a(-b)+ab=a((-b)+b)=a·0=0. 6. Если в кольце К
существует единица и оно состоит более, чем из одного элемента, то единица не равна нулю, где 1─ нейтральный элемент при умножении; 0 ─ нейтральный элемент при сложении. 7. Пусть К
кольцо с единицей, тогда множество обратимых элементов кольца образуют группу относительно умножения, которую называют мультипликативной группой кольца K
и обозначают K*
. Опр.
Коммутативное кольцо с единицей, содержащее не менее двух элементов, в котором любой отличный от нуля элемент обратим, называется полем
. Простейшие свойства поля
1. Т.к. поле - кольцо, то все свойства колец переносятся и на поле. 2. В поле нет делителей нуля,т.е. если ab=0 ,то a=0 или b=0. Доказательство. Если a¹0 ,то $ a -1 . Рассмотрим a -1 (ab)=(a -1 a)b=0 , а если a¹0 ,то b=0, аналогично если b¹0 3. Уравнение вида a´x=b, a¹0, b – любое, в поле имеет единственное решение x= a -1 b, или х=b/a. Решение этого уравнения называется частным. Примеры.
1)PÌC, P - числовое поле. 2)P={0;1}; Определение
4.1.1.
Кольцо
(K
, +, )
– это алгебраическая система с непустым
множеством K
и двумя бинарными алгебраическими
операциями на нем, которые будем называть
сложением
и умножением
.
Кольцо является абелевой аддитивной
группой, а умножение и сложение связаны
законами дистрибутивности:
(a
+ b
) c
=
a
c
+ b
c
и с
(a
+ b
) = c
a
+ c
b
для произвольных a
, b
, c
K
. Пример
4.1.1.
Приведем примеры колец. 1.
(Z
, +, ),
(Q
, +, ),
(R
, +, ),
(C
, +, )
– соответственно кольца целых,
рациональных, вещественных и комплексных
чисел с обычными операциями сложения
и умножения. Данные кольца называются
числовыми
. 2.
(Z
/n
Z
, +, )
–
кольцо классов вычетов по модулю n
N
с операциями сложения и умножения. 3.
Множество
M
n
(K
)
всех квадратных матриц фиксированного
порядка n
N
с коэффициентами из кольца (K
, +, )
с операциями матричного сложения и
умножения. В частности, K
может быть равно Z
,
Q
,
R
,
C
или
Z
/n
Z
приn
N
. 4.
Множество
всех вещественных функций, определенных
на фиксированном интервале (a
; b
)
вещественной числовой прямой, с обычными
операциями сложения и умножения функций. 5.
Множество
полиномов (многочленов) K
[x
]
с коэффициентами из кольца (K
, +, )
от одной переменной x
с естественными операциями сложения и
умножения полиномов. В частности, кольца
полиномов Z
[x
],
Q
[x
],
R
[x
],
C
[x
],
Z
/n
Z
[x
]
приn
N
. 6.
Кольцо
векторов (V
3 (R
), +, )
c
операциями сложения и векторного
умножения. 7.
Кольцо
({0}, +, )
с операциями сложения и умножения:
0 + 0 =
0,
0 0 =
= 0.
Определение
4.1.2.
Различают конечные
и бесконечные
кольца (по числу элементов множества
K
),
но основная классификация ведется по
свойствам умножения. Различают
ассоциативные
кольца, когда операция умножения
ассоциативна (пункты 1–5, 7 примера 4.1.1)
и неассоциативные
кольца (пункт
6 примера 4.1.1: здесь
,).
Ассоциативные кольца делятся на кольца
с единицей
(есть нейтральный элемент относительно
умножения) и без
единицы
,
коммутативные
(операция
умножения коммутативна) и
некоммутативные
. Теорема
4.1.1.
Пусть (K
, +, )
– ассоциативное кольцо с единицей.
Тогда множество K
*
обратимых относительно умножения
элементов кольца K
– мультипликативная группа. Проверим
выполнение определения группы 3.2.1. Пусть
a
, b
K
* .
Покажем, что a
b
K
* .
(a
b
) –1 = b
–1 а
–1 K
.
Действительно, (a
b
) (b
–1 а
–1) = a
(b
b
–1) а
–1 = a
1 а
–1 = 1, (b
–1 а
–1) (a
b
) = b
–1 (а
–1 a
) b
= b
–1 1 b
= 1, где
а
–1 ,
b
–1 K
– обратные элементы к a
и b
соответственно. 1) Умножение
в K
*
ассоциативно, так как K
– ассоциативное кольцо. 2) 1 –1 = 1:
1 1 = 1
1 K
* ,
1 – нейтральный элемент относительно
умножения в
K
* . 3) Для
a
K
* ,
а
–1 K
* ,
так как (а
–1) a
= a
(а
–1) = 1
Определение
4.1.3.
Множество
K
*
обратимых относительно умножения
элементов кольца (K
, +, )
называют мультипликативной
группой кольца
. Пример
4.1.2.
Приведем примеры мультипликативных
групп различных колец. 1.
Z
* = {1,
–1}. 2.
M
n
(Q
) * = GL
n
(Q
),
M
n
(R
) * = GL
n
(R
),
M
n
(C
) * = GL
n
(C
). 3.
Z
/n
Z
*
– множество обратимых классов вычетов,
Z
/n
Z
* = { | (k
, n
) = 1,
0 k
< n
},
при
n
> 1
| Z
/n
Z
* | =
(n
),
где
– функция Эйлера. 4.
{0} * = {0},
так как в данном случае 1 = 0.
Определение
4.1.4.
Если в ассоциативном кольце (K
, +, )
с единицей группа K
* =
K
\{0},
где 0 – нейтральный элемент относительно
сложения, то такое кольцо называют телом
или алгеброй
с
делением
.
Коммутативное тело называется полем
. Из
данного определения очевидно, что в
теле K
*
и 1 K
* ,
значит, 1 0,
поэтому минимальное тело, являющееся
полем, состоит из двух элементов: 0 и 1. Пример
4.1.3.
1.
(Q
, +, ),
(R
, +, ),
(C
, +, )
– соответственно числовые
поля
рациональных, вещественных и комплексных
чисел. 2.
(Z
/p
Z
, +, )
– конечное поле из p
элементов, если p
– простое число. Например, (Z
/2Z
, +, )
– минимальное поле из двух элементов. 3.
Некоммутативным
телом является тело
кватернионов
– совокупность кватернионов
,
то есть выражений вида h
=
a
+ bi
+ cj
+ dk
,
где a
,
b
,
c
,
d
R
,
i
2 =
= j
2 = k
2 = – 1,
i
j
= k
= – j
i
,
j
k
= i
= – k
j
,
i
k
= – j
= – k
i
,
с операциями сложения и умножения.
Кватернионы складываются и перемножаются
почленно с учетом указанных выше формул.
Для всякого h
0
обратный кватернион имеет вид:
Различают кольца
с делителями нуля и кольца без делителей
нуля. Определение
4.1.5.
Если в кольце найдутся
ненулевые элементы a
и b
такие, что a
b
= 0,
то их называют делителями
нуля
, а само
кольцо – кольцом
с делителями нуля
.
В противном случае кольцо
называется
кольцом без
делителей нуля
. Пример
4.1.4.
1.
Кольца
(Z
, +, ),
(Q
, +, ),
(R
, +, ),
(C
, +, )
– кольца без делителей нуля. 2.
В
кольце (V
3 (R
), +, )
каждый отличный от нуля элемент является
делителем нуля, поскольку
3.
В
кольце матриц M
3 (Z
)
примерами делителей нуля являются
матрицы
4.
В
кольце (Z
/n
Z
, +, )
с
составным n
= k
m
,
где 1 < k
,
m
< n
,
классы вычетов
иявляются делителями нуля, так как.
Ниже приведем
основные свойства колец и полей.
(а
–1) –1
=
a
.
.
для всех
V
3 (R
).
и
,
так как A
B
= O
(нулевая матрица).